Головна

Лінійна залежність і незалежність векторів. Базис.

  1. А) Лінійні операції над векторами. Скалярний добуток векторів.
  2. Б) Залежність моменту від ковзання.
  3. Базис і ранг системи векторів.
  4. Базис. Декартова прямокутна система координат
  5. Барометрична формула - визначає залежність тиску або густини газу від висоти в полі тяжіння
  6. Білінійна, трилинейная і анізотропна фільтрації текстур.
  7. Боротьба за незалежність від Англії

Введемо деяку термінологію. Будемо називати сукупність всіх геометричних векторів, що мають три координати в прямокутній декартовій системі координат, простором векторів  (Тривимірний простір), що мають тільки дві координати - простором векторів  (Двовимірне простір), і одну - простором векторів  (Одномірне простір). Почнемо з найбільш загального випадку і розглянемо в просторі  лінійну комбінацію з довільних n векторів

 , (2.1)

де  - Деякі дійсні числа, звані коефіцієнтами лінійної комбінації.

визначення:вектори  називаються лінійно залежними, якщо знайдеться такий набір коефіцієнтів  , Не всі з яких дорівнюють нулю, що .

В іншому випадку вектори називаються лінійно незалежними. Якщо вектори задані своїми декартовими координатами

,

то, представляючи координати кожного з них у вигляді вектор-стовпці, лінійну комбінацію (2.1) можна записати у вигляді

.

Тоді визначити, чи будуть n векторів лінійно залежними чи ні, можна наступним чином. Рівність нулю записаної вище лінійної комбінації векторів рівносильно записи її у вигляді однорідної системи лінійних алгебраїчних рівнянь щодо шуканих коефіцієнтів цієї лінійної комбінації

 , (2.2)

яка має нетривіальне рішення тільки в тому випадку, якщо ранг матриці цієї системи  менше числа невідомих коефіцієнтів . Зауважимо, що ранг матриці A не може бути більше трьох і, отже, число лінійно незалежних векторів в  також не може бути більше трьох. Щоб визначити, які з n векторів лінійно незалежні, потрібно вибрати будь-якої базисний мінор матриці A. Тоді по теоремі про базисному мінорі всі його стовпці лінійно незалежні, отже, і вектори, координатами яких є ці стовпці, також є лінійно незалежними. Максимальне число таких лінійно незалежних векторів дорівнює максимальному значенню рангу матриці A і називається розмірністю простору векторів, а їх сукупність називається базисом.Якщо додати до базисних векторах будь-який інший вектор, то одержимо вже лінійно залежну систему векторів і тоді цей доданий вектор можна представити у вигляді лінійної комбінації базисних векторів. нехай в  базисними будуть вектори .Якщо додати до них будь-який інший вектор  , То сукупність векторів буде вже лінійно залежною і цей додатковий вектор може бути виражений у вигляді лінійної комбінації векторів базису  . числа  називаються координатами вектора  в цьому базисі, а його представлення у вигляді лінійної комбінації базисних векторів - розкладанням вектора  по цьому базису. Зауважимо, що в сукупності векторів може бути кілька базисів, але число векторів, що утворюють базис, завжди однаково. Значення цих координат знаходяться з рішення системи рівнянь  , Матрицею якої є координати базисних векторів, а права частина - координати вектора  в вихідному декартовом базисі. Матриця цієї системи рівнянь завжди є квадратної і невироджених.

У разі, коли ранг матриці A системи (2.2) дорівнює двом, є тільки два лінійно-незалежних вектора, а це означає, що всі вектори лінійної комбінації (2.1) компланарність, т. Е. Лежать в одній площині або в паралельних площинах. Якщо ж ранг матриці А виявився дорівнює одиниці, то всі вектори в (2.1) колінеарні.

Застосовуючи все, викладене вище, до векторних просторів и  , Легко показати, що базис в  складається з будь-яких двох лінійно незалежних векторів, а в  - З одного будь-якого ненульового вектора.

Приклад.Дано чотири вектора

 . Знайти базис цих векторів і розкласти один з них з цього базису.

Рішення.Запишемо матріцуА:  . Ранг цієї матриці rang (A) = 3, отже, три вектора з чотирьох лінійно незалежні. Як стовпців базисного мінору можна взяти, наприклад, перші три стовпці, тоді вектори  утворюють базис. Можна взяти стовпчики з другого по четвертий і тоді вектори  також утворюють базис. Якщо обраний перший базис, то вектор  можна розкласти по цьому базису:  . Координати цього вектора в даному базисі знайдуться з рішення системи рівнянь

.

маємо:  . Отже, вектор  має в даному базисі координати .

Наприкінці розглянемо найпростішу задачу з аналітичної геометрії - поділ відрізка в заданому відношенні, при вирішенні якої можна використовувати властивості геометричних векторів. нехай в  на деякій прямій задано відрізок  . Тоді для числа говорять, що точка М цієї прямої ділить відрізок  у відносинах  , Якщо має місце рівність

.

Зауважимо, що це рівність можливо тільки при  . Якщо точки задані своїми декартовими координатами , ,  , То зазначена рівність можна записати у вигляді

,

з якого координати точки, що ділить відрізок у заданому відношенні  , Визначаться за формулами

ЗАВДАННЯ

1. Вектори  утворюють базис на площині. Показати за визначенням, що вектори ,  лінійно залежні, і виписати їх координати в базисі .

2. Вектори  утворюють базис в просторі. Виписати координати векторів , ,  в цьому базисі і довести двома способами (за визначенням і через ранг матриці), що  лінійно незалежні. Розкласти по базису  вектор .

3. Дано вектори, які мають в деякому базисі координати: , , ,  . Знайти базис даної системи векторів і розкласти по цьому базису вектори, що не входять в базис.

4. Довести, що вектори , ,  утворюють базис. розкласти вектор  по базису .

5. Знайти вектор  , Колінеарний вектору  , Який утворює з  тупий кут і має довжину 15.

6. На площині  дано точки а (0; 1), в (2; 2), з (1; 0), D (-3; 4). розкласти вектор  по векторах и .

7. дано три послідовні вершини паралелограма а (1; -2; 3), в (3; 2; 1), з (6; 4; 4). Знайти четверту вершину D, Точку перетину діагоналей О, Довжини діагоналей.



Декартова прямокутна система координат. | Домашнє завдання.

Глава 2. ВЕКТОРНА АЛГЕБРА. | Лінійні операції над векторами | Сума векторів | Домашнє завдання. | Проекція вектора на вісь і її властивості | Скалярний добуток векторів | Алгебраїчні властивості скалярного твори | Домашнє завдання. | Векторний добуток векторів | Властивості векторного твори |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати