Головна

Визначення. Функція, задана формулою f {х) -ха, називаетсястепенной (з показником ступеня а).

  1.  Алгебраїчне рівнянь третього ступеня для обчислення його коренів наводиться
  2.  Аналіз ступеня використання основних виробничих фондів
  3.  Аналіз ступеня ризику активів банку
  4.  Аналітичний (формулою), табличний, графічний, словесний.
  5.  Анкета кількісної оцінки ступеня впливу на думку експертів джерел аргументації
  6.  Залежно від ступеня конвертованості можна виділити три групи (класу) валют.
  7.  Залежно від ступеня конвертованості можна виділити три групи (класу) валют.

Якщо а 0, то статечна функція визначена і при х = 0, оскільки 0 "= 0. При цілих а формулою f (х) = ха статечна функція f визначена і для х <0. При парних а ця функція парна, а при непарних а - непарна. Тому дослідження статечної функції досить провести лише на проміжку (0; оо).

У попередніх розділах курсу були отримані формули для похідної функції у = ха лише при цілих показниках ступеня, а також а = - ^ -. Тепер нам залишається вивести формулу

при довільному а. Доведемо, що для будь-якого х з області визначення похідна статечної функції знаходиться так:

а) '= Аха~1.

Дійсно, так як х = е1пж, То ха = еа1пх. Звідси за правилом обчислення похідної складної функції отримуємо:

ау = (еа, ПХУ = еа 1пх (А 1 п х) '= ха - А - = ~1.

Формула (1) доведена.

При а <0 статечна функція спадає на проміжку (0; оо), оскільки (хау = аха~1 <0 при х 0. При а 0 маємо (* ") '= = ал:а-1 0, тому статечна функція зростає при х »0. Крім того, треба врахувати, що при x = 0 статечна функція дорівнює 0 і ха -> ¦ Про при х -Ч) і х 0. Тому точка 0 приєднується до проміжку зростання, т. Е. При а 0 статечна функція зростає на проміжку [0; оо). Приклади графіків статечної функції при різних а наведені на малюнку 147.

З формули (1) випливає, що похідною статечної функції f (х) = ха є статечна функція (/ '(л :) = AЛ:a-,). Інша працювати з первісної статечної функції.

При аф - 1 загальний вигляд первісних статечної функції


При а = - 1, як відомо, первісної функції f є функція /г(Л :) = 1п Ul-f-C.

2. Обчислення значень статечної функції. Виведемо наближену формулу

(1 + Лх) "« 1 аЛх. (2)

Розглянемо функцію f (х) = ха і скористаємося наближеною формулою

f (х) ж f (х0) + / '(Х0) Дх, (3)

Найвідомішою з п. 20, при хо = 1 і х = 1 - {- А * - Маємо f (xo) = f (1) = 1 і У (х) = ах "_ |, Звідки / '(х0) = / '(1) = а- Г-1 = А. За формулою (3)

f (х) = (1 + Дх)а«1 - \ - akx.

Найчастіше цю формулу застосовують для обчислення коренів. Вважаючи а = -, знаходимо:

П

VT + A ^ = (l + A *)T»L + ^ -. (4)

Про Приклад. Обчислимо наближені значення: a) VH68;

б) V27763; в) 'VIООО.

Скористаємося формулою (4):

а) VH08 - (1 +0,08)4 «1 + - | -0,08 = 1,02;

б) так. + ^) = 3-V ^ f «з (. *

«3,0011. (Значення ^ / 27,03 з вісьмома знаками після коми таке: 3,0011107.)

в) Зауважимо, що 2| 0= Ю24. маємо:

lVT000 =l^! r^ = 2.lY ^ | i «2 (l-T^) «1,995. -

вправи

Побудуйте графік функції / і знайдіть її похідну (558-559).

558. а) / (лг) = л: ^ 2; б) / (х) = хл'3; в) f (x) = x ~3; г) f (х) = х ~ ^.

559. a) f {x) = x ~e; б) f (х) = (~) ~ ** \

\ J у

в) / (*) - Xя; г) / () --- = i 2хг "*"

Обчисліть за допомогою формули (4) наближені значення (560-561).

I

560. а) 243; б) V625-3; в) Щ; г) V48-

561. a) V30; б) V90; в) л / ^ 02; г) Щ.

562. Знайдіть найбільше та найменше значення функції f на проміжку /:

2 4

а) / (*) = хт, / = [1; 32]; б) f (x) = x ~T, / = [- Ь 27];

в)} (х) = х-\ / = [- Ь 1]; г) / (*) = * \ / = [^ -; 81].

563. Знайдіть загальний вигляд первісних для функції:

а) / (*) = - б)

в) f (x) = 3x ~1', г) f (x) = xe.

564. Обчисліть інтеграл:

4_5 Я «? * 81

a) \ x2dx \ б) $, в) J 2лг ",^ Л :; г) $'хАйх.

1 I -про- в 16

х *

565. Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями:

а) у = хы\ У = 0, х = \\ б) у = х ^3, У = - ^ ~, x= ~ Y>

в) у = х ~0,8, У = 0, х = \, а: = 32; г) t / = 0, лг = 3, х = 5.

566. На міліметрівці побудуйте графіки функцій у = л [х, У = \ [х, У = ух (а 0).

1) Знайдіть за допомогою графіка наближені значення: a) V2, V3; б) V3, ^ 5; в) ^ 5, ЦЗ; г) л ^ 5, V2-

2) Знайдіть значення цих коренів за допомогою калькулятора.

3) Розрахуйте їх наближені значення, користуючись формулою (4). У к а з а н і е: 2,5 = 1,62 -0,06; 2,5 = 1,33- + - 0,303;

2,5 = 1,254+ ^; 2 = 1,42 + 0,04; 3 = 1,43 +0,256, 3 =

= 1,34 = 0,1439.

4) Порівняйте отримані результати.

567. Вер але чи, що функція f (x) = х ^ має властивість:

а) в області визначення можна знайти відрізок, на кінцях якого функція приймає значення різних знаків;

б) є ??парною; в) має екстремуми;

г) існує точка аго, в якій функція приймає найменше значення.


44. Поняття про диференціальні рівняння

1. Безпосереднє інтегрування. В ході вирішення завдань природознавства часто виникають співвідношення, що зв'язують похідні деякої функції (першу, другу і т. Д.), Саму цю функцію і незалежну змінну. Наприклад, згідно з другим законом Ньютона при русі по прямій матеріальної точки постійної маси т справедлива формула F = ma, де F - сила, що викликає рух, а - прискорення точки. Нехай сила F залежить тільки від часу t, т. Е. F = F (t). Згадуючи, що прискорення є друга похідна координати за часом (a (t) = x "(/)), отримуємо диференціальне рівняння щодо функції х (/):

F (t) = тх " (/), Т. Е. x "(t) = - ^ -t

для вирішення Kotoporo спочатку знаходимо х '(t) як первісну

F (t)

функції а потім і x (t) як первісну функції v (/) =

= Х '(t). Загальне рішення залежить від двох довільних постійних. Для того щоб їх знайти, зазвичай задають координату і швидкість в будь-який момент часу t.

ОПрімер 1. При вертикальному русі під дією сили тяжіння координата h (t) точки одиничної маси задовольняє диференціальних рівнянь (вісь Oz спрямована вертикально вниз):

h "(0=S'-

Загальне рішення цього рівняння має вигляд:

h (t) = h0 + Vot +% Lt де ho = h (0), v0 = V (0).

Задавши ho і Vo, ми отримаємо вже єдине рішення, ф

Взагалі первісну F для функції f можна розглядати як рішення найпростішого диференціального рівняння

F '(x) = f (x), (1)

де f (х) - дана функція, F (х) - рішення цього рівняння.

2. Диференціальне рівняння показового росту і показового убування. Рішення багатьох задач фізики, техніки, біології та соціальних наук зводиться до задачі знаходження функцій, що задовольняють диференціальних рівнянь

f '(x) = kf (x), (2)

де k - деяка константа.

Знаючи формулу похідної показовою функції, легко здогадатися, що рішенням рівняння (2) є будь-яка функція виду


де С - постійна. Так як С довільно, у диференціального рівняння (2) нескінченно багато рішень.

Доведемо, що інших рішень, крім функцій виду (3), рівняння (2) не має. Для цього розглянемо довільну функцію /, що задовольняє рівняння (2), і допоміжну функцію

g {x) = f (x) e ~kx. (4)

Знайдемо її похідну:

g '(*) = /' (*) e ~kx- + - F (х) (e ~kx)f = F '(х) e ~kx - Kf (х) е ~кх. Підставляючи kf (х) замість f '(х) з рівняння (2), отримаємо: g' (л :) = kf (х) e ~kx - Kf (х) е ~кх = 0.

З рівності похідної функції g нулю слід, що g (х) = С при всіх х. З (4) отримуємо:

f (х) е ~кх = С, звідки f (х) = Секх,

що й потрібно було довести.

Зауваження. У наведених вище міркуваннях ми припускали, що функція f визначена і задовольняє рівняння (2) на всій числовій прямій. У конкретних задачах часто доводиться розглядати функції, що задовольняють рівняння (2) тільки на деякому проміжку. Природно, що в такому разі формула (3) буде давати загальне рішення задачі тільки на проміжку, на якому виконується рівняння (2).

Сенс диференціального рівняння (2) полягає в тому, що швидкість зміни функції в точці х пропорційна значенню самої функції в цій точці. Це рівняння часто зустрічається під час вирішення практичних завдань.

ОПрімер 2. (Радіоактивний розпад.) Нехай в початковий момент часу маса радіоактивної речовини дорівнює:

т (0) = то- (5)

Експериментально встановлено, що швидкість зменшення маси речовини т (t) з часом t пропорційна його кількості, т. Е. Т '(t) = -km (/), де k> 0. Як показано вище, т (t) = Ce ~. Константа З знаходиться з умови (5). А саме при / = 0

то = т (0) = Се ~к'°, т. е. С = т0.

Остаточно отримуємо:

m (t) = m0e ~kl. ф (6)

Розглянутий приклад типовий: щоб виділити з безлічі рішень диференціального рівняння одне, звичайно потрібно ще ввести початкові умови (в нашому випадку ця умова (5)).

Проміжок часу 7 *, через який маса радіоактивних


ного речовини зменшується в 2 рази, називають періодом напіврозпаду цієї речовини. Знаючи Т, можна знайти k. Так як

m (7 ') = ^ - m0, Т. Е. M0e-fcr= - ^ - M0,

KT 1

маємо е = -.

Отже, ekT = 2, kT = \ n 2, звідки k =

Наприклад, для радію Т «1550 років. Тому (якщо час вимірюв-

In 2

ряется в роках) 0,000447. Через мільйон років від на

початкової маси радію то залишиться тільки m (106) «Moe ~447 ~ «0,6 * 10-, 94mo.

3. Гармонійні коливання. Похідну від похідної f 'функції f називають другою похідною функції f і позначають f "(читається:« Еф два штриха »). Наприклад:

sin '* = cos х, sin "x = cos' x = - sin x, cos 'x = - sin x, cos" x = - sin' x = - cos x. ''

Друга похідна допомагає більш детально дослідити поведінку функції. Перша похідна є швидкість зміни функції, а друга похідна є швидкість зміни цієї швидкості.

Аналізуючи формули (7), можна помітити, що другі похідні синуса і косинуса відрізняються від самих функцій тільки знаком. Інакше кажучи, обидві ці функції задовольняють при всіх значеннях аргументу t рівняння

Г (0 = - / (О

У фізиці, зокрема в механіці, велику роль відіграють функції f, які задовольняють рівняння

г «= - ®т (8)

де про - позитивна постійна.

Розберемо завдання з механіки, що приводить до рівняння такого виду. Нехай до кульки масою m прикріплена розташована горизонтально пружина, інший кінець якої закріплений (рис. 148), і нехай в стані рівноваги координата х центру кульки дорівнює нулю. При переміщенні центру в точку з координації

ibdwwuuLr #

О X Про X

Мал. 148 Рис. 149


натой хфО виникає сила, яка прагне повернути кульку в положення рівноваги. Відповідно до закону Гука ця сила пропорційна переміщенню х, т. Е. F = -kx, де k - позитивна константа (див. Рис *. 149). За другим законом Ньютона F = ma, тому, з огляду на, що при русі по прямій прискорення є друга похідна від координати, маємо:

та (t) = mx "(t) = F, т. е. х" (/) = - ^ х (/).

Інакше кажучи, рух центру кульки під дією сил пружності підпорядковане рівняння (8) при -

Покажемо, що фізична величина, що змінюється в часі відповідно до рівняння (8), здійснює гармонійне коливання (див. П. 7). Саме рівняння (8) називають диференціальним рівнянням гармонічних коливань.

Перевіримо, що при будь-яких постійних А і р функція

f (t) = A cos (зі / + ф) (9)

є рішення рівняння (8). Справді, користуючись формулою для похідної складної функції, одержуємо:

/ '(/) = -Лео Sin (зі / + ф),

/ "(/) = - А зі2 cos (зі / + ф) = - зі2/ (/).

Вірно і зворотне: будь-яке рішення рівняння (8) є функція виду (9), причому зазвичай вибирають А ^ О, ф ? [0; 2л]. Доказ цього виходить за рамки шкільного курсу.

Довільніпостійні А і ф можна визначити, якщо задані початкові умови f (Q) = yot f '(0) = i> o- V 4. Падіння тіл в атмосферному середовищі. Розглянемо більш складний приклад. При падінні тіл в атмосфері потрібно враховувати опір повітря. Експериментально встановлено, що сила опору повітря пропорційна швидкості руху, т. Е. Сила F, що діє на тіло, дорівнює F (t) = mg - khf (/), Де т - маса тіла, g - прискорення вільного падіння, h (/) - координата на прямій (вісь Oh спрямована вертикально вниз), k - коефіцієнт пропорційності. За другим законом Ньютона F = ma, тому отримуємо рівняння

mz "(/) = mg - kz ' (/), Т. Е. z "(t) = g - ^ - z ' (/),

яке зручно розглядати як диференціальне рівняння

v '(t) = g - bv (t), де Ь = - ^> 0, (10)

щодо швидкості руху v (t) = z '(t). Для того щоб привести це рівняння до знайомого виду, введемо нову невідому

функцію y {t) ~~ -v (/), тоді 1-inf)) = - v '(t)

і рівняння (10) записується у вигляді

- Y '(t) = by (t), т. Е. У' (t) = - by (t), рішення якого вже відомі: y (t) = Ce ~bt. Отже, v (t) = f-y (t) = f ~ Ce ~b'.

Функція у = е ~ы убуває на R, при цьому її значення необмежено зменшуються при зростанні t (т. е. Се ~ы- + 0 при / - * - з для будь-якого С). Це означає, що швидкість наближається до постійного значення - | -, яке залежить від величини коефіцієнта пропорційності k і маси т. Наприклад, при затяжних стрибках (парашут не розкритий!) Ця швидкість дорівнює приблизно 50 м / с, а швидкість парашутиста при приземленні (коли k значно більше) близько 4-5 м / ч. А

Розглянуті приклади дозволяють зрозуміти, наскільки потужним апаратом дослідження є диференціальні рівняння. Дуже часто елементарні закони, що керують будь-яким процесом, записуються у вигляді диференціальних рівнянь. Для того щоб з'ясувати, як процес розгортається в часі, доводиться ці диференціальні рівняння вирішувати.

вправи

568. Перевірте, що функція y (t) є рішенням даного диференціального рівняння:

а) y (t) = 3 cos л), у "= - 4у \

б) y (0 = 4sin (-i - / - §-), у "= - ± -у \

в) у (t) = 2 cos 4 /, у "+ \ 6У = 0 \

г) Y (t) = - j-sin (0, \ t + \), t / "+ 0,01

569. Доведіть, що функція у ='е задовольняє рівняння У '= 3 * /.

570. Доведіть, що функція у = 7е  задовольняє рівняння У '= ~ 2у.

571. Доведіть, що функція у = Зе задовольняє рівняння у '= - 7у.

572. Знайдіть якесь відмінне від нуля рішення диференціального рівняння:

а) у "= -25у; б) ± -у "+ * у =0;

в) 4у "+ 16У = 0; г) у" = - ~ у.


574.  Доведіть, що сума двох гармонійних коливань Х \ {t) = A | cos (cl »i / Ф1) і X2 (t) = A2 cos (0) 2 / + фг) буде періодичною функцією тоді і тільки тоді, коли відношення

0) 1

частот є раціональне число г, т. е. - ± -р.

575. Від т міліграмів радію З через t хвилин радіоактивного розпаду залишилося п міліграмів. Знайдіть період напіврозпаду радію С.

576. До початку радіоактивного розпаду мали 1 г радію А. Через скільки хвилин його залишиться 0,125 г, якщо його період напіврозпаду дорівнює 3 хв?

577. Період напіврозпаду радіоактивного речовини дорівнює 1 ч. Через скільки годин його кількість зменшиться в 10 разів? Розрахуйте, яка частка радію залишиться через 1000 років, якщо період його напіврозпаду дорівнює 1550 років.

578. Одне тіло має температуру 200 °, а інше 100 °. Через 10 хв охолодження цих тіл на повітрі з температурою 0 ° перше тіло охололо до температури 100 °, а друге - до 80 °. Через скільки хвилин температури тел зрівняються? (Температура тіла T (t) задовольняє рівняння T '(t) = = - k (Т - Ti), де Т \-температура навколишнього середовища.)

579. Два тіла мають однакову температуру 100 °. Вони винесені на повітря (його температура 0 °). Через 10 хв температура одного тіла стала 80 °, а другого 64 °. Через скільки хвилин після початку охолодження різниця їх температур буде дорівнює 25 °?

580. Моторний човен рухається по озеру зі швидкістю 30 км / год. Яка швидкість човна через 3 хв після вимкнення мотора? (Скористайтеся тим, що швидкість човна v (t) задовольняє диференціальних рівнянь v '(t) = - kv (t \ де

і 5 v

v - швидкість в метрах за хвилину.)

Відомості з історії

1. Про походження термінів і позначень. До множенню рівних сомножителей призводить вирішення багатьох завдань. Поняття про ступінь з натуральним показником виникло вже в Стародавній Греції (вираз квадрат числа виникло при обчисленні площі квадрата, а куб числа - при знаходженні обсягу куба). Але сучасні позначення (типу а4, а5) В XVII в. ввів Декарт.

Дробові показники ступеня і найбільш прості правила дій над степенями з дробовими показниками зустрічаються в XIV в. у французького математика Н. О р е м а (1323-1382). Відомо, що Шюке (бл. 1445 - бл. 1500) розглядав ступеня з негативними і нульовими ^ показниками. С. С т е в і н запропонував розуміти під а "корінь л [а. Але систематично раціональні показники першим став вживати Ньютон.

Німецький математик М. Штіфель (1487-1567) дав визначення а ° = 1 при аФ 1 і ввів назву показник (це буквений переклад з німецької Exponent). Німецьке potenzieren означає зведення в ступінь. (Звідси походить і слово потенціювати, часто вживане при переходах типу log "/ (x) =

== logo g (х) = ^ a '°eJ w= alog"fi (jt).) У свою чергу термін exponenten виник при не зовсім точному перекладі з грецького слова, яким Діофант позначав квадрат невідомої величини.

Терміни радикал і корінь, введені в XII в., Походять від латинського radix, що має два значення: сторона і корінь. Грецькі математики замість «витягти корінь» говорили: «знайти сторону квадрата по його застосовується для розрахунку (площі)». Знак кореня у вигляді символу У з'явився вперше в 1525 р Сучасний символ введений Декартом, що додав горизонтальну риску Ньютон вже вказував показники коренів: У ~, \] ~.

Слово логарифм походить від грецького Хоуоф (число) і apiv | iocp (відношення) і перекладається, отже, як відношення чисел. Вибір винахідником (1594 г.) логарифмів Дж. Не- єром такої назви пояснюється тим, що логарифми виникли при зіставленні двох чисел, одне з яких є членом арифметичної прогресії, а інше - геометричній (див. Нижче). Логарифми з основою е ввів З п е й д е л (1619 г.), що склав перші таблиці для функції In х. Назва пізнішого походження натуральний (природний) пояснюється «природністю» цього логарифма. Н. Меркатор (1620- 1687), який запропонував цю назву, виявив, що In х - це

площа під гіперболою у = -. Він пропонував також назва гіперболічний.

2. З історії логарифмів. Протягом XVI ст. різко зріс обсяг роботи, пов'язаний з проведенням наближених обчислень в ході вирішення різних завдань, і в першу чергу завдань астрономії, що має безпосереднє практичне застосування (зокрема, при визначенні положення судів по зірках і по Сонцю). Найбільші проблеми виникали, як неважко зрозуміти, при виконанні операцій множення і ділення. Спроби часткового спрощення цих операцій шляхом зведення їх до складання (була складена, наприклад, таблиця квадратів цілих чисел від 1 до 100 000, що дозволяє обчислювати твори по

формулою ab = (а -f Ь)2- ^ - (А - Ь)2) Великого успіху не пріносі-


Непер Джон

(1550-1617) -англійський математик. Винахідник логарифмів, укладач першої таблиці логарифмів, полегшити роботу обчислювачів багатьох поколінь і що зробила великий вплив на розвиток додатків математики.

Чи. Тому відкриття логарифмів, що зводить множення і ділення чисел до складання і віднімання їх логарифмів, подовжило, за висловом Лапласа, життя обчислювачів.

Логарифми надзвичайно швидко увійшли в практику. Винахідники логарифмів не обмежилися розробкою нової теорії. Було створено практичне засіб - таблиці логарифмів, - різко підвищило продуктивність праці обчислювачів. Додамо, що вже в 1623 р, т. Е. За все через 9 років після видання перших таблиць, англійським математиком Д. Гантером була винайдена перша логарифмічна лінійка, яка стала робочим інструментом для багатьох поколінь. (Аж до самого останнього часу, коли на наших очах повсюдне поширення набуває електронна обчислювальна техніка та роль логарифмів як засобу обчислень різко знижується.)

Перші таблиці логарифмів складені незалежно один від одного шотландським математиком Дж. Н е п е р о м (1550-1617) і швейцарцем І. Бюрги (1552-1632). У таблиці Непера, видані в книгах під назвами «Опис дивовижної таблиці логарифмів» (1614 г.) і «Пристрій дивної таблиці логарифмів» (1619 г.), увійшли значення логарифмів синусів, косинусів і тангенсів для кутів від 0 до 90 ° з кроком в 1 хвилину. Бюрги підготував свої таблиці логарифмів чисел, мабуть, до 1610 року, але вийшли в світ вони 1620 р, вже після видання таблиць Непера, і тому залишилися непоміченими.

Одна з важливих ідей, що лежать в основі винаходу логарифмів, була вже відома. Штіфель (1487-1567) і ряд інших математиків звернули увагу на те, що множення і ділення членів геометричної прогресії

..., А-3, А ~2, А ~ \ 1, а, а2, а3, ...

відповідають додавання і віднімання показників, що утворюють арифметичну прогресію

... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...

Але однієї цієї ідеї недостатньо. Наприклад, «мережу» цілих ступенів числа 2 занадто рідкісна; багато числа «залишаються без логарифмів», тому необхідна була ще одна ідея: підносити до степеня числа, дуже близькі до одиниці. Помітивши, що степе-

(

1 \п / 1 \п+ *

1 + ^ J і при великих значеннях п близькі,

Непер і Бюрги взяли аналогічне рішення: Непер брав в якості підстави число ^ 1 * а Бюрги - число (l + yjj *) -

Подальший хід їх міркувань і опис схем обчислень переказати досить важко як через те, що є багато непростих деталей, так і тому, що взагалі тексти XVI в. досить туманні. Зауважимо тільки, що фактично далі Непер

переходить до основи ^ 1а Бюрги - до основи '°4 Це не змінило суті справи (як вам відомо,

(| +н0

loga10"-X'==f ^ l ° ga х, і тому зазначені переходи призводять лише

до перенесення коми в логарифм), але дозволило дещо спростити обчислення і самі таблиці.

Таким чином, по суті обидва винахідника логарифмів прийшли до висновку про доцільність розгляду ступенів ви-

да ^ 1 гДе М дуже велике число. розгляд чисел

такого виду призводить до відомого вам числу е, яке визначалося як Пш (1 -} -) (визначення меж послідовності

П - * - оо \ Я /

дано в «Відомостях з історії» до глави III). Залишилося вже небагато до ідеї прийняття в якості підстави логарифмів числа е (підстава таблиці логарифмів Бюрги збігається з точністю до третього знака з е, підстава таблиці логарифмів Непера близько

до числа.

Перші таблиці десяткових логарифмів (1617 г.) були складені за порадою Непера англійським математиком Г. Бріггсом (одна тисяча п'ятсот шістьдесят одна -1630). Багато з них були знайдені за допомогою виведеної Бріггсом наближеною формули

inr n (\ la- 1)

logю -,

m (Л / ТЬ - 1)

досить точної при великих значеннях тип. Бріггс брав значення т і п у вигляді ступенів двійки: це давало йому можливість


ність звести обчислення л [а і !у [\ 0 до послідовного вилучення квадратних коренів.

Інша ідея Бріггса дозволяє знаходити значення десяткових логарифмів деяких чисел самостійно, без допомоги таблиць. Ціла частина логарифма цілого числа на одиницю менше кількості цифр в самому числі. Тому, наприклад, для знаходження lg 2 з точністю до трьох знаків досить знайти число цифр 2| 0\ Це не дуже важко.

При складанні таблиць логарифмів важливу роль зіграло знайдене Непером і Бюрги співвідношення між приростами Ах і Ду в довільній точці к.с.0 для функції y = \ ogax. Відволікаючись від деталей їх системи викладу, основний результат можна

висловити так:, де k - деяка постійна. якщо під-

Ах х. 1 \п

вання логарифмів - ступінь (1 - \ - J, де п - досить біль

Ау 1 шое число, то -р-ж-.

Ах X

Спрямовуючи Ах до нуля, приходимо до диференціальних рівнянь ty'-рішенням якого, як ви знаєте, є

функція 1пх - + - С. Існує система викладу, при якій

* 0

In х0 з самого початку визначається як § -, т. е. In х0 - пло

1 *

щадь криволінійної трапеції, обмеженою гіперболою, віссю абсцис і прямими х - 1 і х = Хо. Висновок відомих вам властивостей логарифмів, виходячи з цього визначення, не дуже просте, але доступна вам завдання.

Питання і завдання на повторення

1. 1) Дайте визначення кореня п-го ступеня з числа. Що таке арифметичний корінь п-го ступеня?

2) Знайдіть значення:

а) У-27; б) \ Щ \ в) 128; г) д / gj-; д) СУ *) ".

3) Розв'яжіть рівняння:

а) х3= 125; б) х4 = 64; в) х5= -; г) х4 = - 16.

2. 1) Перерахуйте основні властивості арифметичних коренів.

2) Перетворіть вираз:

а) Щ. У4-, б) Ш; в) (Щ. у, Г) Л/ 2 Е.

3) Яке з чисел більше:

а) УГ28 або V ^; б) 2100 або 1 ГО20;

в) V26 або Уб; г) У5 або Уз?

3. 1) Дайте визначення ступеня з раціональним показником і перерахуйте основні властивості таких ступенів.

2) Знайдіть значення:

а ((F)3) 2; б V64: 2 ^. (2 в) нГнт; г) (| L) 4.

3) Яке з чисел більше:

- _ - - - А) УГБ або 24; б) 3 3 або 9 4;

4 4 2

в) 0,3 7 або 0,3 ~7; г) або 5 "0'6?

4. 1) Перерахуйте основні властивості показовою функції.

2) Побудуйте графік функції:

 а) у = 4х; б) У = (- \ ~); в) * / = 6х; г) * / = (- ? -).

а) 20,4 або 2 ^ a; б) 1,2 ^ або 1,2 ^;

О (-J-) або; г) 0,3 я або 0,3 3?

5. 1) а) Знайдіть корені рівняння ах= ас(А 0, аф 1).

б) Вирішіть нерівність ах ас (Розгляньте два випадки: 0 а <1 і а 1).

2) Розв'яжіть рівняння:

а) 27х = 9Ъ; б) 9x + l + Зх + 2 = 18;

в) 0,5х2 + х"2'5= У2; г) 3 *+2 - 3 * = 72.

3) Вирішіть нерівність:

a) б) 0,2 *2_2 5; в) 3 '<- ± -; г) (- ± -) '+'> 4.

6. 1) Дайте визначення логарифма числа.

2) Знайдіть:

a) log2 16 У2; б) logo.2 25; в) lg 0,01; г) log j_ д / 3.

з

3) Запишіть основне логарифмічна тотожність. З його допомогою обчисліть:

j Ч 1 + log ^

в

(

, V 1 -h iOg-W

; в 5-1 + logs2; г) 0,21 + logo,25.

7.  1) Перерахуйте основні властивості логарифмів.

2) Прологаріфміруйте по підставі а вираз (з 0, Ь 0):

а) 16Ь7 §Jc при а = 2; б) - = - при а = 10;

7 v V »o6 ьп

v 27л [Ь про » 0,49b3 " 7

в) - при а = 3; г) -1- При а = 0,7.

с4 с5 Vе

a) log3 * = 2 log3 7 + - | -log3 27- | -log3 16;

б) log2x = 2 log2 5 - - | -log2 8-flog2 0,2;

в) logs x = log5 1,5 -f_-^ ~ Log5 8; r) lg * = l + 2 1g3-§-lg 125.

8. 1) Дайте визначення логарифмічної функції і перерахуйте її основні властивості.

2) Побудуйте графік функції:

а) у = log4*; б) y = \ og1{X- \);

в) * / = logs л :; г) у = log ^ x-f 1.

3) Яке число більше:

а) lg 7 або 3 lg 2; б) log i 5 або log i 6;

з ?

в) log3 5 або log3 6; г) log2 3 або log3 2?

3) Знайдіть загальний вигляд первісних для функції:

a) v (x) = ebx-7e- *x\ б) і (x) = 5e0Jx;

в) g (x) = E-3x; г) f (x) ^ e2x.

11. 1) Яку похідну має функція y = \ ogax? Знайдіть загальний вигляд первісних для функції f (x) = - ^ ~.

2) Знайдіть похідну функції:

а) у = х 1п Зх; б) у - log2 (7 - 2х); в) у = 2 log3 а; г) у = In

3) Знайдіть загальний вигляд первісних для функції:

а) б) g (х) = --тг; в) і {х) = - ± - \ г) Л (а) = -2

Ьх '' ь, \ j х - З / х > / Ч / д. _j_ 1 ¦

12. 1) Яку похідну має статечна функція у = ха?

2) Побудуйте графік функції і знайдіть її похідну:

а) у = х '\ б) у - х ~А\ в) у = х ~ ° '3\ г) у = хЛ'2.

3) Знайдіть наближене значення:

а) У32,02; б) УГ27> 9; в) Уб4 ~ Д г) \ щб.

13. 1) Які рівняння називають ірраціональними?

2) Розв'яжіть рівняння:

а) д / а -3 - 2х - 7; б) У2а + 3 = 2;

в) А '-д / г = 12; г) а- | -3 = д / 33 + х2.

3) Вирішіть систему рівнянь:

a) f д / г-д / у = 3, б) Г A + t / - Va // = 6,

\ А-у = 9 ', I

¦ у =9; I а // = 16;

в) / д / х + д / у = 4, г) (A2 + T / = 7,

\ А -1 / = 8; \ A "t / = 12.

14. 1) Що називають розв'язком системи двох рівнянь з двома змінними?

2) Вирішіть систему рівнянь:

а) {х-3у = 5, б) Г 52* ~у = 0,2,

j 2е, -x = J_. \ 5 ^ - = 125;

в) (2ху - 9, г) Г 3ЗА + У = У3,

1 4х ^ = 1; I 5а - 4г / = 15.

3) Вирішіть систему рівнянь:

Г a -t / = 4, б) (3Л'~= 1,

а) I log2 a-log2t / = 1; I lg A + lg (y + 5) = 2;

в) f log ;, (5a - f /) = 2, г) Г A2-l-ty2 = 26,

I At / = 2; ilog5A = 1-flogs t /.


ЗАВДАННЯ НА ПОВТОРЕННЯ

§ 1. ДІЙСНІ ЧИСЛА

1. Раціональні і ірраціональні числа

1. Чи вірно твердження:

а) якщо натуральне число ділиться на 6, то воно ділиться на 3;

б) якщо сума двох чисел - парне число, то кожний доданок парне;

в) якщо твір двох чисел дорівнює нулю, то кожен співмножник дорівнює нулю;

г) якщо куб деякого числа ділиться на 8, то це число парне?

2. Доведіть, що сума трьох послідовних натуральних чисел ділиться на 3, а їх добуток - на 6.

3. До числа 523 допишіть дві цифри справа так, щоб отримане п'ятизначне число ділилося на: а) 3 і 5; б) 8 і 9.

4. Доведіть, що число 1056- 1 ділиться на 3 і 11.

5. У двозначному числі цифра одиниць на 2 більше цифри десятків. Саме число більше 30 і менше 40. Знайдіть це число.

6. Доведіть, що якщо дріб -у нескоротних, то нескоротних

- ab І Дріб

7. Доведіть, що:

а) \ А \ = \ -а \\ б) в) \ Х \2 = х2.

Знайдіть значення виразів (8-9).

2,75: 1,1 + 3 ^ -

8.  а)




 />


10. Вкажіть вірні цифри в запису наближеного значення

числа:

а) 3,82dt0,1; б) 1,980-104± 0,001-104;

В) 7,891 ± 0,1; г) 2,8-10 ~ 4 ± 0,3-10 ~ 4.

11. Користуючись формулою (1 +х)п«I +пх,обчисліть наближено:

 вправи |  LgY, gT


 Визначення. Функція F називається первісною для функцііfна заданому проміжку, якщо для всеххіз цього проміжку |  Ф (x) - F (x) -fC. |  Таким чином, для всіх х з проміжку / справедливо рівність Ф (х) - F (х) -С, що й треба було довести. |  Визначення. Арифметичним коренем п-го ступеня з числа а називають невід'ємне число, я-я ступінь якого дорівнює а. |  В) Wі61,7; г) (i-) 3і УХ. |  вправи |  Визначення. Логаріфмомчіслаbпо основаніюаназивается показник ступеня, в яку потрібно звести підставу а, щоб отримати число Ь. |  Log & X |  Дос я \ lg 8-j-lg 18 log3 16. |  LogsV5 1 |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати