На головну

параметричні критерії

  1.  А) Критерії аналізу продажів товару
  2.  Алгебраїчні критерії стійкості
  3.  Бля, два 28 питання і їх місцями переплутав. перший тайм Англія-Італія по нулях Свідомість як необхідна умова кримінальної відповідальності. Поняття і критерії неосудності.
  4.  ВИДИ ПОДАТКІВ, ПОДАТКОВІ СИСТЕМИ І КРИТЕРІЇ ЇХ ОЦІНКИ
  5.  Види сегментації. Критерії сегментації ринку.
  6.  ОСУДНІСТЬ. ПОНЯТТЯ І критерій неосудності
  7.  Можливі критерії сегментації ринків автомобілів і послуг технічного сервісу.

t-критерій Стьюдента (t-розподіл). Використання формули Гаусса-Лапласа (44) для порівняльної оцінки середніх величин ускладнене тим, що в якості аргументів в цю формулу входять генеральні параметри ? і ? (які, як правило, залишаються невідомими), тоді як при обробці і порівняно вибіркових груп доводиться користуватися не генеральними, а вибірковими характеристиками и  . З огляду на цю обставину, англійський математик В. Госсет (Стьюдент), в 1908 р знайшов закон розподілу величини  , В якій генеральний параметр ? замінений на його вибіркову характеристику  , Тобто знайшов закон розподілу значень

 . (1)

Виявилося, що відношення різниці між вибіркової і генеральної середніми до помилки вибіркової середньої безперервно розподіляється відповідно до наступної формули:

 для  , (2)

де С - константа, що залежить від числа ступенів свободи .

Відкритий Стьюдента і теоретично обґрунтований Р. Фішером закон t-розподілу служить основою так званої теорії малої вибірки, яка характеризує розподіл вибіркових середніх в нормально розподіляти сукупності залежно від обсягу вибірки.

t-розподіл залежить тільки від числа ступенів свободи  , Причому зі збільшенням обсягу вибірки n t-розподіл швидко наближається до нормального з параметрами ? = 0 і ? = 1 і вже при  не відрізняється від нього.

Більш наочне уявлення про характер t-розподілу дає рис. 20, на якому на тлі нормальної кривої зображена (більш полога) крива t-розподілу при n = 3. t-розподіл симетрично і відображає специфіку розподілу середньої арифметичної в разі малої вибірки в залежності від її обсягу n. Для вибірок, обсяг яких перевищує 30 одиниць, величина t розподіляється нормально і не залежить від числа спостережень. Якщо ж  , То характер t-розподілу залежить від числа спостережень n.

Мал. 9.1 Крива t-розподілу (1) при n = 3 на тлі

нормальної кривої (2)

Для практичного використання t-розподілу складена спеціальна таблиця, в якій містяться критичні точки tst для різних рівнів значимості ? і чисел ступенів свободи k.

Оцінка різниці середніх. Порівнюючи між собою дві незалежні вибірки, взяті з нормально розподіляються сукупностей з параметрами ?1 и ?2, Можна припустити, що  , А дисперсія цієї різниці ?2D. Значення генеральних параметрів невідомі, проте нескладно знайти величини вибіркових середніх і різниця між ними  . Нульова гіпотеза зводиться до припущення, що  . Критерієм для перевірки Н0-гіпотези служить відношення

 , (3)

де t - Змінна величина, наступна t-розподіленийію Стьюдента з числом ступенів свободи  , а  - Помилка зазначеної різниці, що позначається надалі символом Sd.

Так як, згідно Н0-гіпотезе,  , То t-критерій виражається у вигляді відношення різниці вибіркових середніх до своєї помилку, тобто

 . (4)

H0-гіпотезу відкидають, якщо фактично встановлена ??величина t-критерію tф перевершить або виявиться рівною критичного (стандартному) значенням tst цієї величини для прийнятого рівня значущості ? і числа ступенів свободи  , Тобто за умови .

Помилку різниці середніх Sd визначають за такими формулами:

а) для рівночисельний вибірок, тобто при ,

 ; (5)

б) для нерівночислова вибірок, тобто при

 . (6)

Неопроверженіе Н0-гіпотези не можна розглядати як доказ рівності між невідомими параметрами сукупностей, з яких вилучені порівнювані вибірки. У таких випадках питання про перевагу однієї статистичної сукупності перед іншою залишається відкритим. Адже не виключено, що при повторних випробуваннях Н0-гіпотеза може виявитися неспроможною. Більш того, і в тих випадках, коли Н0-гіпотеза спростовується, не слід поспішати з остаточним висновком.

Слід зауважити, що вищевикладене застосування t-критерію передбачає, що дисперсії порівнюваних груп однакові:  . Якщо це не так, то величину критерію знаходять за формулою

 , (7)

а число ступенів свободи - за такими формулами:

а) при .

б) при

Правильне застосування t-критерію передбачає нормальний розподіл сукупностей, з яких вилучені порівнювані вибірки, і рівність генеральних дисперсій. Якщо ці умови не виконуються, то t-критерій застосовувати не слід. У таких випадках більш ефективними будуть непараметричні критерії.

Оцінки середньої різниці між вибірками з попарно пов'язаними варіантами. Порівнянні вибірки нерідко представляють собою ряди попарно пов'язаних варіант, тобто є залежними вибірками. У таких випадках оцінкою різниці між генеральними середніми  буде середня різниця, Що визначається із суми різниць між попарно пов'язаними варіантами порівнюваних груп, тобто

 . (8)

Оцінкою генеральної дисперсії ?2 різниці середніх  буде вибіркова дисперсія

 . (9)

У формулах (8) і (9) n - число парних спостережень; .

Помилку середньої різниці  , Що позначається символом Sd, Визначають за формулами

 (10)

або

 . (11)

Якщо члени генеральної сукупності розподіляються нормально, то і різниці між ними будуть розподілятися нормально і випадкова величина  матиме розподіл Стьюдента з ступенями свободи  . Н0-гіпотеза зводиться у вигляді відношення середньої різниці до своєї помилку, тобто  . якщо  для прийнятого рівня значущості і числа ступенів свободи  , То нульова гіпотеза повинна бути відкинута.

Оцінку середньої різниці можна зробити з довірчого інтервалу, побудованому на підставі отриманої різниці  і її помилки  . Якщо нижня межа довірчого інтервалу виявиться з позитивним знаком, то це буде свідчити про достовірність різниці. Якщо ж нижня межа довірчого інтервалу буде з негативним знаком, то це служити вказівкою на випадковий характер спостерігається середньої різниці.

Оцінка різниці між частками. Вибіркова частка залежить від числа одиниць у вибірці, що мають враховується ознака, а загальне число таких одиниць у генеральній сукупності визначає генеральну частку  . Оцінкою різниці між генеральними частками  служить різниця між вибірковими долями  . Відношення цієї різниці до своєї помилку дає випадкову величину  , Яка слід t-розподілу Стьюдента. Н0-гіпотезу, або припущення про те, що  , Відкидають, якщо  для  і прийнятого рівня значущості ?. Помилка різниці між частками, взятими з приблизно рівновеликих вибірок (коли чисельність груп розрізняються не більше ніж на 25%), обчислюють за формулою

 , (12)

де  . Якщо частки виражені в процентах від загального числа спостережень, помилку різниці між ними визначають за формулою

 . (13)

Порівнянні групи n1 і n2 можуть бути виражені абсолютними числами m1 і m2. Помилка спостерігається між ними різниці визначається за такою формулою:

 , (14)

але так як ; ; ;  , То формулу (12) можна представити і в такому вигляді:

 . (15)

Коли порівнюють частки з неравновелікіх вибірок і при  , Помилку різниці між ними визначають за формулою

 ; (16)

p визначають як середньозважену з p1 і p2 часткою, або ж з абсолютних численностей груп:

 . (17)

У цих формулах n1 і n2 - Чисельності груп, на яких визначають частки и  . Якщо частки виражають у відсотках від n, то замість  потрібно брати  . Якщо ж неравновелікіх групи виражені абсолютними числами m1 і m2, Помилку різниці між ними визначають за формулою

 . (18)

Описані вище критерії перевірки рівності часткою в двох вибірках виявляється придатними при не надто великих і не дуже малих значеннях p (  ). Особливо це відноситься до випадку невеликих вибірок. Вільним від подібного роду обмежень і тому більш універсальним виявляється спосіб перевірки рівності часток, заснований на використанні кутовий трансформації (?-перетворення Фішера). При цьому методі порівнювані частки виражають у відсотках з введенням поправки Єйтса на безперервність, рівній  , Яку вираховують із більшою і додають до меншій частці. Потім по таблиці значень  знаходять величини для виправлених часткою: и  , Беруть їх різницю і відносять її до помилки, яка визначається за формулою

 . (19)

Умовою для неприйняття нульової гіпотези служить такий вираз:

 (20)

для числа ступенів свободи  і прийнятого рівня значущості ?.

