Головна

Соленоідальной векторні поля

  1.  Векторні діаграми при замиканні в точці К2
  2.  Векторні поля і їх основні характеристики
  3.  Векторні формули швидкості і прискорення точок тіла, що обертається навколо нерухомої осі.
  4.  Скалярні і векторні поля
  5.  Скалярні і векторні поля - Т і h

Визначення 6. векторне поле  називається соленоїдом вобласти  , Якщо воно диференційованою в кожній точці області та .

Дане рівність означає, що соленоідальной поле вільно від джерел і стоків. Розглянемо властивості соленоїдальних полів.

Теорема 9. Потік соленоідального в однозв'язної області  векторного поля через замкнену поверхню дорівнює нулю.

‰ Згідно з теоремою Остроградського-Гаусса маємо:

 . <

зауваження. Для многосвязной області теорема не виконується.

Теорема 10. нехай  соленоідальной поле в області V. Тоді потік вектора  через будь-яку поверхню  , Натягнуту на заданий контур  , Не залежить від виду поверхні, а залежить тільки від контуру .

‰ Натягнемо на  дві поверхні и  (Рис.14). Тоді між ними є область  , Для якої застосуємо формулу Остроградського-Гаусса

,

т. к. .

Таким чином, отримуємо

 . <

Теорема 11. Потік соленоідального векторного поля  через будь-який перетин векторної трубки має одне і те ж значення.

‰ Векторна трубка являє собою поверхню, утворену з векторних ліній поля (рис. 15).

 
 


Виберемо два довільних перетину векторної трубки и  і отримаємо поверхню, що складається з и и  - Поверхню трубки між и  . Тоді потік векторного поля через таку поверхню дорівнює

.

Звідси отримуємо

,

,

 . <

Зупинимося ще раз нафізіческом сенсі теореми: якщо  - Поле швидкостей частинок рідини, яка не має джерел і стоків, то кількість рідини, що протікає за одиницю часу через перетин векторної трубки одне і те ж для будь-яких перерізів.

Теорема 12. У соленоідального векторного поля векторні лінії не можуть ні починатися, ні кінчатися всередині поля. Вони або замкнуті, або мають кінці на кордоні поля, або мають нескінченні гілки.

‰ Нехай векторні лінії закінчуються в точці  . Отже, деяка векторна трубка закінчується в точці  . Але інтенсивність трубки всюди постійна, тому в точці потік  повинен бути нескінченно великою, що неможливо, т. к.  безперервний у кожній точці. Якщо припустити, що векторна трубка закінчується в області кінцевим перерізом, то в точках перетину поле буде розривним, що невірно по визначенню трубки. <

Визначення 7. векторне поле  називається векторних потенціалом векторного поля  , Якщо поле  в області  представляється як ротор поля  , Т. Е. Для довільної точки  має місце рівність .

Векторний потенціал визначається з точністю до градієнта довільного скалярного поля  . Дійсно, нехай  , а  - Довільне скалярний поле, тоді

.

Теорема 13. (Необхідна і достатня умова соленоідальной). Для того, щоб безперервно диференціюється векторне поле  було соленоїдом необхідно і достатньо, щоб воно мало векторний потенціал.

Достатність. нехай  має векторний потенціал т. е.  , тоді  . Записуючи цю формулу в координатах, отримаємо, що .

Для доказу необхідності треба довести можливість розв'язання системи

за умови  , Що виходить за рамки курсу. <

Контрольні питання

1. Сформулюйте поняття скалярного і векторного полів. Наведіть приклади.

2. Що називається векторною лінією поля? Якими рівняннями описується векторні лінії?

3. Як обчислюється робота векторного поля? Що називається циркуляцією?

4. Яке векторне поле називається потенційним? Що таке потенціал?

5. Коли робота не залежить від шляху, що з'єднує дві точки? Як знайти потенціал?

6. Що називається ротором векторного поля? Що характеризує ротор?

7. Сормуліруйте теорему про обчислення ротора в декартовій системі координат.

8. Як вводиться позитивний напрямок обходу контура, узгоджене з орієнтацією поверхні, обмеженою цим контуром?

9. Напишіть формулу Стокса і сформулюйте умови, при яких ця формула вірна.

10. Що означає твердження: криволінійний інтеграл  не залежить від шляху інтегрування?

11. Що означає твердження: вираз  є повним диференціалом в області ?

12. Що називається потоком векторного поля? Як обчислюється потік?

13. Дайте визначення дивергенції векторного поля. Який фізичний зміст дивергенції?

14. Яке векторне поле називається безвихровим? Наведіть приклади безвихрових полів.

15. Яке векторне поле називається соленоїдом? Наведіть приклади соленоїдальних полів.

16. Що таке скалярний потенціал; векторний потенціал?

17. Що таке оператор Гамільтона? Запишіть за допомогою оператора Гамільтона: а) градієнт скалярного поля; б) дивергенцію векторного поля; в) ротор векторного поля.



 Потік і дивергенція векторного поля |  Завдання для самостійної роботи

 Скалярні і векторні поля |  Робота векторного поля. циркуляція |  Потенційне векторне поле |  Ротор векторного поля |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати