На головну

Межі числових множин.

  1.  II. Інтервальні оцінки числових характеристик випадкової величини
  2.  II. Точкові оцінки числових характеристик випадкової величини
  3.  VII. Дослідження на збіжність числових рядів
  4.  А) КОРДОНУ рефлексивного ФІЛОСОФІЇ
  5.  Б) Дослідження структури числових уявлень
  6.  Б. Вікові межі молоді рухливі.
  7.  Великий кривизни (нижньої межі) шлунка

нехай Х - деякий непорожнє числове безліч.

Безліч Х називається обмеженим зверху, якщо існує таке число М, що кожне число х з безлічі Х не перевищує числа М, т. Е.  число М називається верхньою межею (або гранню) безлічі Х.

 В цьому випадку всі крапки х з безлічі Х розташовані зліва від точки М. Так, безліч Х = {- 1, -2, -3, -4, ...} обмежена зверху будь-яким числом  . Кожне таке число є верхньою межею даного безлічі. безліч N = {1, 2, 3, ...} Буде обмежень зверху, так як для будь-якого числа М, Яким би великим воно не було, знайдеться ціле позитивне число з безлічі N більше М.

Безліч Х називається обмеженим знизу, якщо існує таке число m, що кожне число х з безлічі Х не менш числа m, т. Е.  число m називається нижньою межею (або гранню) безлічі Х.

В цьому випадку все точки х з безлічі Х розташовані праворуч від точки m. Наприклад, безліч N = {1, 2, 3, ...} обмежена знизу будь-яким числом  . Кожне таке число є нижньою межею даного безлічі. безліч Х = {- 1, -2, -3, -4, ...} НЕ буде обмеженим знизу, так як для будь-якого числа m, яким би великим воно не було, знайдеться ціле негативне число з Х менше m.

Безліч Х називається обмеженим, якщо воно обмежене і зверху і знизу, тобто. Е. Якщо існують такі числа m і М, що кожне число х з безлічі Х удовлетворяяет нерівності .

 
 

Наприклад, безліч Х = (0, 1] обмежена і зверху і знизу. Зверху воно обмежене будь-яким числом  , А знизу - будь-яким числом  . безліч Z = {..., -1, 0, 1, 2, ...} не є обмеженим ні знизу, ні зверху (чому?). Домовимося вважати порожня множина ? обмеженим.

Обмеженість безлічі Х рівносильна існуванню такого позитивного числа С, що кожен елемент безлічі Х задовольняє нерівності .

Справді, якщо безліч Х обмежена, то існують такі числа m і M, Що кожне число х з безлічі Х задовольняє нерівності . нехай С є найбільше з чисел и . Тоді, очевидно, ,т. е.  . І навпаки, якщо для будь-якого  вірно нерівність  , то , Т. Е. Безліч Х обмежена (числом знизу і числом зверху).

Будь-яке обмежене зверху (знизу) безліч має нескінченно багато верхніх (нижніх) меж, а обмежене безліч має нескінченно багато і верхніх, і нижніх меж одночасно.

Справді, якщо М є верхня межа безлічі, то і всяке число М + довільне позитивне число також є верхньою межею (?), якщо ж m є нижня межа безлічі, то і всяке число m-довільне позитивне число також є нижньою межею (?).

Найменша з усіх верхніх меж обмеженого зверху безлічі Х називається точною верхньою межею (гранню) безлічі Х і позначається supX (sup - перші літери латинського слова supremum - верхній); найбільша з усіх нижніх меж обмеженого знизу безлічі Х називається точною нижньою межею (гранню) безлічі Х і позначається inf X (inf- перші літери латинського слова infimum - нижній).

Виникає питання: чи всяка обмежена зверху (знизу) безліч має точну верхню (нижню) кордон? Відповідь на ці питання дає наступна

теорема(про існування точних меж).

Будь-яке непорожнє обмежене зверху (знизу) безліч Х має (єдину!) Точну верхню межу  (Точну нижню межу  ).

З теореми випливає, що

всяке обмежене безліч має одну точну верхню і одну точну нижню межі.

наприклад, .

Відзначимо найважливіші властивості точних кордонів числових множин.

нехай  . тоді:

1.  для кожного  , бо  є нижня межа безлічі Х;

2. для будь-якого  завжди знайдеться елемент  з Х такий, що  (в іншому випадку  не було б точної нижньою межею безлічі Х, чому?);

3. якщо m - будь-яка нижня межа безлічі Х, то  , бо  - Найбільша з усіх нижніх меж Х.

Нехай. тоді:

4.  для кожного х з Х, бо  є верхня межа безлічі Х;

5. для будь-якого  завжди існує елемент  з Х, такий, що  (в іншому випадку  не було б точної верхньою межею безлічі Х, чому?);

6. якщо М - будь-яка верхня межа безлічі Х, то  , бо  - Найменша з усіх верхніх граней безлічі Х.



 Вправи. |  Точні межі безлічі можуть належати безлічі і можуть не належати йому.

 Сукупність елементів А називається підмножиною множини В, якщо всі елементи сукупності А є в той же час елементами безлічі В. |  відкриті промені |  Наведіть приклади кінцевих і нескінченних множин. |  Вправи. |  Операції над множинами. |  Безліч, що складається з елементів, що належать одночасно безлічі А і безлічі В, називається перетинанням множин А і В |  Вправи. |  згідно з визначенням |  Докази властивостей 1-6 |  Доведіть властивості 7, 8 модуля числа. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати