На головну

Першим чудовим межею називається межа

  1. BrushTBrush Визначає колір і стиль заповнення замкнутих фігур і фону.
  2. D) в межах санкції, що передбачає призначення особи, яка вчинила вказане дію (бездіяльність), більш суворого адміністративного покарання
  3. FloodFill Зафарбовує поточної пензлем замкнуту область канви, певну кольором
  4. II. узгодження визначень
  5. III Етап. Визначення функцій і завдань елементів системи якості
  6. III. Визначник матриці третього порядку
  7. L - визначальний геометричний розмір, м;

теорема 2.14 Перший чудовий межа дорівнює

Доведення. Розглянемо два односторонніх межі и  і доведемо, що кожен з них дорівнює 1. Тоді потеореме 2.1 двосторонній межа  також буде дорівнювати 1.

Отже, нехай  (Цей інтервал - одне з закінчень бази  ). У тригонометричному колі (радіуса  ) З центром  побудуємо центральний кут, рівний  , І проведемо вертикальну дотичну в точці  перетину горизонтальній осі з окружністю (  ). Позначимо точку перетину променя з кутом нахилу  з колом буквою  , А з вертикальною дотичній - буквою  ; через  позначимо проекцію точки  на горизонтальну вісь.

Ріс.2.27. тригонометричний коло

нехай  -- площа трикутника ,  - Площа кругового сектора  , а  -- площа трикутника  . Тоді очевидно наступне нерівність:

Зауважимо, що горизонтальна координата точки  дорівнює  , А вертикальна -  (Це висота трикутника  ), так що  . Площа центрального сектора кола радіуса  з центральним кутом  дорівнює  , так що  . з трикутника  знаходимо, що  . Тому  Нерівність, що зв'язує площі трьох фігур, можна тепер записати у вигляді

Всі три частини цієї нерівності є позитивними, тому його можна записати так:

або (помноживши на  ) Так:

Межа постійної 1 в правій частині нерівності, очевидно, дорівнює 1. Якщо ми покажемо, що при  межа  в лівій частині нерівності теж дорівнює 1, то по теоремі "про двох міліціонерів" межа середньої частини  також буде дорівнює 1.

Отже, залишилося довести, що  . Спершу зауважимо, що  , так як  дорівнює довжині дуги кола  , Яка, очевидно, довше хорди  . Застосовуючи теорему "про двох міліціонерів" до нерівності

при  , Отримуємо, що

 (2.3)


Проста заміна змінної  показує, що і  . Тепер зауважимо, що  . Застосовуючи теореми про лінійність межі і про межі твору, отримуємо:

 (2.4)

Тим самим показано, що

Зробимо тепер заміну  ; при цьому база  перейде в базу  (Що означає, що якщо  , то  ). значить,

але (  - Непарна функція), і тому

Ми показали, що лівобічний межа також дорівнює 1, що і завершує доведення теореми.

Доведена теорема означає, що графік функції  виглядає так:

Ріс.2.28. Графік

приклад 2.21 обчислимо межа .

Перетворимо функцію під знаком межі наступним чином:

Тепер винесемо постійний множник за знак межі і застосуємо теорему про межу твори:

(Трохи нижче ми побачимо, що межі сомножителей існують, так що застосовувати цю теорему тут можна.) Зауважимо, що при замінах и  база  переходить в базу и  , так що

и

Тому

 



Основні теореми про границі | Другим чудовим межею називається межа

складна функція | Елементарні функції і їх графіки | Числова послідовність і її межа | Межа послідовності. | В іншому випадку послідовність називається розходиться. | Межа монотонної обмеженої послідовності. Існування кореня ступеня з дійсного числа. Число. Висновок числа e | Додатки. | число e | Прибудова функції в точці | односторонній межа |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати