Головна

І, щоб прийти вчасно в пункт призначення, збільшив швидкість на 5 км / год. Знайдіть первісну швидкість поїзда.

  1. " Про народ мій! Увійдіть в землю священну, яку Аллах предначертал вам, і не повертайтеся назад, щоб не опинитися вам зазнали збитку ".
  2.  Автоматичні пункти обміну валюти (апів).
  3.  Акумулює свої щасливі хвилини, щоб витягувати їх, як ресурс, в менш успішні моменти!
  4.  Афамант, щоб уникнути великого лиха, що загрожувало Орхомене, вирішив
  5.  Бабаджі, посміхаючись, вийшов і підійшов до кожного, щоб все торкнулися теплої, міцної плоті його тіла. Сумніви розвіялися, мої друзі простяглися на підлозі в трепетному каяття.
  6.  Баркашов і Лимонов об'єдналися, щоб не жити в Америці
  7.  БІГТИ, ЩОБ ЗАЛИШИТИСЯ НА МІСЦІ

200. Після зустрічі двох теплоходів один з них пішов на південь, а інший - на захід. Через 2 години після зустрічі відстань між ними було 60 км. Знайдіть швидкість кожного теплохода, якщо відомо, що швидкість одного з них на 6 км / год більше швидкості іншого.

201. Два тіла рухаються назустріч один одному з двох точок, відстань між якими 390 м. Одне тіло пройшло в першу секунду 6 м, а в кожну наступну проходило на 6 м більше, ніж у попередню. Друге тіло рухалося рівномірно зі швидкістю 12 м / с і почало рух через

5 з після першого. Через скільки секунд після того, як почало рухатися перше тіло, вони зустрінуться?

202. На будівництво залізничної магістралі бригада будівельників за кілька днів повинна була за планом перемістити 2160 м3 грунту. Протягом перших трьох днів бригада щодня виконувала встановлену норму, а потім кожен день перевиконувала норму на 80 м3, Тому вже за день до терміну бригада перемістила 2320 м3 грунту. Яка за планом денна норма бригади?

203. Дві бригади комсомольців, працюючи спільно, закінчили посадку дерев на навчально-дослідній ділянці за 4 дні. Скільки днів треба було б на виконання цієї роботи кожної бригади станції окремо, якщо одна з бригад могла б закінчити посадку дерев на 6 днів раніше інший?

204. Для перевезення 60 т вантажу зажадали кілька машин. В зв'язку з тим що ;на 'кожну машину завантажили на 0,5 т менше від запланованого, додатково було затріть Бова ще 4 машини. Скільки 'машин було заплановано спочатку?

206. Два шматка латуні мають масу 30 кг. Перший шматок содер жит 5 кг чистої міді, а другий шматок - 4 кг. Скільки відсотків міді містить перший шматок латуні, якщо другий містить міді на 15% більше першого?

206. До розчину, що містить 40 г солі, додали 200 г води, (після чого 'масова частка розчиненої солі зменшилася на 10%. Скільки води містив розчин і яка була в ньому масова частка солі?

207. Дві автомашини виїхали одночасно з одного пункту в одному і тому ж напрямку. Одна машина рухається зі швидкістю 50 км / год, інша - 40 км / ч. Через півгодини з того ж пункту в тому ж напрямку виїхала третя машина, яка обігнала першу машину на 1 год 30 хв пізніше, ніж другу. Знайдіть швидкість третьої машини.

208. Знайдіть швидкість і довжину поїзда, знаючи, що він проходив з постійною швидкістю повз нерухомого спостерігача протягом 7 с і витратив 25 з на те, щоб проїхати з тією ж швидкістю уздовж платформи довжиною 378 м.

209. З пунктів Л і Б, розташованих на відстані 50 км, одночасно назустріч один одному вийшли два пішоходи. Через 5 год вони зустрілися. Після зустрічі пішохід, що йде з А в В, зменшив швидкість на 1 км / год, а другий збільшив швидкість на 1 км / год. Перший пішохід прибув в В на 2 ч раніше, ніж другий в А. Знайдіть первісну швидкість кожного пішохода.

210. На заводі для виготовлення одного електродвигуна типу А витрачається 2 кг міді і 1 кг свинцю, на виготовлення одного електродвигуна типу В - 3 кг міді і 2 кг свинцю. Сколькб електродвигунів кожного типу було виготовлено, якщо все витратили 130 кг міді і 80 кг свинцю?

211. Двоє робітників спільно можуть виконати планове завдання за 12 днів. Якщо половину завдання буде виконувати один робітник, а потім другу половину - інший, то все завдання буде виконано за 25 днів. За скільки днів може виконати завдання кожен робітник?

212. З двох рідин, щільність яких відповідно 1,2 г / см3 і 1,6 г / см3, Складена суміш масою 60 г. Скільки грамів кожної рідини в суміші і яка щільність суміші, якщо її 8 см3 мають таку ж масу, як маса всієї менш важкою зі змішаних рідин?

213. Обчисліть масу і масову частку (у відсотках) срібла в сплаві з міддю, знаючи, що. сплавивши його з 3 кг чистого срібла, отримають сплав, який містить 90% срібла, а сплавивши його


з 2 кг сплаву, що містить 90% срібла, отримують сплав з 84% -ної масовою часткою срібла.

214. По колу, довжина якої 60 м, рівномірно і в одному напрямку рухаються дві точки. Одна робить повний оборот на 5 з швидше інший і при цьому наздоганяє другу точку кожну хвилину. Знайдіть швидкість кожної точки.

215. Сума квадратів цифр позитивного двозначного числа дорівнює 13. Якщо з цього числа відняти 9, то вийде число, записане тими ж цифрами в зворотному порядку. Знайдіть це число.

216. Знайдіть всі пари натуральних чисел, різниця квадратів яких дорівнює 55.

§ 5.ПОХІДНА, первісних, ІНТЕГРАЛ ТА ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ

21. Похідна

217. Знайдіть відношення ~ для функції f, якщо:

а) / (*) - Ir *2'* О = 1, Дл: = 0,1;

б) f (x) = - yjx- 1, * о = 2. Ал: = 0,21;

в) F (x) ~ 3 -2л :, вго = 2, Дл: = 0,2;

г) / (*) = ~ У, л:0= 1, Дх = 0,1.

218. Користуючись визначенням, знайдіть похідну функції f в точці л: о, якщо:

а) F (х) = \ -4х, х0 = 3; б) f (х) = 1,5 л;2, Хо = 2;

в) F (*) = Зх + 2, х0 = 5; г) F (х) = х3+1, Х0= - 1.

Знайдіть похідні функцій (219-222).

219. a) f (jc) = i-jc4-1-Л:3 ± 1-л:2-л: + 5;

б) [(х) = (4 - л:2) Sin лг;

в) f {x) - (x2 + 5) (x3 - 2x - \ - 2);

ч г / \ COS X

r / М = w-

220. а) / (Л) = | - ^ + б) / (*) - (2 \ Jx) lg х \

в) f (x) = 4 = g-; г) 1 (х)

1 -  '/ / V / j - 2 cos х '

3 *

221. a) f {x) = 2X + Igx; б) f (x) = e -f- 2 log3 2л :;

 ь x

Мал. 153

6)  f (x) = 4Y +? +

(2x- l)3 *

Г) f (x) = \ g (3 *) -3tg (2x-J-).

223. Розв'яжіть рівняння f '(x) - 0, якщо:

a) / (x) = x4 - 2jc2 + 1; 6) / [x) = 1,5 sin 2a: -5 sin x-x \

в) f (x) - --9x \ r) f (jc) = x + cos 2a :.

Про Про

224. Функція задана графіком (рис. 153).

1) Вкажіть, в яких із зазначених точок:

а) Г (*)> 0; б) f '(х) <0; в) f '(х) = 0.

2) Вкажіть проміжки, на яких:

a)  f '(х)> 0; б) / '(*) <0; в) / '(*) = 0.



3) В яких точках інтервалу (а; Ь) функція / не має похідної?

Порівняйте значення похідної в заданих точках (225, 226).

225. а) ЛГ | і х2\ Б) xi і х3; в) х2 і х4; г) хз і xs (рис. 154).

226. а) х \ і хч \ б) х3 і х $ \ в) х4 і х $ \ г) х2 і х4 (Рис. 155).

227. Функції і, v, w діфференцируєми в точці х. Доведіть, що (uvw) '= u'vw - \ - uv'w + uvw'.

22. Застосування похідної до дослідження функцій

228. Обчисліть наближене значення функції в точках х \ і х2:

а) / (¦ *) - * 1 = 2,0057, х2 = 1,979;

б) f (x) = 2 + 4х-х2-Ь - ^ - Х4, Х \ = 3,005; х2= 1,98.

229. Обчисліть наближене значення виразу:

a) V ^ 009; б) 1,0001, 5; в) 0,999 "5; г) У8ДЮ8.

Знайдіть проміжки зростання та спадання, точки максимуму і мінімуму функцій (230, 231).

230. a) f (x) = - L *? + 4x2-7x + LS; б)

в) f (x) =x- ^ F ^ -, г) / W = -.

231. а) / (х) - cos 2х - 2 cos х; б) f {х) = 2 -sin-;

в) / (х) = 2 sin x-fcos 2х; г) f (х) = Зх -cos Зх.

Досліджуйте функцію і побудуйте її графік (232-234).

232. a) f (х) = х2 (X-2f; б)

В) / (х) = х3 -Зх2 -9х; г) f (x) =T~T.

а) / (х) = 1 - 2 sin 2х; б) / (х) = cos2 х - cos х:

в) f (х) = 3 -cos- | ~; г) f (x) - sin2 х -sin х.

234. a) / (x) = V * ln *; б) / (*) = - ? -;

в) f (х) - 2 ^ ~ *х\ Г) / (х) = х-In х.

236. Знайдіть найбільше та найменше значення функції / (якщо вони існують) на даному проміжку:


а) / (*) = 18 *2+ 8 *3-3 *4, [1; 3J

б) f (x) = 2 cos x-cos 2x, [0; л];

В) f (x) = j- + x2, [-Ь 1]; r) f (x) = sin x-x, [-л; я].

236. Число 10 подайте у вигляді суми двох невід'ємних доданків так, щоб сума кубів цих чисел була: а) найбільшою; б) найменшою.

237. Сума довжин катетів прямокутного трикутника дорівнює 20 см. Якої довжини має бути катети, щоб площа трикутника була найбільшою?

238. Сума довжин діагоналей паралелограма дорівнює 12 см. Знайдіть найменше значення суми квадратів всіх його сторін.

239. По двох вулицях рухаються до перехрестя дві машини з постійними швидкостями 40 км / год і 50 км / год. Вважаючи, що вулиці прямолінійні і перетинаються під прямим кутом, а також знаючи, що в певний момент часу автомашини перебувають від перехрестя на відстані 2 км і 3 км (відповідно), визначте, через який час відстань між ними стане найменшим.

240. Картина висотою 1,4 м повішена на стіну так, що її нижній край на 1,8 м вище очей спостерігача. На якій відстані від стіни повинен встати спостерігач, щоб його положення було найбільш сприятливо для огляду картини (т. Е. Щоб кут зору по вертикалі був найбільшим)?

241. Статуя заввишки 4 м коштує на колоні, висота якої 5,6 м. На якій відстані повинен встати людина ростом (до рівня очей) 1,6 м, щоб бачити статую під найбільшим кутом?

242. З усіх циліндрів, що мають об'єм 16л м3, Знайдіть циліндр з найменшою площею повної поверхні.

243. Знайдіть висоту циліндра найбільшого об'єму, який можна вписати в кулю радіусом R.

244. В конус, радіус підстави якого R і висота Я, потрібно вписати циліндр, що має найбільшу площу повної поверхні. Знайдіть радіус циліндра.

245. Близько даного циліндра потрібно описати конус найменшого обсягу (площині підстав циліндра і конуса збігаються). Як це зробити?

246. Знайдіть висоту конуса найменшого обсягу, описаного близько кулі радіусом R.

247. Знайдіть висоту конуса найменшого обсягу, описаного близько напівкулі радіусом R так, щоб центр основи конуса лежав в центрі кулі.

248. З круглого колоди діаметром 40 см потрібно вирізати балку прямокутного перетину з підставою b і висотою h. Міцність балки пропорційна bh2. При яких значеннях b і h міцність буде найбільшою?


249. Вікно має форму прямокутника, завершеного півколом. Як визначити розміри вікна, що має найбільшу площу при заданому периметрі?

250. На окружності дана точка А. Провести хорду ВС паралельно дотичній в точці А так, щоб площа трикутника АВС була найбільшою.

251. Який повинен бути кут при вершині рівнобедреного трикутника заданої площі, щоб радіус вписаного в цей трикутник кола був найбільшим?

252. На параболі у = х2 знайдіть точку, відстань від якої до точки А (2; 0,5) найменше.

253. Обсяг правильної трикутної призми дорівнює V. Яка повинна бути сторона підстави, щоб повна поверхню призми була найменшою?

23. Застосування похідної в фізиці і геометрії

254. По прямій рухаються дві точки. Визначте проміжок часу, протягом якого швидкість першої точки була менше

швидкості другий, якщо: а) х \ (/) = 2 | - /3, x2(T) = 2t - 3;

б) * i (/) = 9 /2+1, Х2 (/) = /3.

255. Кут повороту тіла навколо осі змінюється в залежності від часу за законом ф (/) = 0, Н2- 0,5 / + 0,2. Знайдіть кутову швидкість обертання тіла в момент часу / = 20 с. (Кут вимірюється в радіанах.)

256. Круглий металевий диск розширюється при нагріванні так, що його радіус рівномірно збільшується на 0,01 см / с. З якою швидкістю збільшується площа диска в той момент, коли його радіус дорівнює 2 см?

257. З пункту А по двом прямим, кут між якими 60 °, одночасно почали рухатися два тіла. Перше рухається рівномірно зі швидкістю 5 км / год, друге - за законом s (t) = 2t -t. З якою швидкістю вони віддаляються один від одного в момент t = 3 год? (S вимірюється в кілометрах, t - в годиннику.)

258. Кінці відрізка АВ довжиною 5 м ковзають по координатним осях. Швидкість переміщення кінця А дорівнює 2 м / с. Яка величина швидкості переміщення кінця В в той момент, коли кінець А знаходиться від початку координат на відстані 3 м?

259. Довжина вертикально стоїть сходи дорівнює 5 м. Нижній кінець драбини починає ковзати з постійною швидкістю

2 м / с. З якою швидкістю опускається в момент часу t верхній кінець драбини, з яким прискоренням?

260. неоднорідний стрижень АВ має довжину 12 см. Маса його частини AM зростає пропорційно квадрату відстані точки М від кінця А і дорівнює 10 г при AM = 2 см. Знайди - ті: 1) масу всього стержня АВ і лінійну щільність в будь-який його точці ; 2) лінійну щільність стрижня в точках А і В.

261. Колесо обертається так, що кут повороту пропорційний квадрату часу. Перший оборот був зроблений колесом за 8 с. Знайдіть кутову швидкість колеса через 48 с після початку обертання.

262. Тіло з висоти 10 м кинуто вертикально вгору з початковою швидкістю 40 м / с. Дайте відповідь на питання: а) на якій висоті від поверхні землі воно буде через 5 с? б) Через скільки секунд тіло досягне найвищої точки і на якій відстані від землі (вважати ? = 10 м / с2)?

х2

263. В якій точці параболи у = --- 1 дотична нахилена

до осі абсцис під кутом: а) 45 °; б) 135 °?

264. Знайдіть абсциси точок графіка функції f (х) - х3 х2 -

- Х-3, дотичні до яких нахилені до осі абсцис під кутом 135 °.

265. Доведіть, що будь-яка дотична до графіка функції f (х) = х3+ - ^ - Х2- \ - Х - 3 перетинає вісь абсцис.

266. Доведіть, що будь-яка дотична до графіка функції f (х) = х5- {- 2х - 7 становить з віссю абсцис гострий кут.

267. Доведіть, що графіки функцій f (л :) = (х + 2)2 і g (х) = 2-х2 мають спільну точку і загальну дотичну, що проходить через цю точку.

24. Первісна

268. Знайдіть загальний вигляд первісних для функції: a) f (х) = 4 sin x-J-cos Зх; б) f (х) = х2- \ - Х ~5- \ - Х2+^;

В) fW-2 +, 4т: г) /W= _ ? _+; Ea_.

269. Для функції f знайдіть первісну, графік якої проходить через точку М:

а) / (*) = - §-. 2):

б) F (*) = x ~2 + Cos ^ (^ Г '-) »

в) f (x) - x ~A, М (2; -3);

г) f (х) = sin 2х, Л * (0; 1).

270. Знайдіть функцію, похідна якої дорівнює 2х - 3 в будь-якій точці х і значення якої в точці 2 дорівнює 2.

271. Знайдіть рівняння кривої, що проходить через точку А (2; 3), якщо кутовий коефіцієнт дотичної в точці з абсцисою х дорівнює За:2.

272. Матеріальна точка рухається по координатній прямій зі швидкістю v (t) = sm t cos t. Знайдіть рівняння руху

точки, якщо при t = -j- її координата дорівнює 3.

25. Інтеграл

273. Розрахуйте:

зл

a) J cos (1,5л + 0,5 *) dx \ б) \ {х 2-) - X?) Dx \

- 2

 A) 2 sin2 л: ^ 1; 6) 3 tg2 2л: ^ 1; в) 4 cos2 л: ^ 3; г) tg2 - 1 ^ 0. |  В) J (cos Зх-sin 2х) dx \ г) \ (5-Qx-x2) dx.


 вправи |  Визначення. Функція, задана формулою f {х) -ха, називаетсястепенной (з показником ступеня а). |  LgY, gT |  Log32 log62 logi 2 + 2 |  А3 - \ - А2 - а-1 х2 - {- х-12 |  Ч sin (-a) ___ \ 2 / ¦ cos a |  Ч я л 4л л 5л 1 |  Е) Яка середня швидкість руху кожного туриста? |  Знайдіть область значень кожної з функцій (98, 99). |  Вирішіть рівняння (152-158). |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати