Головна

Визначення площі. Площа криволінійної трапеції. Площа в полярних координатах.

  1.  I. Визначення ленінізму
  2.  I. Визначення термінів і предмет дослідження
  3.  II. Визначення положення електричної осі у фронтальній площині і поворотів серця навколо його поздовжньої і поперечної осі.
  4.  III. ВИЗНАЧЕННЯ ЕФЕКТИВНОСТІ ВИРОБНИЦТВА
  5.  IV. Визначення маси вантажу, опломбування транспортних засобів і контейнерів
  6.  IV. Визначення параметрів хвилі тиску при згорянні газо-, паро- або пилоповітряної хмари
  7.  Si - площа земель, забруднених хімічною речовиною i-го виду (га);

Визначення: Нехай безліч и A - Обмежена. Розглянемо безліч  (Об'єднання прямокутників), таке що  , І безліч  , Таке що  , І назвемо и  фігурами. Площі цих фігур и  можна порахувати. Т. к. Безліч  оганічено зверху (S (A))  . аналогічно  обмежена знизу (нулем)  . якщо  , То це площа A, А безліч називається квадрованою.

Приклад 1: Нехай ? - відрізок і .  O. При цьому S (M) = 0 и  . Нехай довжина відрізка дорівнює d, тоді  , а  довжини d і висоти h. тоді  . отримали S (?) = 0.

Приклад 2: . ,  O і  , Т. К. Ніякої прямокутник повністю не лежить в цій множині.  , Т. Е.  , тому  . Отримуємо, що  , Тому безліч A - Чи не квадрованою.

нехай f (x) ?0 на [A, b]. криволінійна трапеція T - безліч (X, y), Таке що a?x?b и 0?y?f (x).

Теорема: (Про площі криволінійної трапеції).

Нехай функція f (x) ?0 на [a, b]. Криволінійна трапеція T квадрованою тоді і тільки тоді (U), коли функція f (x) інтегрована на [a, b]. При цьому площа T дорівнює: .

 Доказ: U: За основною теоремою  . знайдуться такі и  , що и  . тоді .

?:  , Так як криволінійна трапеція T квадрованою. тоді  Обидві інтегральні суми прагнуть до одного і того ж числа (S). ,  . отже  , Тому функція f (x) интегрируема (з слідства основної теореми).

Приклад. x2+ y2= R2. a?x?b (a = -R, b = R), і 0?y?  . При цьому

Зауваження до визначення площі: Безліч  можна замінити на будь-які інші квадрованою безлічі. якщо  - Фігури,  - Квадрованою безлічі, т. Е. Існують площі  і при цьому  , То при  отримаємо все те ж саме.

 Нехай безліч задано в полярних координатах: x = r · cost, y = r · sint. Розглянемо безліч A, Таке, що ??t?? и 0?r?r (t). Введемо розбиття кута [?, ?]: ? = t012<... n= ?. При цьому ?ti= [Ti , ti+1]. Розглянемо сектора кіл ri= mi - Це будуть сектора и ri= Mi - Це будуть сектора . и  . Кола (з кутом 2?) відповідає площа ?R2, А сектору з кутом ? - площа ?R2/ 2. Тому и . и  - Нижня і верхня суми Дарбy для функції f = r2/ 2. отримаємо и  . Тобто площа S (A) існує і дорівнює S (Т. Е. A квадрованою) тоді і тільки тоді, коли існує інтеграл .



 Інтеграл як функція верхньої межі. Безперервність і дифференцируемость. Теорема Ньютона-Лейбніца. |  Тоді нехай, фігури, які задовольняють умові:; .

 Обмеженість інтегрованої функції. |  Суми Дарбу. Їх Властивості. |  Суми Дарбу та інтегрованість функції за Ріманом. |  Основна теорема про існування певного інтеграла Рімана. |  Рівномірна неперервність функції. Модуль безперервності. |  Функція безперервна на відрізку, рівномірно неперервна на ньому (). |  Інтегрованість за Ріманом неперервної функції. |  Інтегрованість за Ріманом монотонної функції. |  Аддитивное і однорідні властивості визначеного інтеграла Рімана. |  Нерівності для певного інтеграла Рімана і теорема про повну загальну середню. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати