На головну

Класи інтегрованих функцій.

  1.  A) Метод Квайна (оптимальний для функцій з великою кількістю змінних).
  2.  I. Обчислення меж функцій.
  3.  II. Обчислення похідних функцій
  4.  II. Система функцій менеджменту.
  5.  III. Дослідження функцій та побудова графіків
  6.  V. Дослідження функцій і побудова їх графіків
  7.  Алгоритм обчислення границь функцій

1. Безперервні функції.

Теорема 1. Будь-яка безперервна на відрізку [a, b] функція інтегровна на цьому відрізку.

2. Монотонні обмежені функції і деякі інші класи інтегрованих функцій.

Теорема 2. Будь-яка монотонна обмежена функція є інтегрованою функцією.

Теорема 3. Будь-яка обмежена функція, що має кінцеве число розривів интегрируема.

Квиток 37.Заміна змінної та інтегрування частинами у визначеному інтегралі.

Формула заміни змінної. Нехай х = ? (t) неперервна і диф. на T = {?; ?}. Функція f (x) неперервна на відрізку [a; b] = [x (?); x (?)]. Тоді ?f (x) dx (a; b) = ?f (? (t)) * ? '(t) dt (?; ?)

Інтегрування по частинах.Нехай U (x) і V (x) неперервні і диф. на відрізку [a; b]. Тоді має місце формула: ?UdV = UV |ab - ?VdU

Доказ: таке ж як в неопр. інтегралі

Квиток 38.Інтеграл із змінною верхньою межею. Формула Ньютона-Лейбніца.

Інтеграл із змінною верхньою межею. Якщо функція f (x) неперервна на [a; b], то для всіх х (- [a; b] визначена функція Ф (х) = ?f (t) dt (a; x), яка називається інтегралом із змінною верхньою межею. На інтеграл із змінною верхньою межею поширюються всі правила і властивості визначеного інтеграла.

Теорема.Якщо f (x) неперервна на [a; b], то Ф '(x) = (?f (t) dt)' (a; x) = f (x), для всіх х (- [a; b]

Формула Ньютона-Лейбніца.Нехай f (x) неперервна на [a; b], F (x) - яка-небудь первісна для неї, тоді:

?f (x) dx = F (x) |ab = F (b) - F (a)

Квиток 39.Невласні інтеграли 1-го і 2-го роду. Сходяться і розходяться інтеграли. Геометричний сенс.

Визначення. При введенні поняття певного інтеграла припускали наступні умови: а) відрізок інтегрування [a; b] є кінцевим; б) підінтегральна функція f (x) - обмежена на відрізку інтегрування. У цьому випадку інтеграл називається власним. Якщо хоча б одне із зазначених умов порушується, то інтеграл називається невласних, т. Е. ?f (x) dx називається невласних, якщо а = -? або b = + ? (або невзаімоіскл.)

Збіжність / розбіжність. Нехай f (x) визначена і неперервна на [a; b] (b> a). Позначимо I (b) = ?f (x) dx, фіксуючи нижню межу а. Функцію I (b) розглянемо як інтеграл із змінною верхньою межею.

1) ?f (x) dx (a; + ?) = lim ?f (x) dx (a; b) (ba + ?) - невласний інтеграл 1 роду на [a; + ?). Якщо межа в правій частині існує і кінцевий, тоді невласний інтеграл сходиться. В іншому випадку розходиться.

2) ?f (x) dx (-?; b) = lim ?f (x) dx (a; b) (aa-?)

3) ?f (x) dx (-?; ?) = ?f (x) dx (-?; c) + ?f (x) dx (c; + ?) = межі

Геометричний сенс.Нехай f (x)> 0. Невласний інтеграл визначає площу під кривою в соотв. попер., в даному випадку [a; + ?)

Невласний інтеграл 2го роду.Нехай функція f (x) задана на [a; b), не обмежена при

xab і для будь-якого ?> 0 знайдеться ?f (x) dx (a; b-?). Невласних інтегралом 2го роду від функції

f (x) називається lim ?f (x) dx (a; b-?) (?a0 +) = ?f (x) dx (a; b)

Геометричний сенс: також тільки площа під графіком.

Квиток 40.Властивості невласних інтегралів. Ознаки збіжності. Еталонні ряди.

Властивості.1) Якщо сходиться невласний інтеграл ?f (x) dx (a; ?), то знайдеться така b> a, що невласний інтеграл буде сходиться і ?f (x) dx (a; ?) = ?f (x) dx ( b; a) + ?f (x) dx (b; ?)

2) Якщо сходяться інтеграли ?f (x) dx (a; ?) і ?g (x) dx (a; ?), то сходяться і інтеграли ? (?f (x) + - ?g (x)) dx (a; ?), де ? і ? = const і

 Властивості. |  Ознаки збіжності.


 МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ |  Теорема Коші. |  Схема знаходження. |  Схема дослідження функції на опуклість і перегин. |  Вибір U і dV. |  Sinmxcosnxdx |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати