Головна |
-5 12
274. Знайдіть найбільше та найменше значення інтеграла:
¦ + т
a) J cos - ^ - Dx, a ? R \ б) J cos 2xdx, a ^ R. про 2 0
275. Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями:
а) У-0,5л:2 -2л: + 3, у = 7 - х \
б) у = (х-2)2, У-А-х2;
в) У = х? - Зл: +4, у = х + \\
г) У = х2 - 2х - \ - 2, у = 2 + Ах - х2.
276. Знайдіть площу кожної з фігур, на які пряма у = х-f-4 ділить фігуру, обмежену лініями у = - ^ - х2 і у = 8.
277. Знайдіть площу фігури, обмеженої лініями у = 2,5 + 2л: - 0,5 л:2, Х = - 1 і дотичній до даної параболі, проведеної через її точку з абсцисою л: = 3.
278. Знайдіть площу фігури, обмеженою параболою у = х2 - 4л: + 5 і дотичними до неї, проведеними через її точки з абсциссами х = \ і л: = 3.
279. В якому відношенні ділиться площа квадрата параболою, що проходить через дві його сусідні вершини і стосується одного боку в її середині?
280. При якому значенні а площа фігури, обмеженої лініями у - х2 + 4л: + а (а 0), л: = 0, л: = 2 і у = 2, дорівнює 12? (Відомо, що фігура лежить у верхній півплощині.)
281. Знайдіть пари чисел а і Ь, при яких функція f {х) =
== А sin лл: + Ь задовольняє умовам: f '(2) = 2, $ f (л :) dx = А.
о
ВІДПОВІДІ І ВКАЗІВКИ ДО вправи
глава I
I.г) ^ ^. 2. г) 225 °; 270 °; -105 °. 3.в 4; г) 3. 4.в) Ні; да; да. 5.в) Ні;
о 5-2.
8 8 15
г)да. 6.в) Ні; г) так. 7.г) sin а = - -;tg а = - -j | r;ctga = -g-. 8. г) -1. 9.
ч. 24 161 84 77 л я я
В) '- 10' б) -25 '289' 85 ' "85'" ¦ в) , g" ' , 2' б) tgT; -C0Sl8; "Т '
-ctg 0,1 я. 13.г) 1. 14.в) Ні; г) так. 15.г) ^ г; -4. 16.в) 0,7833;
уТ7 ЛМ7
0, 6216; 1,2602; 0,7936. 17.б) 22 ° 6 "; 27 ° 30'7"; 63 ° 35'54 "; 84 ° 47'52". 18.в) 0,1 м;
3 - 2 - \ 2
г) 9л м. 19. в) 0,05 м2. 20. б) 1. 21. в) 3; г) - = ~. 22. в)
6 '3
30. в) IV; IV; II. 31. г) Плюс. 36. в) D (y) = R, Е (у) = [-2; 0]. 37. г) D (y) = R, Е (у) = [- 1,5; 1,5]. 38. г) (0; - 1), (+ 2лл; о), n ? Z. 39. в) (0; 3,5). 41. в) - + 1,
\ 2 / Хо
a-f 2
+ 1. 42. в) Ні. 43. в) (- оо; - 4) | J (-4; 2) U (2; оо). 44. в) Числова пряма,
Мал. 2 |
i / (- j + 2jw ^ = -1. *min= - ^ + 2 лп, y(^ - + 2ЛП ^ = - 2, n ? Z. 85. г) Зростає на [- л + 2лл; 2лл], убуває на [2ЛП; л + 2ЛП]; хтах = 2лл, у (2лл) = 0, хт1п = Л + 2ля, у (л + 2лл) = -2; n ? Z. 86. в) Перше більше. 87. г) sin (-1,2), sin 0,8, sin 1,2. 88. г) Зменшується на (- оо; - 1], [0; 1], зростає на [-1; 0], [1; оо), *. па * = 0, у { 0) = 0, xmin= ± l, у {- 1) = у (1) = - 1. 89. в) Зростає на
^ + 2лл; + 2nnJ, убуває на + 2л п \ ^ + 2лл J, хтах = - ^ - + 2л п,+ 2лл) = 1, хт | п= ~ + 2лл, + 2лл) = -1. neZ. 90. в) ctg ^,
ctg ^, ctg, tg ^. 91. в), г)Вказівка. Скористайтеся властивостями
1 о о о
функцій у = х6 и у = х5. 92. б) Вказівка. нехай - b ^ xi - а, тоді
- Х2 <- х \ ^. Ь и f (-x2)> F (-xi), так як f убуває на [а; ft], отже, f (*:) (* 0- 93. в) 1) D (/) = [- 6; 6], ? (/) = [-2; 2 \ 2) функція непарна; 3) (-4; 0), (0; 0), (4; 0) - точки перетину з віссю Ох, (0; 0) - точка перетину з віссю Оу \ 4) f (х)> 0 на (- 4; 0), (4; 6], f (x) <. 0 на [-6; -4), (0; 4);
5) f зростає на [-6; -2], [2; 6], убуває на [-2; 2]; 6) xmin = 2, f (2) = - 2, W = -2. / (- 2) = 2. 96. г) 1) D (f) - E (f) = R; 2) (1; 0), (0; -1) -точка перетину з осями координат; 3) f (Х) <0 на (- оо;1), f (x)> 0 на (1; оо);4) / зростає на R. 97. в) 1) D (/) = [- 1; оо), Е (/) = [0; оо);2) (- 1; 0), (0; 1) - точки перетину з осями; 3) f (x)> 0 на 1; оо);4) / зростає на [-1; зі).98. в) 1) D (f) = E (/) = / ?; 2) функція непарна; 3) (0; 0) -точка перетину з осями; 4) / (*) <0 на (- оо,0), f (x)> 0 на (0; оо);5) / зростає на / ?; г) 1) Z) («/) = [2; оо),? (/) = [- 2; оо);2) (6; 0) - точка перетину з віссю Ох; 3) / (х) <0 на [2; 6), f (х)> 0 на (6; оо);4) / зростає на [2; оо).99. в) 1) D (/) =
= / ?, E {f) - (^ - oпро; ~ J; 2) функція парна; 3) (0; 0), (- 1; 0), (1; 0) - точки перетину з осями; 4) f {х) З0 на (- оо; -1), (1; оо), f (x)>0 на (-1; 0), (0; 1); 5) f зростає на ^ -оо; - J, [0; 0,5], f убуває на [-0,5; 0 ^ [0,5; оо); хтах= ± 0,5, у (- 0,5) = у (0,5) = 0.25, xmin = 0. у (0) = 0. 100. г) - cos, -ctg-jj-. 101. в) D (f) = (™; . n ? Z, E (f) = R. 102. г) f (х)> 0 при
Мал. 3 |
пп ^ ^ л, лл.,. л. яп л (л + 1) ... п Л, ЯП
~ 2
І, щоб прийти вчасно в пункт призначення, збільшив швидкість на 5 км / год. Знайдіть первісну швидкість поїзда. | Г). 121. г) - - 122 в) -7г '- г) 0.124. в) Ні; г) так. 125. б) Ні. 126. г) - ^. 4 4 о про
Визначення. Функція, задана формулою f {х) -ха, називаетсястепенной (з показником ступеня а). | LgY, gT | Log32 log62 logi 2 + 2 | А3 - \ - А2 - а-1 х2 - {- х-12 | Ч sin (-a) ___ \ 2 / ¦ cos a | Ч я л 4л л 5л 1 | Е) Яка середня швидкість руху кожного туриста? | Знайдіть область значень кожної з функцій (98, 99). | Вирішіть рівняння (152-158). | A) 2 sin2 л: ^ 1; 6) 3 tg2 2л: ^ 1; в) 4 cos2 л: ^ 3; г) tg2 - 1 ^ 0. |