На головну

Ах Ах Ах

Ах

sin о / л \

1 при х> 0,

не існує при х = 0,

- 1 при л: <0.

паралельна осі абсцис (257-258).

257. a) f (х) = х3-Зх2 + Зх; б) f (х) = ^ - х4+ 16х;

б) f (х) = 3х4 - 6х2 + 2; г) f (х) = х3 - Зх + 1.

258. a) f (х) = 2 cos х + х; б) / (x) = sin 2х + д / Зх;

в) f (х) = cos ^ x- ^; г) / (х) = -у [2х - 2 sin х.

259. Під яким кутом перетинається з віссю Ох графік функції-

a) f (х) = 3х - х3; б) / (x) = sin (x + ^ -);

в) F (х) = х2 - Зх + 2; г) f (x) = - Cosx?

260. Під яким кутом перетинається з віссю Оу графік функції:

а) F (x) = Ть-; б)

в) F (х) = 4 "(х-I)2; Г) f (х) = sin (2 * + - ? -)?

20. Наближені обчислення

Нехай, наприклад, потрібно обчислити наближене значення функції

f (х) = х7 - 2х6 +3 х2 х + 3

в точці х - 2,02. Значення f у близькій до 2,02 точці Хо = 2 знаходиться легко: / (2) = 13. Графік f в околиці точки 2 близький до прямої y = f (хо) + / '(хо) (х - хо) - дотичній до нього в точці з абсцисою 2. Тому} (2,02) ж у (2,02). Маємо у (х) = 7х6- 12х5 + + 6х-1, у (х0) = У (2) = 75 і / (*) «t / (x) = 13 + 75-0,02 = 14,5. Обчислення на калькуляторі дають результат f (2,02) «14,57995. Взагалі для диференційованою в точці х0 функції f при Дх, мало відрізняються від нуля, її графік близький до дотичній (проведеної в точці графіка з абсцисою х0), Т. Е. При малих Дх

f (x) ttf (хо) - \ - У (* О) Дх. (1)

в) / (*) = *7 + 2 *5 + 3; г) ? (*) = 4 * + sin 3 *.

286. Доведіть, що рівняння має єдиний корінь на кожному з даних проміжків Pi і Р2:

а) *3 - 27 * + 2 = 0, Pi = [- 1; I], Р2 = [4; 6];

б) *4 - 4 * - 9 = 0, />, = [- 2; 0], Р2== [2; 3];

в) *4 + 6 *2 - 8 = 0, Я, = [- 2; -1], Р2 = [1; 2];

г) -1 + 3 *2- *3 = 0, Я, = [- 2; 0], Р2= [2; 3].

Розповідь про походження термінології, прийнятої в диференціальному численні, був би не повний без поняття межі і нескінченно малої. Детальніше про межі йдеться нижче, а поки помітимо, що, наприклад, похідна визначається у всіх довідниках саме як межа. Пишуть / '(хо) =) im замість при-

Лх-> 0 Ах

нятого вище позначення fr (хо) ПРИ Дх- * 0.

Позначення lim - скорочення латинського слова limes (межа,

межа); зменшуючи, наприклад, Ах, ми спрямовуємо значення до

«Кордоні» f '(хо). Термін «межа» ввів Ньютон.

Прикладом нескінченно малої може служити функція (Ах)2 від Дх, оскільки (Дх)2-І3 При Дх- * 0. Взагалі, якщо lim а (х) = 0, гово-

X->Х'о

рят, що а (х) - нескінченно мала. Нескінченно малі грають важливу роль в математичному аналізі, який тому часто називають також аналізом нескінченно малих.

Зауважимо нарешті, що слово «екстремум» походить від латинського extremum (крайній). Maximum перекладається як найбільший, a minimum - найменший.

2. З історії диференціального обчислення.

1) Диференціальне числення створено Ньютоном і Лейбніцем порівняно недавно, в кінці XVII століття. Тим більше вражає, що задовго до цього Архімед не тільки вирішив задачу на побудову дотичної до такої складної кривої, як спіраль (застосовуючи при цьому граничні переходи), а й зумів знайти максимум функції f (х) = х2 (А - х).

Епізодично поняття дотичній (яке, як ви знаєте,

пов'язане з поняттям похідної) зустрічалося в роботах італійського математика Н. Тарталья (бл. 1500-1557) - тут дотична з'явилася в ході вивчення питання про кут нахилу знаряддя, при якому забезпечується найбільша дальність польоту снаряда. І. Кеплер розглядав дотичну в результаті виконання завдання про найбільшому обсязі паралелепіпеда, вписаного в кулю даного радіуса.

У XVII ст. на основі вчення Г. Галілея про рух активно розвинулася кінематична концепція похідної. Різні варіанти викладу, застосовані до різних завдань, зустрічаються вже у Р. Декарта, французького математика Роберва- ля (1602-1675), англійського вченого Д. Грегорі (1638- 1675), в роботах І. Барроу (1630-1677) і, нарешті, І. Ньютона.

До розгляду дотичній і нормалі (так називається пряма, перпендикулярна дотичній і проведена в точці дотику) Декарт прийшов в ході вивчення оптичних властивостей лінз. За допомогою методів аналітичної геометрії та винайденого ним методу невизначених коефіцієнтів він зумів вирішити завдання про побудову нормалей до ряду кривих, в тому числі еліпсу.

В 1629 році П. Ферма запропонував правила знаходження екстремумів многочленів. Істотно підкреслити, що фактично при виведенні цих правил Ферма активно застосовував граничні переходи, розташовуючи найпростішим диференціальним умовою максимуму і мінімуму.

Ферма зіграв визначну роль у розвитку математики. Його ім'я заслужено носить не тільки відома вам теорема з аналізу. Велика теорема Ферма ( «Рівняння хп + уп = zn не має рішень в натуральних числах при натуральному п, більшому двох »), що не доведена, правда, й досі, лише один з підсумків його роздумів над проблемами теорії чисел. Ферма один з

2 -. . mv о_2_ 2

»> з"+; <(Т) - r) (- L)io'> 64:

473. а) '> 2,5; б) 22'~' + 22'-2+22* ~3<448;

40. S7 Поняття про обернену функцію

1. Оборотність функцій. В ході дослідження різних функцій ви неодноразово вирішували таку задачу: обчислити значення функції f по даному значенню ЛСЗ аргументу. Часто доводиться розглядати і зворотну задачу: знайти значення аргументу, при яких функція f приймає дане значення уо. Про П р и м і р 1. Нехай f (x) = kx - \ - b (k = ? 0). Щоб знайти значення аргументу х, при яких f {x) = yo, треба вирішити рівняння f {х)=уо, т. е. рівняння kx - \ - b = yo. Вирішуючи його, знаходимо, що при будь-якому уо воно має і притому тільки одне рішення

Уо - Ь

9. 1) а) Вкажіть всі коріння рівняння loga x = b (а> 0, аф 1).

б) Вирішіть нерівність loga * logac (розгляньте два випадки: 0 1).

2) Розв'яжіть рівняння:

а) log2 (Х- 15) = 4; б) lg2 х - \ - 2 lg х = 8;

в) In2 (Д: - 2) = 4; г) lg (*2- 2х - 4) = lgll.

3) Вирішіть нерівність:

а) log0, 6 * 2; б) lg - 2; в) 1ПЛ: ^ - 3; г) log7X

10. 1) Запишіть формулу похідної для функції у = ех, У = ах.

2) Знайдіть похідну функції:

а) у (к.с.) = 5 - 2е4-3х; б) і (х) = 3 * 57лг_ |;

в) g (x) = e ~3x; г) / (*) = (^ _)

28. Знайдіть суму 20 членів арифметичної прогресії, якщо

перший її член дорівнює 2, а сьомий дорівнює 20.

253. в) 3. 264. г) 0. 255. г) у = Зх + 1, у ~ 12х- 17. 256. в) у = 2, у = Н-j-х.

257. в) (-1; -1), (О; 2), (1; -1). 258. г) ^ + 2ял; + 2яп-1,

(-j + 2гап; У2 ^ 2ял + 1 - ^ 259

. a) arctg 3 в точці (0; 0), я -arctg 6


[1]a 14- cos a /. \

[2] Знайдіть значення інших трьох основних тригонометричних функцій, якщо:

Ю

[3] tg ^ f, s*n(-if) » cos ctg 0,9л.

13.Знайдіть числове значення виразу:

v о. л 2л, 4л. 7л

а) 8sm - cos - tg - ctg-;

[4] 1 <х2<- | - Слід, що 0 <

[5] З'ясувати, чи володіє функція особливостями, які полегшують дослідження, т. Е. Є функція /: а) парній або непарній; б) періодичною.

[6] 3 arcsin у-M arccos (- - arcctg (-УЗ);

в) arctg - л / 3) -Ьarccos (--y) + arcsin 1;

r) arcsin (- 1) - ~ arccos - \ - 3 arctg ^ -.

132. Доведіть, що для будь-яких чисел х \ і Х2 з проміжку [-1; 1] з нерівності х \ <, ХГ слід нерівність:

a) arcsin х \ arccos ЛГ2.

133. Доведіть, що для будь-яких чисел х \ і х% з нерівності Xi <.X2 слід нерівність:

a) arctg ЛГ | 2; б) arcctg х \> arcctg х2.

Л л - - \ / 3

r) cos- cos x -sin X sin - <- 7.

Про про 2

161. a) ctgx ^ V3; 6) V3 ctg (-J-2 *)> 1;

[8] Знайдіть значення виразу:

[9] / | Ах \

COS

Ах V 1 2) '

247. При яких значеннях m функція f неперервна на всій числовій прямій, якщо:

А '2 - Зх

Знайдіть точки графіка функції f, в яких дотична

'1

це

ки ----- і - в прикладі 1).

д / 3 д / 3

Ми приймемо цей факт без докази.

Зауваження 2. Для вирішення нерівностей f '{х)> 0 і /' (*) <0 зручно користуватися узагальненням методу інтервалів (теоремою Дар- бу): точки, в яких похідна дорівнює 0 або не існує, розбивають область визначення функції f на проміжки, в кожному з яких / 'зберігає постійний

Знайдіть проміжки зростання та спадання і побудуйте графіки функцій (283-284).

283. а) / (х) = л:3 + Зх2 - 9х + 1; б) / (*) = 4х3 -1,5 *4; в) / (*) = 2 -} - 9х + Зх2 -х3; г) f (x) = x4 - 2 *2.

284. а) / (х) = 2 - 0 [5 ^ 1_ f; б) / (*) =! * - 31 -2;

в) f (*) = 8 *2 - *4; г) f (x) = | -11.

285. Доведіть, що функція / зростає на / ?, а функція g убуває на R:

[17]

а) / (*) = 3 * -f-cos 2 *; б) g (*) = - г-*;

О

[19] При обчисленні координати центру мас будь-якого фрагменту фігури замінити на матеріальну точку помістивши її в центр мас цієї частини, і приписати їй масу, рівну масі даної частини фігури.

Про Приклад 4. Нехай уздовж стрижня - відрізка [а; 6] осі Ох - розподілена маса щільністю р (х), де р (х) - безперервна функція. Покажемо, що:

[20] 7 = V7; 2 * = У ^5= У32; а '^^ МСГ1.

Приклад 2. Знайдемо значення числових виразів 83,

81 \ 128 ~т.

Вирішіть рівняння (468-470).

468. а) Зх + | - 2 * Зх-2 = 75; б) - (- g -) ** ' = 4«8;

в 5* (ТУ 3+ (Т)Х + 1 = 162; г) 5-9х + 9х~2 = 406.

469. а) 2Х-2 = 3Х_2; б)

в 5Х + 1= 8Х + 1; г) 7х~2 = А2-х.

470. а) Зх + З3_х= 12; б) 4 ^^ + 16 = 10-2 ^т; в) (у -) '~ * - (^ -) * = 4,96; г) 4х-0,25х-2 = 15.

471. Вирішіть систему рівнянь:

Г 5 * + »= 125, ,, / г +

а) { A= l. б) {4х+ 4 ^ = 80;

_v {Зх + Зу = 12,, {4Х + У= 128,

в) \ 6x + i / = 216; Г'I 53х-2г / -3= 1.

Вирішіть нерівності (472-474).

Ш

2х - 3 у * \ 2х _

; б) (±) <(т / 5)

[22] Прогрессии

[23] 2. Чи тотожні перетворення 4. Перетворення алгебраїчних виразів

41. Розкладіть на множники:

a) a2 + b2 - \ - 2а - 2b - 2аЬ \ б) х3- {- (У - 1) х - \ - у \

[24] tg 20 ° -4 sin 20 ° sin 50 ° = -2 sin 20 °;

[25] тт 4 РЛС 2 v

233. в) ----- j-. 234. г) 0; -1. 235. г) - ? + 2яя, n ? Z. 237. б) -.

239. г) ± - ^ + яп, ^ + ял; ) »« 6 ^ ??- 240. в) Наприклад, f (х) = -sin х.

[27] cos " 'х 2 sin' 2х

[-2; -1), [2; оо). 246. г) (-оо; - 3] U (- 1; 1) UP; оо). 247. г) т> 0. 248. г) (-2;

241. г) Так, так. 242. в) Л; г) (-оо; 2), (2; оо). 248. в) 0,7. Вказівка.

Перевірте, що f (0,8) <0, f (0,6)> 0. 244. г) (-оо; 1), (2; 6). 245. в) (- оо; -4),

-1), (1; 2). 249. в) (- 2; 0), (0; 3); г) (- оо; -51 [2; оо). 260. в) (- оо; -4] U [0; 4}

в точках (- \ / 3; 0) і (V3; 0); г) в точках + 2яя; 0 ^, ^ в точках (- ? + 2ПП; 0 ^, n € Z. 260. a) -j; г) ^. 261. в) 24,52, -0,16; г) 40,52, 9,86.



 R dx. л г dx _ |  Вступ

 Ч я л 4л л 5л 1 |  Е) Яка середня швидкість руху кожного туриста? |  Знайдіть область значень кожної з функцій (98, 99). |  Вирішіть рівняння (152-158). |  A) 2 sin2 л: ^ 1; 6) 3 tg2 2л: ^ 1; в) 4 cos2 л: ^ 3; г) tg2 - 1 ^ 0. |  І, щоб прийти вчасно в пункт призначення, збільшив швидкість на 5 км / год. Знайдіть первісну швидкість поїзда. |  В) J (cos Зх-sin 2х) dx \ г) \ (5-Qx-x2) dx. |  Г). 121. г) - - 122 в) -7г '- г) 0.124. в) Ні; г) так. 125. б) Ні. 126. г) - ^. 4 4 о про |  В) -2,35. 515. в) - log3 2. 516. в) (0,7; оо). 517. в) (8; оо); г) (12; оо). |  D - дільник ab, тому існує загальний дільник d 'або у чисел a, d, або у чисел b, d \ нехай для визначеності d' - дільник а і d, тоді а 4 b |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати