Головна

Теорема 2. 5 сторінка

  1.  1 сторінка
  2.  1 сторінка
  3.  1 сторінка
  4.  1 сторінка
  5.  1 сторінка
  6.  1 сторінка
  7.  1 сторінка

74.Основна схема побудови графіка функції :

1) знайти область визначення функції і значення цієї функції в точках розриву і граничних точках області визначення;

2) встановити, чи має функція асимптоти;

3) встановити, чи є функція парною, непарною, періодичною;

4) знайти нулі функції, т. Е. Вирішити рівняння  . Ці рішення і точки розриву функції розбивають її область визначення на проміжки знакопостоянства функції;

5) знайти проміжки збереження напряму опуклості і точки перегину графіка функції.

75.Інтегральні суми і визначений інтеграл.

нехай функція  визначена на сегменті  , де  . позначимо через  або просто Т довільне розбиття сегмента  точками  на n часткових сегментів [xi-1, xi] (i = 1,2, ..., n). покладемо  , Виберемо на кожному сегменті [xi-1, xi] Довільну точку  і складемо інтегральну суму , Яка відповідає певному розбиття  і цього вибору проміжних точок .

введемо позначення .

Визначення 1. число I називається межею інтегральних сум  при  , якщо  таке, що для будь-якого розбиття Т [a, b], у якого  , Виконується нерівність  при будь-якому виборі проміжних точок  на .

Визначення 2. функція  називається интегрируемой (за Ріманом) На сегменті  , Якщо існує .

При цьому число I називається певним інтегралом від функції  на сегменті  і позначається .

76. теорема (про середнє значення).

нехай и  інтегровними на ,

.

Тоді існує число  таке, що .

слідство 1. якщо покласти  , то .

число  називається середнім значенням функції  на сегменті .

слідство 2. Якщо виконані умови теореми і функція  неперервна, то  таке, що .

слідство 3. якщо функція  неперервна, то  таке, що

.

77. Визначення 1. функція  називається первообразной для функції  на проміжку Х, якщо .

Визначення 2. нехай функція  інтегрована на сегменті  . функція  називається інтегралом із змінною верхньою межею.

Теорема. Безперервна на сегменті  функція  має первісну на цьому сегменті. Однією з первісних є функція .

78.Таблиця основних інтегралів

 статечні функції  показові функції
( )
 тригонометричні функції  гіперболічні функції
 Дробові раціональні функції  ірраціональні функції
( )  (для , )
(для , ) ( )
(для , ) (для , )

79. теорема (Формула заміни змінної).

нехай  визначена і неперервна на  , а  визначена і неперервна разом з похідною на  , де и .

тоді .

теорема (Формула інтегрування частинами).

якщо и  мають безперервні похідні на  , то

.

80. теорема (правило Лейбніца про диференціюванні певного інтеграла по параметру). якщо функція  і її похідна  безупинні на безлічі  , А функції и  діфференцируєми на інтервалі  і задовольняють на ньому умов  , То при

, .

Перша формула залишається в силі і для невласних інтегралів, якщо припустити, що інтеграл  сходиться, а інтеграл  рівномірно сходиться на інтервалі  . (При цьому функція  і її похідна  передбачаються безперервними лише на безлічі  або на безлічі  .)

81. Визначення. Простий (плоскої) незамкненою кривої називається крива L, Задана параметрично:

,

де  - Безперервні на сегменті  функції, причому різним значенням  відповідають різні точки  (Т. Е. Немає кратних точок).

якщо точки и  збігаються, а інші точки не є кратними, то крива L називається простий замкнутої кривої.

82.нехай L - Проста (замкнута або незамкнута) крива, задана рівняннями  . Розглянемо довільне розбиття сегмента  точками  . Йому відповідає розбиття кривої L точками  , М1, ...,  , де  . Впишемо в криву L ламану АМ1М2... В. Позначимо довжину ламаної через  і покладемо  . число l називається межею довжин ламаних  при  , якщо  таке, що для будь-якого розбиття сегмента  , у якого  , Виконується нерівність .

Якщо існує межа довжин ламаних при  , То крива L називається спрямляются, А число l - довжиною кривої L (або довжиною дуги кривої L).

83.Довжина кривої, заданої:

а) параметрически: ;

б) в декартових координатах: ;

в) в полярних координатах: .

84.плоскою фігурою називається будь обмежене безліч точок площині.

Плоска фігура називається квадрованою, Якщо точна верхня грань  безлічі площ всіх вписаних багатокутних фігур дорівнює точної нижньої межі  безлічі площ всіх описаних багатокутних фігур.

число  називається площею плоскої фігури (по Жорданія).

85.Площа плоскої фігури, Заданої:

а) в декартових координатах: Нехай плоска фігура являє собою криволінійну трапецію, обмежену безперервними кривими  , (Де  ), І двома відрізками прямих  . Тоді площа фігури обчислюється за формулою

;

б) параметрически: Нехай межа плоскої фігури G - Проста замкнута крива, задана параметричними рівняннями  , Причому точка  при зміні t від 0 до Т пробігає кордон G так, що фігура G залишається зліва. тоді площа G може бути обчислена по кожній із наступних формул:

, , ;

в) в полярних координатах: Нехай плоска фігура являє собою вигнутий сектор, обмежений безперервної кривої  і відрізками променів  . Тоді площа фігури обчислюється за формулою .

86.тілом називається будь обмежене безліч точок простору.

тіло називається кубіруемим, Якщо точна верхня  грань безлічі обсягів всіх вписаних багатогранників дорівнює точної нижньої межі  безлічі обсягів усіх описаних багатогранників. (багатогранником називається тіло, що складається з кінцевого числа трикутних пірамід). число  називається об'ємом тіла (по Жорданія).

87.Нехай кожне перетин кубіруемого тіла площиною  є квадрованою фігурою, причому її площа  є безперервною функцією x ( ). тоді Об `єм цього тіла обчислюється за формулою

.

В окремому випадку, коли тіло є тілом обертання навколо осі Ox криволінійної трапеції, заданої безперервною функцією ,  , Обсяг тіла обертання обчислюється за формулою .

88.безліч називається рахунковим, Якщо воно еквівалентно безлічі натуральних чисел. Наприклад, безліч всіх раціональних чисел. Якщо безліч еквівалентно безлічі всіх дійсних чисел (яке не є рахунковим, точніше, воно є більш потужним) сегмента  , То кажуть, що воно має потужність континууму.

89.вираз  , де  - Нескінченна послідовність чисел, називається числовим рядом. сума  називається nчасткової сумою ряду. Якщо існує кінцевий межа , То його називають сумою ряду і кажуть, що ряд сходиться.

90. теорема (необхідна ознака збіжності ряду).

Якщо ряд сходиться, то його n-й член прямує до нуля при необмеженому зростанні n.

91. теорема (ознака Даламбера).

Якщо в ряді з позитивними членами  відношення  -го члена до n-му при  має (кінцевий) межа l, Т. Е.  , То ряд сходиться при  і розходиться при  . (В разі  питання про збіжність залишається відкритим).

теорема (ознака Коші).

Якщо для ряду з додатними членами  величина  має кінцевий межа l при  , Т. Е.  , То ряд сходиться при  і розходиться при  . (В разі  питання про збіжність залишається відкритим).

теорема (інтегральний ознака).

Нехай члени ряду  позитивні і не зростають, т. е.  , і нехай  - Така безперервна незростаюча функція, що  . тоді:

1) якщо невласний інтеграл  сходиться, то сходиться і розглянутий ряд;

2) якщо зазначений інтеграл розходиться, то розходиться і ряд.

92. теорема (ознака Лейбніца).

Якщо в Знакозмінні ряді  члени такі, що и  , То зазначений ряд сходиться, його сума позитивна і не перевищує першого члена.

93. Визначення 1. ряд називається знакозмінних, Якщо серед його членів є як позитивні, так і негативні.

теорема (остаточний признак збіжності знакозмінного ряду).

Якщо знакозмінний ряд  такий, що ряд  сходиться, то і даний знакозмінний ряд також сходиться.

Визначення 2. знакозмінний ряд  називається абсолютно збіжним, Якщо сходиться ряд, складений з абсолютних величин його членів  . Якщо ж знакозмінний ряд  сходиться, а ряд  розходиться, то даний знакозмінний ряд називається умовно або неабсолютно сходящимся поруч.

94. Визначення 1. ряд  називається функціональним, якщо його члени є функціями від х: .

Визначення 2. сукупність значень х, При яких ряд сходиться, називається областю збіжності цього ряду.

95. Визначення 1. функціональний ряд  називається мажоріруемим в деякій області зміни х, Якщо існує такий сходиться числовий ряд  з позитивними членами, що для всіх значень х з даної області виконуються співвідношення .

Визначення 2. нехай  - Сума функціонального ряду ,  - сума n перших членів цього ряду. Функціональний ряд називається рівномірно збіжним на відрізку  , Якщо для будь-якого як завгодно малого  знайдеться такий номер N (Що не залежить від x), Що при всіх  буде виконуватися нерівність  для будь-якого х з відрізка .



 Теорема 2. 4 сторінка |  Теорема 2. 6 сторінка

 Теорема 2. 1 сторінка |  Теорема 2. 2 сторінка |  Теорема 2. 3 сторінка |  Теорема 2. 7 сторінка |  Теорема 2. 8 сторінка |  ДОДАТОК |  Суми і різниці |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати