Головна |
Теорема (Основна)
Обмежена функція f інтегровна на відрізку [a, b] тоді і тільки тоді, коли .
Доведення:
По теоремі про інтегрованості (f інтегровна U ) Функція інтегровна тоді і тільки тоді, коли (1). Треба довести, що якщо . Тобто якщо знайдеться одне R*, Яке задовольняє нерівності (1), то воно (нерівність) буде виконуватися для всіх R. візьмемо довільне . потрібно знайти ?, Таке щоб виконувалася нерівність . За умовою теореми . Розглянемо нашу розбиття R* і довільне R, як показано на малюнку. Складемо різниця верхньої і нижньої сум Дарбy для нового розбиття R: . Потрібно зробити його менше . З умови маємо . Позначимо через ? першу суму і разоб'ем її: ? = ?1+ ?2. ?1 - Такі складові, що елемент нового розбиття R містить в собі хоча б одну точку кордону старого раазбіенія R*. Все інше увійде в ?2. Розглянемо окремо ?1 і ?2:
?1: тому функція f - Обмежена (k - Константа). тоді (M и m - Максимум і мінімум на [A, b]). отримаємо ?1 , де ?R, А кількість червоних відрізків не перевищує 2n. Для того щоб ця нерівність виконувалося, досить взяти ? / 8kn. Тобто при ? / 8kn ?1 / 2.
?2: Разоб'ем ?2 на повторні суми, тобто ?2= ? (?i). ?i? ? (Mi*-mi*)??xi*, де Mj и mj - Максимум і мінімум на j-тому ділянці. ?i - Угруповання тих нових j-тих ділянок, які потрапили в один і той же старий. отримаємо ?2 ??1+ ?2, Тобто ? . В підсумку:
. Теорема доведена.
Слідство 1: Функція f - Інтегрована на [A, b], якщо с : (Якщо існує така послідовність розбиттів з дрібністю, що прагне до нуля, що модуль різниці послідовності інтегральних сум і інтеграла прагне до нуля).
Слідство 2: Функція f - Інтегрована на [A, b], якщо (Якщо верхній інтеграл дорівнює нижньому).
Суми Дарбу та інтегрованість функції за Ріманом. | Рівномірна неперервність функції. Модуль безперервності.
Первообрaзная. Невизначений інтеграл. Властивості. | Заміна змінної в невизначеному інтегралі. | квиток 29 | Інтегрування раціональних дробів. | Інтегрування виразів виду. | квиток 34 | Інтегрування тригонометричних виразів. | Визначений інтеграл Рімана. Еквівалентні визначення. Умова Коші. | Обмеженість інтегрованої функції. | Суми Дарбу. Їх Властивості. |