Головна

Основна теорема про існування певного інтеграла Рімана.

  1.  B. Основна система Шести йог Наропи
  2.  I період. Основна діяльність. 1859-1962 роки
  3.  I. Думки про існування нечистої сили
  4.  II. Основна помилка опозиційного блоку
  5.  II. Основна хімія.
  6.  II. Основна частина
  7.  II. Основна частина

Теорема (Основна)

Обмежена функція f інтегровна на відрізку [a, b] тоді і тільки тоді, коли .

Доведення:

 По теоремі про інтегрованості (f інтегровна U ) Функція інтегровна тоді і тільки тоді, коли  (1). Треба довести, що якщо  . Тобто якщо знайдеться одне R*, Яке задовольняє нерівності (1), то воно (нерівність) буде виконуватися для всіх R. візьмемо довільне  . потрібно знайти ?, Таке щоб виконувалася нерівність  . За умовою теореми  . Розглянемо нашу розбиття R* і довільне R, як показано на малюнку. Складемо різниця верхньої і нижньої сум Дарбy для нового розбиття R:  . Потрібно зробити його менше  . З умови маємо  . Позначимо через ? першу суму і разоб'ем її: ? = ?1+ ?2. ?1 - Такі складові, що елемент нового розбиття R містить в собі хоча б одну точку кордону старого раазбіенія R*. Все інше увійде в ?2. Розглянемо окремо ?1 і ?2:

?1:  тому функція f - Обмежена (k - Константа). тоді (M и m - Максимум і мінімум на [A, b]). отримаємо ?1  , де ?R, А кількість червоних відрізків не перевищує 2n. Для того щоб ця нерівність виконувалося, досить взяти ? / 8kn. Тобто при ? / 8kn ?1 / 2.

?2: Разоб'ем ?2 на повторні суми, тобто ?2= ? (?i). ?i? ?  (Mi*-mi*)??xi*, де Mj и mj - Максимум і мінімум на j-тому ділянці. ?i - Угруповання тих нових j-тих ділянок, які потрапили в один і той же старий. отримаємо ?2  ??1+ ?2, Тобто ?  . В підсумку:

 . Теорема доведена.

Слідство 1: Функція f - Інтегрована на [A, b], якщо с :  (Якщо існує така послідовність розбиттів з дрібністю, що прагне до нуля, що модуль різниці послідовності інтегральних сум і інтеграла прагне до нуля).

Слідство 2: Функція f - Інтегрована на [A, b], якщо  (Якщо верхній інтеграл дорівнює нижньому).

 Суми Дарбу та інтегрованість функції за Ріманом. |  Рівномірна неперервність функції. Модуль безперервності.


 Первообрaзная. Невизначений інтеграл. Властивості. |  Заміна змінної в невизначеному інтегралі. |  квиток 29 |  Інтегрування раціональних дробів. |  Інтегрування виразів виду. |  квиток 34 |  Інтегрування тригонометричних виразів. |  Визначений інтеграл Рімана. Еквівалентні визначення. Умова Коші. |  Обмеженість інтегрованої функції. |  Суми Дарбу. Їх Властивості. |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати