Головна

Ранг матриці. Лінійна незалежність рядків матриці

  1. Fieldnames (s) - повертає масив рядків з іменами всіх полів
  2. III. Визначник матриці третього порядку
  3. TextOut Пише зазначений рядок тексту на канві, починаючи з вказаної позиції
  4. Абзаци потрібно робити більш дрібними і відокремлювати один від одного порожнім рядком
  5. Алгоритм обчислення зворотної матриці.
  6. Алгоритм знаходження рангу матриці.
  7. Квиток №29. Матрична запис системи лінійних рівнянь. Рішення систем n лінійних рівнянь з n невідомими за допомогою оберненої матриці.

Для вирішення і дослідження ряду математичних і прикладних задач важливе значення має поняття рангу матриці.

У матриці розміром викреслюванням будь-яких рядків і стовпців можна виокремити квадратні подматріци  -го порядку, де  . Визначники таких підматриць називаються минорами  -го порядку матриці .

Наприклад, з матриць можна отримати подматріци 1, 2 і 3-го порядку.

Визначення. рангом матриці  називається найвищий порядок відмінних від нуля мінорів цієї матриці. позначення:  або .

З визначення випливає:

1) Ранг матриці не перевищує меншого з її розмірів, тобто .

2)  тоді і тільки тоді, коли всі елементи матриці дорівнюють нулю, тобто .

3) Для квадратної матриці n-го порядку  тоді і тільки тоді, коли матриця  - Невироджена.

Оскільки безпосередній перебір всіх можливих миноров матриці  , Починаючи з найбільшого розміру, скрутний (трудомісткий), то користуються елементарними перетвореннями матриці, що вони бережуть ранг матриці.

Елементарні перетворення матриці:

1) Відкидання нульовий рядки (шпальти).

2) Множення всіх елементів рядка (стовпця) на число .

3) Зміна порядку рядків (стовпців) матриці.

4) Додаток до кожного елементу одного рядка (стовпця) відповідних елементів іншого рядка (стовпчика), помножених на будь-яке число.

5) Транспонування матриці.

Визначення. матриця  , Отримана з матриці  за допомогою елементарних перетворень, називається еквівалентною і позначається А В.

Теорема. Ранг матриці не змінюється при елементарних перетвореннях матриці.

За допомогою елементарних перетворень можна привести матрицю до так званого ступенчатому увазі, коли обчислення її рангу не становить труднощів.

матриця  називається ступінчастою якщо вона має вигляд:

 , де , , .

Очевидно, що ранг ступінчастою матриці дорівнює числу ненульових рядків , Тому що є мінор  -го порядку, що не рівний нулю:

.

Приклад. Визначити ранг матриці за допомогою елементарних перетворень.

.

Ранг матриці дорівнює кількості ненульових рядків, тобто .



Алгоритм обчислення зворотної матриці. | Лінійна незалежність рядків матриці

Поняття матриці. Види матриць. Транспонування матриці. Рівність матриць. Алгебраїчні операції над матрицями: множення на число, додавання, множення матриць. | Властивості операцій додавання і множення матриць | Визначники 2, 3 і n-го порядків (визначення і їх властивості). Теорема Лапласа про розкладанні визначника за елементами рядка або стовпчика. | властивості визначників | зворотна матриця | Вектори. Операції над векторами (додавання, віднімання, множення на число), n-мірний вектор. Поняття про векторному просторі і його базисі. | N-мірний вектор і векторний простір | Розміреність і базис векторного простору | Рішення системи лінійних рівнянь з невідомими | Приклад. Вирішити систему рівнянь за формулами Крамера |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати