На головну

Лекційний комплекс 2 сторінка

  1.  1 сторінка
  2.  1 сторінка
  3.  1 сторінка
  4.  1 сторінка
  5.  1 сторінка
  6.  1 сторінка
  7.  1 сторінка

послідовність  називається неубивающей й, якщо для будь-якого .

Послідовності цих чотирьох типів називаються монотонними послідовностями.

послідовність  називається обмеженою зверху, якщо існує число  таке, що

послідовність  називається обмеженою знизу, якщо існує число  таке, що .

Теорема Вейерштрасса.

1. Для того щоб неубутна послідовність мала межа, необхідно і достатньо, щоб вона була обмежена зверху.

2. Для того щоб незростаюча послідовність мала межа, необхідно і достатньо, щоб вона була обмежена знизу.

На підставі цієї теореми доводиться, що .

якщо  - Деяка послідовність, а  - Зростаюча послідовність натуральних чисел, то послідовність  називається підпослідовність послідовності .

Лемма (Больцано - Вейерштрасс). Кожна обмежена послідовність має дійсних чисел містить сходящуюся підпослідовність.

домовимося писати  і говорити, що послідовність  прагне до плюс нескінченності, якщо для кожного числа  знайдеться номер  такий, що  при будь-якому  . Аналогічно вводяться поняття «прагне до мінус нескінченності» і «прагне до нескінченності».

Лемма. З кожної послідовності дійсних чисел можна витягти сходящуюся підпослідовність або підпослідовність, яка прагне до нескінченності.

число  називається нижньою межею послідовності  і позначається  , тобто

= .

аналогічно

=

називається верхньою межею послідовності .

Число називають частковим межею послідовності, якщо в ній є підпослідовність, що сходиться до цього числа.

Теорема 1. Нижній і верхній межі обмеженої послідовності є відповідно найменшим і найбільшим з її часткових меж.

Теорема 2. Для будь-якої послідовності нижня межа є найменший з її часткових меж, а верхня межа послідовності - найбільший з її часткових меж.

Слідство 1. Послідовність має межу або прагне до мінус або плюс нескінченності в тому і в тільки в тому випадку, коли нижній і верхній межі послідовності збігаються.

Слідство 2. Послідовність сходиться тоді і тільки тоді, коли сходиться будь її підпослідовність.

Лекція 5:Фундаментальні послідовності.

план:

1. Критерій Коші збіжності послідовності

2. Підпослідовності. Часткові межі. Теорема Больцано - Вейерштрасса.

3. Фундаментальна послідовність. Необхідна і достатня умова збіжності послідовності.

Ключові слова: Підпослідовності, частковий межа, фундаментальна послідовність.

Нехай є деяка послідовність {xn} = {X1, x2, x3, ...}. Розглянемо послідовність n1, n2, n3, ..., Де

а) всі ni - Цілі позитивні числа;

б)

і розглянемо послідовність  . Вона називається підпослідовність послідовності {xn}.

Теорема.

Якщо послідовність {xn} Сходиться і її межа дорівнює a, то будь-яка її підпослідовність також сходиться і має той же самий межа.

Якщо {xn} - Нескінченно велика послідовність, то будь-яка її підпослідовність є також нескінченно велика.

Лемма Больцано- Вейерштрасса.

1. З будь-якої обмеженої послідовності можна витягти таку підпослідовність, яка сходиться до кінцевого межі.

2. З будь-якої необмеженої послідовності можна витягти нескінченно велику підпослідовність.

На підставі цієї леми доводиться один з основних результатів теорії меж -

Ознака збіжності Больцано - Коші.

Для того, щоб у послідовності {xn} Існував кінцевий межа, необхідно і достатньо, щоб

.

Послідовність, яка задовольнить цій властивості, називається фундаментальною послідовністю, або послідовністю, сходящейся в собі.

Визначення. Якщо існує кінцевий межа  , То послідовність

{xn} Називається збіжної.

Сходяться послідовності мають такі властивості.

1. Збіжна послідовність обмежена.

2. .

3. .

4. .

5. Якщо  , то .

1.6 Граничний перехід у нерівностях.

Теорема 1. Якщо, починаючи з деякого N, все xn ? b, то .

Слідство. Якщо, починаючи з деякого N, все xn ? yn, то .

Важливе зауваження. Зауважте, що якщо, починаючи з деякого N, все xn > B, то  , Тобто при граничному переході суворе нерівність може перейти в нестроге.

Теорема 2. ( «Теорема про двох міліціонерів») Якщо, починаючи з деякого N, виконані наступні властивості

1. ;

2. ,

то існує .

Лекція 6: Функції та їх межі.

план:

1. Поняття функції. Способи завдання функції.

2. Межа функції в точці. Два визначення границі функції і їх еквівалентність.

3. Односторонні межі. Нескінченні межі в кінцевій точці. Межа в нескінченності.

4. Властивості меж, пов'язані з нерівностями. Властивості меж, пов'язані з арифметичними операціями.

5. Межа монотонної функції. Критерій Коші існування границі функції.

Ключові слова: функція, межа функції, односторонні межі.

 Якщо кожному елементу  безлічі  ставиться у відповідність цілком певний елемент  безлічі  , То кажуть що на безлічі  задана функція. При цьому  називається незалежною змінною або аргументом, а  - Залежною змінною, а буква  позначає закон відповідності.

безліч  називається областю визначення або існування функції, а безліч  - Областю значень функції.

Існують наступні способи завдання функції

  1. Аналітичний спосіб, якщо функція задана формулою виду
  2. Табличний спосіб полягає в тому, що функція задається таблицею, що містить значення аргументу  і відповідні значення функції
  3. Графічний спосіб полягає в зображенні графіка функції - множини точок  площині, абсциси яких є значення аргументу  , А ординати - відповідні їм значення функції
  4. Словесний спосіб, якщо функція описується правилом її складання.

Основні властивості функції

1. Парність і непарність. Функція називається парною, якщо для всіх значень з області визначення  і непарній, якщо  . В іншому випадку функція називається функцією загального вигляду.

2. Монотонність. функція  називається зростаючою (спадною) на проміжку  , Якщо більшому значенню аргументу з цього пролмежутка відповідає більше (менше) значення функції.

3. Обмеженість. функція  називається обмеженою на проміжку  , Якщо існує таке позитивне число  , що  для будь-якого  . В іншому випадку функція називається необмеженою.

4. Періодичність. функція  називається періодичною з періодрм  , Якщо для будь-яких  з області визначення функції .

Класифікація функцій.

1. Зворотна функція. нехай  є функція від незалежної змінної  , Визначеної на множині  з областю значень  . Поставимо у відповідність кожному  єдине значення  , за якого  . Тоді отримана функція  , Визначена на множині  з областю значень  називається зворотною.

2. Складна функція. нехай функція  є функція від змінної ,

визначеної на множині  з областю значень  , А змінна  в свою

чергу є функцією.

число  називається межею функції  при  , Якщо для будь-якого малого числа  знайдеться таке позитивне число  , Що для всіх  таких, що  вірно нерівність .

Межа функції в точці. нехай функція  задана в деякій околиці точки  , Крім, можливо, самої точки  . число  називається межею функції  при  , Якщо для будь-якого, навіть як завгодно малого  , Знайдеться таке позитивне число  (Залежить від  ), Що для всіх  і задовольняють умові  виконується нерівність  . Ця межа позначається .

функція  називається нескінченно малою величиною при  , Якщо її межа дорівнює нулю.

Властивості нескінченно малих величин

1. Алгебраїчна сума кінцевого числа нескінченно малих величин є величина нескінченно мала.

2. Твір нескінченно малої величини на обмежену функцію є величина нескінченно мала

3. Частка від ділення нескінченно малої величини на функцію, межа якої відмінний від нуля, є величина нескінченно мала.

Перший чудовий межа

і другий чудовий межа

де

допомагають при обчисленні багатьох меж.

Також при обчисленні меж буває корисним знання наступних меж

Лекція 7: Неперервність функції в точці.

план:

  1. Неперервність функції в точці.
  2. Точки розриву функції та їх класифікація.
  3. Властивості функції, безперервних в точці.
  4. Різні визначення безперервності функції в точці.

Ключові слова: безперервність функції, точка розриву, обмеженість функції.

функція  називається обмеженою в даній області зміни аргументу  , Якщо існує позитивне число  таке, що для всіх значень  , Що належать даній області, буде виконуватися нерівність  . Якщо ж такого числа  не існує, то функція  називається не обмеженої в даній області. функція  називається обмеженою при якщо існує околиця з центром в точці  , В якій дана функція обмежена.

функція  називається обмеженою при  , Якщо існує таке число  , Що при всіх значеннях  , Що задовольняють нерівності  функція  обмежена.

якщо  при цьому  є кінцеве число, то функція  є обмеженою при .

якщо , То функція  є обмежена функція при .

функція  називається нескінченно малої при  або при  , якщо  або .

якщо функція  представляється у вигляді суми постійного числа  і нескінченно малої :

якщо  прямує до нуля при (Або при  ) І не звертається в нуль, то  прямує до нескінченності.

Алгебраїчна сума двох, трьох і взагалі певного числа нескінченно малих є функція нескінченно мала.

Твір функції нескінченно малої  на функцію, обмежену  , при (або  ) Є величина (функція) нескінченно мала.

Приватне  від ділення величини нескінченно малої  на функцію, межа якої відмінний від нуля, є величина нескінченно мала.

Межа алгебраїчної суми двох, трьох і взагалі певного числа змінних дорівнює сумі алгебри меж цих змінних

Межа твори двох, трьох і взагалі певного числа змінних дорівнює добутку меж цих змінних.

Межа приватного двох змінних дорівнює частці меж цих змінних, якщо межа знаменника відмінний від нуля.

Якщо між відповідними значеннями трьох функцій  виконуються нерівності  , при цьому и  при (Або при  ) Прагнуть до одного і того ж межі  , то  при (Або при  ) Прагнуть до одного і того ж межі.

якщо при (або  ) Функція у приймає невід'ємні значення  і при цьому прагне до межі  , То і  є невід'ємне число: .

Якщо змінна величина  возратает, тобто будь-яке її подальше значення більше попереднього, і якщо вона обмежена, тобто  то ця змінна величина має межу  де .

змінна величина  при  має межу, укладений між числами 2 і 3.

функція  прагне при  , Що прагне до нескінченності, до межі е:

.

нехай функція  визначена при деякому значенні  і в деякій околиці з центром в  . нехай  . якщо  отримає деяке позитивне або негативне - байдуже - приріст  і прийме значення  , То і функція  отримає деяке збільшення  . Нове, розширене значення функції буде  . приріст функції  виразиться формулою = .



 Лекційний комплекс 1 сторінка |  Лекційний комплекс 3 сторінка

 III-семестр |  Заміна змінних під знаком невласного інтеграла і інтегрування по частинах. Невласні інтеграли другого роду. Головне значення невласного інтеграла. |  IV-семестр |  семестр |  Семестр. |  Семестр. |  семестр |  семестр |  семестр |  ГЛОСАРІЙ |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати