На головну

Диференціальні рівняння першого порядку. Приклади рішень. Диференціальні рівняння із перемінними

  1.  A.3.3. приклади
  2.  Auml; Приклади біноміальних експериментів.
  3.  Auml; Приклади.
  4.  I. Приклади розв'язання задач
  5.  I. Приклади розв'язання задач
  6.  I. Приклади розв'язання задач
  7.  I. Приклади розв'язання задач

Диференціальні рівняння (ДУ). Ці два слова зазвичай наводять жах середньостатистичного обивателя. Диференціальні рівняння здаються чимось позамежним і важким в освоєнні і багатьом студентам. Уууууу ... диференціальні рівняння, як би мені все це пережити ?!

Таку думку і такий настрій в корені невірний, тому-що насправді ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ - ЦЕ ПРОСТО І НАВІТЬ захоплюючий. Що потрібно знати і вміти, для того щоб навчитися вирішувати диференціальні рівняння? Для успішного вивчення діффуров ви повинні добре вміти інтегрувати і диференціювати. Чим якісніше вивчені теми Похідна функції однієї змінної и невизначений інтеграл, Тим буде легше розібратися в диференціальних рівняннях. Скажу більше, якщо у вас більш-менш пристойні навички інтегрування, то тема практично освоєна! Чим більше інтегралів різних типів ви вмієте вирішувати - тим краще. Чому? Тому що доведеться багато інтегрувати. І диференціювати. також наполегливо рекомендую навчитися знаходити похідну від функції, заданої неявно.

У 95% випадків в контрольних роботах зустрічаються 3 типи диференціальних рівнянь першого порядку: рівняння із перемінними, які ми розглянемо на цьому уроці; однорідні рівняння и лінійні неоднорідні рівняння. Початківцям вивчати діффури раджу ознайомитися з уроками саме в такому порядку. Є ще більш рідкісні типи диференціальних рівнянь: рівняння в повних диференціалах, рівняння Бернуллі і деякі інші. Найбільш важливими з двох останніх видів є рівняння в повних диференціалах, оскільки крім цього ДУ я розглядаю новий матеріал - приватна інтегрування.

Спочатку згадаємо звичайні рівняння. Вони містять змінні і числа. Найпростіший приклад:  . Що значить вирішити звичайне рівняння? Це означає, знайти безліч чисел, Які задовольняють даному рівнянню. Легко помітити, що дитяче рівняння  має єдиний корінь:  . Для приколу зробимо перевірку, підставимо знайдений корінь в наше рівняння:

 - Отримано вірне рівність, значить, рішення знайдено правильно.

Діффури влаштовані приблизно так само!

диференціальне рівняння першого порядку, містить:
 1) незалежну змінну ;
 2) залежну змінну  (Функцію);
 3) першу похідну функції: .

У деяких випадках в рівнянні першого порядку може бути відсутнім «ікс» або (і) «ігрек» - важливо щоб в ДУ була перша похідна  , і не було похідних вищих порядків - ,  і т.д.

Що значить вирішити диференціальне рівняння?Вирішити диференціальне рівняння - це значить, знайти безліч функцій  , Які задовольняють даному рівнянню. Таке безліч функцій називається спільним рішенням диференціального рівняння.

приклад 1

Вирішити диференціальне рівняння

Повний боєкомплект. З чого почати рішення будь-якого диференціального рівняння першого порядку?

В першу чергу потрібно переписати похідну трохи в іншому вигляді. Згадуємо громіздке позначення похідної:  . Таке позначення похідної багатьом з вас напевно здавалося безглуздим і непотрібним, але в діффурах рулить саме воно!

Отже, на першому етапі переписуємо похідну в потрібному нам вигляді:

На другому етапі завжди дивимося, чи не можна розділити змінні? Що значить розділити змінні? Грубо кажучи, в лівій частині нам потрібно залишити тільки «ігреки», а в правій частині організувати тільки «ікси». Поділ змінних виконується за допомогою «шкільних» маніпуляцій: винесення за дужки, перенесення доданків з частини в частину зі зміною знака, перенесення множників з частини в частину по правилу пропорції і т.п.

диференціали и  - Це повноправні множники і активні учасники бойових дій. У розглянутому прикладі змінні легко розділяються перекиданням множників за правилом пропорції:

Змінні розділені. У лівій частині - тільки «ігреки», в правій частині - тільки «ікси».

Наступний етап - інтегрування диференціального рівняння. Все просто, навішуємо інтеграли на обидві частини:

Зрозуміло, інтеграли потрібно взяти. В даному випадку вони табличні:

 Як ми пам'ятаємо, до будь-якої первісної приписується константа. Тут два інтеграла, але константу  достатньо записати один раз. У більшості випадків її приписують в правій частині.

Строго кажучи, після того, як взяті інтеграли, диференціальне рівняння вважається вирішеним. Єдине, у нас «ігрек» не виражений через «ікс», тобто рішення представлено в неявному вигляді. Рішення диференціального рівняння в неявному вигляді називається загальним інтегралом диференціального рівняння. Тобто,  - Це загальний інтеграл.

Тепер потрібно спробувати знайти спільне рішення, тобто спробувати уявити функцію в явному вигляді.

Будь ласка, запам'ятайте перший технічний прийом, він дуже поширений і часто застосовується в практичних завданнях. Коли в правій частині після інтегрування з'являється логарифм, то константу майже завжди доцільно записати теж під логарифмом.

Тобто, замістьзапису  зазвичай пишуть .

тут  - Це така ж повноцінна константа, як і  . Навіщо це потрібно? А для того, щоб легше було висловити «ігрек». Використовуємо шкільне властивість логарифмів:  . В даному випадку:

Тепер логарифми і модулі можна з чистою совістю прибрати з обох частин:

Функція представлена ??в явному вигляді. Це і є спільне рішення.

безліч функцій  є загальним рішенням диференціального рівняння .

надаючи константі  різні значення, можна отримати нескінченно багато приватних рішень диференціального рівняння. Будь-яка з функцій , ,  і т.д. задовольнятиме диференціальних рівнянь .

Іноді спільне рішення називають сімейством функцій. В даному прикладі спільне рішення  - Це сімейство лінійних функцій, а точніше, сімейство прямо пропорційно.

Багато диференціальні рівняння досить легко перевірити. Робиться це дуже просто, беремо знайдене рішення  і знаходимо похідну:

Підставляємо наше рішення  і знайдену похідну  в вихідне рівняння :

 - Отримано вірне рівність, значить, рішення знайдено правильно. Іншими словами, загальне рішення  задовольняє рівняння .

Після ґрунтовного розжовування першого прикладу доречно відповісти на кілька наївних запитань про диференціальні рівняння.

1) У цьому прикладі нам вдалося розділити змінні:  . Чи завжди це можна зробити? Ні не завжди. І навіть частіше змінні розділити не можна. Наприклад, в однорідних рівняннях першого порядку, Необхідно спочатку провести заміну. В інших типах рівнянь, наприклад, в лінійному неоднорідному рівнянні першого порядку, Потрібно використовувати різні прийоми і методи для знаходження спільного рішення. Рівняння з відокремлюваними змінними, які ми розглядаємо на першому уроці - найпростіший тип диференціальних рівнянь.

2) Чи завжди можна проінтегрувати диференціальне рівняння? Ні не завжди. Дуже легко придумати «круте» рівняння, яке проинтегрировать, крім того, існують неберущімся інтеграли. Але подібні ДУ можна вирішити наближено за допомогою спеціальних методів. Даламбер і Коші гарантують. ... Тьху, lurkmore.ru недавно начитався.

3) В даному прикладі ми отримали рішення у вигляді загального інтеграла  . Чи завжди можна із загального інтеграла знайти спільне рішення, тобто, висловити «ігрек» в явному вигляді? Ні не завжди. наприклад:  . Ну і як тут висловити «ігрек» ?! У таких випадках відповідь слід записати у вигляді загального інтеграла. Крім того, іноді спільне рішення знайти можна, але воно записується настільки громіздко і кострубато, що вже краще залишити відповідь у вигляді загального інтеграла

Поспішати не будемо. Ще одне просте ДУ і ще один типовий прийом рішення.

приклад 2

Знайти приватне рішення диференціального рівняння  , Що задовольнить початковому умові

За умовою потрібно знайти приватне рішення ДУ, що задовольнить початковому умові. Така постановка питання також називається завданням Коші.

Спочатку знаходимо спільне рішення. У рівнянні немає змінної «ікс», але це не повинно бентежити, головне, в ньому є перша похідна.

Переписуємо похідну в потрібному вигляді:

Очевидно, що змінні можна розділити, хлопчики - наліво, дівчатка - направо:

Інтегруємо рівняння:

Загальний інтеграл отримано. Тут константу я намалював, які використовують наголоси зірочкою, справа в тому, що дуже скоро вона перетвориться в іншу константу.

Тепер пробуємо загальний інтеграл перетворити в загальне рішення (висловити «ігрек» в явному вигляді). Згадуємо старе, добре, шкільне:  . В даному випадку:

Константа в показнику виглядає якось некошерної, тому її зазвичай спускають з небес на землю. Якщо детально, то відбувається це так. Використовуючи властивість ступенів, перепишемо функцію таким чином:

якщо  - Це константа, то  - Теж певна константа, яку позначимо через букву :

 Запам'ятайте слово "знести" константи, це другий технічний прийом, який часто використовують в ході рішення диференціальних рівнянь.

Отже, спільне рішення:  . Таке ось симпатична родина експоненційних функцій.

На завершальному етапі потрібно знайти приватне рішення, яке задовольняє заданому початковому умові  . Це теж просто.

В чому полягає завдання? необхідно підібрати таке значення константи  , Щоб виконувалося заданий початкова умова .

Оформити можна по-різному, але зрозуміліше всього, мабуть, буде так. У загальне рішення замість «ікси» підставляємо нуль, а замість «Ігрека» двійку:



 Тобто,

Стандартна версія оформлення:

У загальне рішення  підставляємо знайдене значення константи :
 - Це і є потрібне нам приватне рішення.

Виконаємо перевірку. Перевірка приватного рішення включає в себе два етапи.

Спочатку необхідно перевірити, а чи дійсно знайдене приватне рішення  задовольняє початковій умові  ? Замість «ікси» підставляємо нуль і дивимося, що вийде:
 - Да, дійсно отримана двійка, значить, початкова умова виконується.

Другий етап уже знаком. Беремо отримане приватне рішення  і знаходимо похідну:

підставляємо и  в вихідне рівняння :


 - Отримано вірне рівність.

Висновок: приватне рішення знайдено правильно.

Переходимо до більш змістовним прикладів.

приклад 3

Вирішити диференціальне рівняння

Рішення: Переписуємо похідну в потрібному нам вигляді:

Оцінюємо, чи можна розділити змінні? Можна, можливо. Переносимо другий доданок в праву частину зі зміною знака:

І перекидаємо множники за правилом пропорції:

Змінні розділені, інтегруємо обидві частини:

Повинен попередити, наближається судний день. Якщо ви погано вивчили невизначені інтеграли, Прорешалі мало прикладів, то діватися нікуди - доведеться їх освоювати зараз.

Інтеграл лівій частині легко знайти методом підведення функції під знак диференціала, З інтегралом від котангенса розправляємося стандартним прийомом, який ми розглядали на уроці Інтегрування тригонометричних функцій в минулому році:


У правій частині у нас вийшов логарифм, згідно з моєю першою технічної рекомендації, в цьому випадку константу теж слід записати під логарифмом.

Тепер пробуємо спростити загальний інтеграл. Оскільки у нас одні логарифми, то від них цілком можна (і потрібно) позбутися. Максимально «пакуємо» логарифми. Упаковка проводиться за допомогою трьох властивостей:


Будь ласка, перепишіть ці три формули до себе в робочий зошит, при вирішенні діффуров вони застосовуються дуже часто.

Рішення розпишу дуже докладно:


Упаковка завершена, прибираємо логарифми:

Чи можна виразити «ігрек»? Можна, можливо. Треба звести в квадрат обидві частини. Але робити цього не потрібно.

Третій технічна рада: Якщо для отримання спільного рішення потрібно підносити до степеня або витягувати коріння, то в більшості випадків слід утриматися від цих дій і залишити відповідь у вигляді загального інтеграла. Справа в тому, що загальне рішення буде виглядати по-чудернацьки і жахливо - з великими країнами, знаками .

Тому відповідь запишемо у вигляді загального інтеграла. Хорошим тоном вважається уявити загальний інтеграл у вигляді  , Тобто, в правій частині, по можливості, залишити тільки константу. Робити це не обов'язково, але завжди ж вигідно порадувати професора ;-)

відповідь: загальний інтеграл:

Примітка: загальний інтеграл будь-якого рівняння можна записати не єдиним способом. Таким чином, якщо у вас не збігся результат з наперед відомим відповіддю, то це ще не означає, що ви неправильно вирішили рівняння.

Загальний інтеграл теж перевіряється досить легко, головне, вміти знаходити похідні від функції, заданої неявно. Диференціюючи відповідь:

Множимо обидва доданків на :

І ділимо на :

Отримано в точності вихідне диференціальне рівняння  , Значить, загальний інтеграл знайдений правильно.

приклад 4

Знайти приватне рішення диференціального рівняння  , Що задовольнить початковому умові  . Виконати перевірку.

Це приклад для самостійного рішення. Нагадую, що задача Коші складається з двох етапів:
 1) Знаходження загального рішення.
 2) Знаходження приватного рішення.

Перевірка теж проводиться в два етапи (див. Також зразок Прикладу 2), потрібно:
 1) Переконатися, що знайдене приватне рішення дійсно задовольняє початковій умові.
 2) Перевірити, що приватне рішення взагалі задовольняє диференціальних рівнянь.

Повне рішення і відповідь в кінці уроку.

приклад 5

Знайти приватне рішення диференціального рівняння  , Що задовольнить початковому умові  . Виконати перевірку.

Рішення:Спочатку знайдемо спільне рішення. Дане рівняння вже містить готові диференціали и  , А значить, рішення спрощується. Поділяємо змінні:

Інтегруємо рівняння:

Інтеграл зліва - табличний, інтеграл справа - беремо методом підведення функції під знак диференціала:

Загальний інтеграл отримано, чи не можна вдало висловити загальне рішення? Можна, можливо. Навішуємо логарифми:

(Сподіваюся, всім зрозуміло перетворення  , Такі речі треба б уже знати)

Отже, спільне рішення:

Знайдемо приватне рішення, відповідне заданому початковому умові  . У загальне рішення замість «ікси» підставляємо нуль, а замість «Ігрека» логарифм двох:

Більш звична оформлення:

Підставляємо знайдене значення константи  в загальне рішення.

відповідь: приватне рішення:

Перевірка: Спочатку перевіримо, чи виконано початкова умова :
 - Все гуд.

Тепер перевіримо, а чи задовольняє взагалі знайдене приватне рішення  диференціальних рівнянь. Знаходимо похідну:

Дивимося на вихідне рівняння:  - Воно представлено в диференціалах. Є два способи перевірки. Можна з знайденої похідною висловити диференціал :

 Підставами знайдене приватне рішення  і отриманий диференціал  в вихідне рівняння :

 Використовуємо основну логарифмічна тотожність :

 Отримано вірне рівність, значить, приватне рішення знайдено правильно.

Другий спосіб перевірки дзеркальний і більш звичний: з рівняння  висловимо похідну, для цього розділимо всі штуки на :

І в перетворене ДК підставами отримане приватне рішення  і знайдену похідну  . В результаті спрощень теж повинно вийти вірне рівність.

приклад 6

Вирішити диференціальне рівняння  . Відповідь представити у вигляді загального інтеграла .

Це приклад для самостійного рішення, повне рішення і відповідь в кінці уроку.

Які труднощі підстерігають при вирішенні диференціальних рівнянь із перемінними?

1) Не завжди очевидно (особливо, чайнику), що змінні можна розділити. Розглянемо умовний приклад:  . Тут потрібно провести винесення множників за дужки:  і відокремити коріння:  . Як діяти далі - зрозуміло.

2) Складнощі при самому інтегруванні. Інтеграли нерідко виникають не найпростіші, і якщо є вади в навичках знаходження невизначеного інтеграла, То з багатьма діффурамі доведеться туго. До того ж у укладачів збірників і методичок популярна логіка «якщо вже диференціальне рівняння є простим, то нехай інтеграли будуть складніше».

3) Перетворення з константою. Як все помітили, з константою в диференціальних рівняннях можна робити практично все, що завгодно. І не завжди такі перетворення зрозумілі новачкові. Розглянемо ще один умовний приклад:  . У ньому доцільно помножити всі складові на 2:  . отримана константа  - Це теж якась константа, яку можна позначити через :  . Так, і якщо в правій частині логарифм, то константу  доцільно переписати у вигляді іншої константи: .

Біда ж полягає в тому, що частенько не заморочуються з індексами, і використовують одну і ту ж букву  . І в результаті запис рішення приймає наступний вигляд:

Що за фігня? Тут же помилки. Формально - так. А неформально - помилки немає, мається на увазі, що при перетворенні константи  все одно виходить якась інша константа .

Або такий приклад, припустимо, що в ході рішення рівняння отримано загальний інтеграл  . Така відповідь виглядає негарно, тому доцільно змінити у всіх множників знаки:  . Формально за записом тут знову помилка, слід було б записати  . Але неформально мається на увазі, що  - Це все одно якась інша константа (тим більше  може приймати будь-яке значення), тому зміна у константи знака не має ніякого сенсу і можна використовувати одну і ту ж букву .

Я буду намагатися уникати недбалого підходу, і все-таки проставляти у констант різні індекси при їх перетворенні.

приклад 7

Вирішити диференціальне рівняння  . Виконати перевірку.

Рішення: Дане рівняння допускає поділ змінних. Поділяємо змінні:

інтегруємо:

 константу  тут не обов'язково визначати під логарифм, оскільки нічого путнього з цього не вийде.

відповідь: загальний інтеграл:

Перевірка: Диференціюючи відповідь (неявну функцію):

 Позбавляємося від дробів, для цього множимо обидва доданків на :

 Отримано вихідне диференціальне рівняння, отже, загальний інтеграл знайдений правильно.

приклад 8

Знайти приватне рішення ДУ.
,

Це приклад для самостійного рішення. Єдиний коментар, тут вийде загальний інтеграл, і, правильніше кажучи, потрібно примудритися знайти не приватна рішення, а приватний інтеграл. Повне рішення і відповідь в кінці уроку.

Як уже зазначалося, в діффурах із перемінними нерідко вимальовуються не найпростіші інтеграли. І ось ще парочка таких прикладів для самостійного рішення. Рекомендую всім прорешать приклади №№9-10, незалежно від рівня підготовки, це дозволить актуалізувати навички знаходження інтегралів або заповнити прогалини в знаннях.

приклад 9

Вирішити диференціальне рівняння

приклад 10

Вирішити диференціальне рівняння

Пам'ятайте, що загальний інтеграл можна записати не єдиним способом, і зовнішній вигляд ваших відповідей може відрізнятися від зовнішнього вигляду моїх відповідей. Короткий хід рішення і відповіді в кінці уроку.

Приклад 4: Рішення: Знайдемо загальний розв'язок. Поділяємо змінні:


інтегруємо:



Загальний інтеграл отримано, намагаємося його спростити. Пакуємо логарифми і позбавляємося від них:


Висловлюємо функцію в явному вигляді, використовуючи .
Загальне рішення:

Знайдемо приватне рішення, що задовольнить початковому умові .
Спосіб перший, замість «ікси» підставляємо 1, замість «Ігрека» - «е»:
.
Спосіб другий:

Підставляємо знайдене значення константи  в загальне рішення.
відповідь: приватне рішення:

Перевірка: Перевіряємо, чи дійсно виконується початкова умова:
, Так, початкова умова  виконано.
Перевіряємо, чи задовольняє взагалі приватне рішення  диференціальних рівнянь. Спочатку знаходимо похідну:

Підставами отримане приватне рішення  і знайдену похідну  в вихідне рівняння :

Отримано вірне рівність, значить, рішення знайдено правильно.

Приклад 6: Рішення: Дане рівняння допускає поділ змінних. Поділяємо змінні та інтегруємо:




відповідь: загальний інтеграл:

Примітка: тут можна отримати і спільне рішення:

Але, згідно з моїм третього технічній раді, робити це небажано, оскільки така відповідь виглядає досить хреново.

Приклад 8: Рішення: Дане ДУ допускає поділ змінних. Поділяємо змінні:



інтегруємо:


Загальний інтеграл:
Знайдемо приватне рішення (приватний інтеграл), що відповідає заданому початковому умові . Підставляємо в загальне рішення и :

відповідь: Приватний інтеграл:
В принципі, відповідь можна попрічесивать і отримати що-небудь більш компактне.

Приклад 9: Рішення: Дане рівняння допускає поділ змінних. Поділяємо змінні та інтегруємо:

Ліву частину інтегруємо частинами:

В інтегралі правій частині проведемо заміну:

Таким чином:


(Тут дріб розкладається методом невизначених коефіцієнтів, Але вона настільки проста, що підбір коефіцієнтів можна виконати і усно)

Зворотній заміна:



відповідь: загальний інтеграл:

Приклад 10: Рішення: Дане рівняння допускає поділ змінних. Поділяємо змінні та інтегруємо:





Методом невизначених коефіцієнтів розкладемо підінтегральної функції в суму елементарних дробів:



Примітка: Інтеграл  можна було також знайти шляхом виділення повного квадрата.





відповідь: загальне рішення:

 
   З шкільних предметів. Підготовка до ЄДІ  За вищої математікеПомогут розібратися в темі, підготуватися до іспиту  





 Як вирішити лінійне неоднорідне рівняння з постійними коефіцієнтами вигляду? |  Визначений інтеграл. приклади рішень

 Як вирішити неоднорідне диференціальне рівняння другого порядку? |  Порада: перед тим, як використовувати формулу Ньютона-Лейбніца, корисно провести перевірку: а сама-то первісна знайдена правильно? |  Заміна змінної в певному інтегралі |  Знаходимо нові переділи інтегрування. |  Метод інтегрування частинами у визначеному інтегралі |  Що робити, якщо даний певний інтеграл, який здається складним або не відразу зрозуміло, як його вирішувати? |  Невизначений інтеграл. Докладні приклади рішень |  Вирішити невизначений інтеграл - це значить ПЕРЕТВОРИТИ його в певну функцію, користуючись деякими правилами, прийомами і таблицею. |  Поняття функціонального ряду і статечного ряду |  Збіжність статечного ряду. Інтервал збіжності, радіус збіжності і область збіжності |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати