Головна |
1. Змішане твір не змінюється при циклічною перестановці його співмножників, т. Е. (А х b) -з = (b х с) -а = (з х а) -b.
Дійсно, в цьому випадку не змінюється ні обсяг паралелепіпеда, ні орієнтація його ребер
2. Змішане твір не змінюється при зміні місцями знаків вкторного і скалярного множення, т. Е. (Ахb) -з = а * (bx с).
Дійсно, (ахb) -з = ± V і а- (b хс) = (b хс) -а = ± V. Знак в правій частині цих рівностей беремо один і той же, так як трійки векторів а, b, с і b, с, а - однієї орієнтації.
Отже, (a Хb) -з = a (b хс). Це дозволяє записувати мішаний добуток векторів (а х b) з у вигляді abc без знаків векторного, скалярного множення.
3. Змішане твір змінює свій знак при зміні місць будь-яких вух векторів-співмножників, т. Е. Abc = -acb, abc = -bac, abc = -cba.
Дійсно, така перестановка рівносильна перестановці співмножників в векторному добутку, яка змінює у твори знак.
4. Змішане твір ненульових векторів а, b і з дорівнює нулю оли і тільки тоді, коли вони компланарні.
Якщо abc = 0, то а, b і с- компланарність.
Припустимо, що це не так. Можна було б побудувати паралелепіпед з об'ємом V? 0. Але так як abc = ± V, то отримали б, що abc?0. Це суперечить умові: abc = 0.
Назад, нехай вектори а, b, с - компланарність. Тоді вектор d = ахb буде перпендикулярний площині, в якій лежать вектори а, b, с, і отже, d ^ с. Тому d -з = 0, т. Е. Abc = 0.
Визначення змішаного твори, його геометричний зміст | Вираз змішаного твори через координати
Скалярний добуток векторів і його властивості. додаток | Властивості скалярного твори | Вираз скалярного твори через координати | Кут між векторами | Модуль вектора .. Проекція вектора на вісь. направляючі косинуси | властивості проекцій | Визначення векторного твори. Властивості і додаток. | Властивості векторного твори | Вираз векторного твори через координати | Визначення моменту сили відносно точки |