Головна |
матрицею називається прямокутна таблиця чисел, яка містить m рядків і n стовпців. Матриця записується у вигляді:
або скорочено як А = (aij), Де i =1,2, ...,m; i= 1,2, ...,n.
Матриця, що містить один стовпець або один рядок, називається вектором або вектором-стовпцем, вектором-рядком відповідно.
Матриця, у якої число рядків дорівнює числу стовпців і дорівнює n, називається квадратною матрицею n-го порядку.
Діагональної називається квадратна матриця, у якої всі елементи поза головною діагоналі (тобто з індексами i?j) Дорівнюють нулю.
Одиничної називається діагональна матриця з одиницями на головній діагоналі (позначається Е).
Нульовий називається матриця, всі елементи якої дорівнюють нулю.
Приклади матриць: а) квадратна; б) діагональна; в) одинична; г) нульова:
а) ; б) ; в) ; г) .
Кожній квадратною матрицею n-го порядку можна поставити у відповідність число ? (detA), зване її визначником.
При n = 1 А = (а1); ? = detA =а1.
При n = 2 ; ? =a11a22-a12a22.
При n = 3 ;
? = =a11a22a33+ a12a23a31+ a21a32a13-a13a22a31-a21a12a33-
-a32a23a11.
Для обчислення визначників другого і третього порядків можна користуватися наступними схемами:
при n = 2;
при n = 3.
Основні властивості визначників:
1. Значення визначника не змінюється, якщо замінити його рядки стовпцями і навпаки.
2. При перестановці двох паралельних рядів визначник змінює знак.
3. Визначник, який має два однакових ряду, дорівнює нулю.
4. Загальний множник елементів будь-якого ряду можна винести за знак визначника як співмножники.
5. Визначник не зміниться, якщо до елементів одного ряду додати елементи паралельного ряду, помножені на одне і те ж число.
мінором деякого елемента aij визначника n-го порядку називається визначник (n-1) -го порядку, отриманий з вихідного шляхом викреслювання рядка і стовпчика, на перетині яких стоїть елемент аij. Позначається мінор як Мij.
алгебраїчним доповненням елемента aij називається мінор Мij, Помножений на (-1)i+j, Тобто Аij = (- 1)i+jMij.
Визначник будь-якого порядку можна представити як суму добутків елементів будь-якого ряду визначника на відповідні їм алгебраїчні доповнення.
___
1.1.1. Обчислити визначники:
а) ; б) ; в) .
1.1.2. При яких значеннях а наближається до нуля визначник ? = ?
1.1.3. Обчислити визначник за правилом трикутників
а) .
1.1.4. При яких значеннях а наближається до нуля визначник
?
1.1.5. Обчислити визначник шляхом розкладання за елементами 3-го стовпця
.
1.1.6. Обчислити визначник за допомогою розкладання за елементами другого рядка
.
1.1.7. обчислити визначники
а)
1.1.8. обчислити визначники
1.1.9. Обчислити визначник за допомогою розкладання за елементами будь-якого ряду і перевірити за правилом трикутників
1.1.10. Спростити і обчислити визначники:
1.1.11. Вирішити рівняння
.
Глава I. ЕЛЕМЕНТИ ЛІНІЙНОЇ АЛГЕБРИ | З m невідомими
Операції над матрицями | Матричні рівняння і системи лінійних рівнянь | За допомогою оберненої матриці | Власні числа і власні вектори матриці | Вектори. Лінійні операції над векторами | Властивості скалярного твори | Векторний добуток векторів | Властивості векторного твори | Змішане твір трьох векторів | Пряма лінія на площині |