Оцінка різниці між вибіркової і генеральної частками. При оцінці різниці між відомої генеральної часткою  і часткою вибірки p нульова гіпотеза зводитися до припущення, що різниця між ними виникла випадково. Критерій Стьюдента в таких випадках виражається у вигляді відношення різниці  до своєї помилку, яку визначають за формулою

 , (21)

де n - обсяг вибірки. Умовою для неприйняття нульової гіпотези служить критерій  для  і прийнятого рівня значущості ?.

F-критерій Фішера (F-розподіл). Для перевірки Н0-гіпотези про рівність генеральних дисперсій (  ) Нормально розподіляються генеральнихсукупностей t-критерій виявляється недостатньо точним, особливо при оцінці різниці дисперсій нечисленних вибірок. У пошуках кращого критерію Р. Фішер знайшов, що замість вибіркової різниці  зручніше використовувати різницю між натуральними логарифмами цих величин, тобто  , де  . Ця різниця, що позначається буквою z, розподіляється нормально при наявності як великих, так і середніх за обсягом статистичних сукупностей.

Д. Снедекора запропонував замість логарифма відносин використовувати відносини вибіркових дисперсій, позначивши цей показник в честь Фішера буквою F, тобто

 при  . (22)

Так як прийнято брати відношення більшої дисперсії до меншої, то критерій  . якщо  , то  . Що гучніше нерівність між вибірковими дисперсіями, тим більше буде і величина F, і, навпаки, чим менше виявиться різниця між дисперсіями, тим менше буде величина F.

Величина F має безперервну функцію розподілу і залежить тільки від чисел ступенів свободи и  . F повністю визначається вибірковими дисперсіями і не залежить від генеральних параметрів, так як припускають, що порівнювані вибірки, що характеризуються дисперсиями и  , Взяті з генеральнихсукупностей з  або з однієї і тієї ж генеральної сукупності. Функція розподілу можливих значень величини F при невеликому n має форму асиметричною кривої, яка в міру збільшення числа випробувань (  ) Наближається до кривої нормального розподілу.

Функція F-розподілу табулювати для 5% -ного і 1% -ного рівнів значущості і чисел ступенів свободи k1 для більшої дисперсії і k2 для меншою. Якщо вибірки взяті з різних сукупностей з їх параметрами и  , Нерівними одне одному, то  і нульова гіпотеза повинна бути відкинута.

F-критерій можна застосувати і для оцінки різниці між частками з неравновелікіх вибірок. Нульова гіпотеза відкидається за умови, що

 для и .

Якщо оцінюють різницю між середніми и  вибірок, витягнуті з сукупностей, які розподіляються згідно із законом Пуассона, F-критерій будують у вигляді відносини

 для и  , А також прийнятого рівня значущості ?.

Оцінка різниці між коефіцієнтами варіації. Різниця між коефіцієнтами варіації порівнюваних груп, витягнутих з нормально розподіляються сукупностей, можна оцінити за допомогою t-критерію Стьюдента. Наближеною оцінкою різниці  служить її ставлення до своєї помилку, яка визначається за формулою

 . (23)

Нульову гіпотезу відкидають, якщо  для прийнятого рівня значущості і числа ступенів свободи .

Різниця між коефіцієнтами варіації можна оцінити шляхом зіставлення довірчих інтервалів, побудованих для генеральних параметрів порівнюваних груп. При цьому межі довірчих інтервалів визначають за формулами

;

де Pн - Нижня, а Рв - Верхня межі довірчого інтервалу;  ; t - нормоване відхилення (для  ).

 



 Статистичні гіпотези і їх перевірка |  непараметричні критерії
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати