Головна

Коефіцієнт множинної детермінації

  1.  IX. Коефіцієнт згладжування фільтру
  2.  Аналіз динаміки коефіцієнта співвідношення між темпами зростання продуктивності праці та її оплатою.
  3.  Аналіз коефіцієнтів ліквідності
  4.  Аналіз коефіцієнтів ліквідності балансу
  5.  Аналіз коефіцієнтів оборотності
  6.  Аналіз коефіцієнтів фінансової стійкості
  7.  Аналіз коефіцієнтів фінансової стійкості підприємства

Якщо досліджуване явище залежить не від одного, а від декількох явищ, то залежність між ними описується за допомогою множинної регресії, а для встановлення частки дисперсії, обумовленої впливом змін пояснюють змінних, обчислюється коефіцієнт множинної детермінації.

Вираз коефіцієнта множинної детермінації можна отримати шляхом узагальнення формули (7) з урахуванням міркувань, через лежання в розділах 1 і 2:

 (13)

індекс при В вказує на те, що у є залежною змінною і варіабельність усіх пояснюють змінних х1, ..., Хm розглядається одночасно у досліджуваній регресії.

інтерпретація  аналогічна інтерпретації коефіцієнта детермінації для простої лінійної регресії. коефіцієнт  вказує, як велика частка пояснене дисперсії в загальній дисперсії, яка частина загальної дисперсії може бути пояснена залежністю змінної у від змінних х1 ..., хm. Величина коефіцієнта множинної детермінації укладена в інтервалі .

Коефіцієнт детермінації дорівнює 1, якщо ng w: val = "EN-US" /> y i ">  І тут говорять про лінійної функціональної залежності. Коефіцієнт детермінації дорівнює 0, якщо  . У цьому випадку говорять про відсутність лінійної залежності в сенсі уявлень регресійного аналізу.

Наведемо тепер формулу коефіцієнта детермінації до виду, зручного для обчислень. При цьому обмежимося спочатку регресією з двома пояснюють змінними. Рівняння множинної лінійної регресії можна уявити в такому вигляді:

або

 (14)

Звівши в квадрат обидві частини рівності (14) і підсумувавши все відхилення, розкриємо дужки. З урахуванням формул ( =  ) І ( =  ) Отримаємо такий вираз:

 (15)

Підставами цей результат в (13):

 (16)

або

 (17)

За допомогою формули (17) порівняно легко можна знайти коефіцієнт множинної детермінації для двох пояснюють змінних.

приклад

Визначимо частку дисперсії продуктивності праці, обумовлену лінійною залежністю від рівня механізації робіт і середнього віку працівників, за даними з додатка Б. За формулою (17) отримаємо

Знайдена величина коефіцієнта множинної регресії означає, що на основі отриманої оцінки функції регресії 94,47% загальної дисперсії пояснюється залежністю продуктивності праці від рівня механізації робіт і середнього віку працівників. Це свідчить про те, що дана регресія добре відповідає емпіричним даним. Лише 5,53% загальної дисперсії припадає на вплив інших, не врахованих в регресії факторів-змінних.

Формулу (16) узагальнимо для регресії з m пояснюють змінними:

 (18)

Розділивши чисельник і знаменник формули (18) на  , Отримаємо:

 (19)

введемо вектор

 (20)

елементами якого є , k = 1, ..., m.

вектор  - Це вектор ковариаций m пояснюють змінних із залежною змінною у. Далі, нехай

 (21)

- Вектор коефіцієнтів регресії. Він виходить шляхом викреслення першої компоненти (постійної регресії) з вектора параметрів регресії b. З урахуванням цієї умови формула (19) набуває вигляду

 (22)

 -транспонірованний вектор b1.

приклад

Визначимо за допомогою формули (22) за даними з додатка Б частку дисперсії продуктивності праці, обумовлену залежністю від рівня механізації робіт, середнього віку працівників та середнього відсотка виконання норми. вектор b1 виходить з вектора b параметрів регресії шляхом викреслення постійної регресії b0. вектор  ковариаций пояснюють змінних із залежною змінною будуємо у вигляді (20). Таким чином, можемо записати

; ;

В результаті отримуємо значення коефіцієнта детермінації:

Отже, 94,51% загальної дисперсії обумовлюється залежністю продуктивності праці від перерахованих вище пояснюють змінних. І тільки 5,49% загальної дисперсії не може бути пояснено цією залежністю на основі отриманої оцінки функції регресії. Таким чином, припускаючи, що рівняння регресії статистично значимо, його підбір виконаний дуже добре.

Так само, як коефіцієнт парної детермінації, коефіцієнт множинної детермінації не зміниться, якщо зміниться розмірність змінних або вони піддадуться лінійним перетворенням. Звідси випливає важливий висновок: при застосуванні стандартизованих змінних (  ) Залишається таким же процентне відношення до загальної варіації тієї її частини, яка визначена впливом пояснюють змінних на залежну, виражених в натуральному масштабі. Якщо для стандартизованих змінних  , То (окремий випадок)

 (23)

т. е. коефіцієнт детермінації дорівнює «пояснене» дисперсії, а коефіцієнт невизначеності дорівнює «непоясненної» дисперсії.

Часто, особливо при невеликому обсязі вибірки n, Користуються виправленим коефіцієнтом детермінації  , Так як число пояснюють змінних істотно зменшує число ступенів свободи. Отже, введення поправки на число ступенів свободи дає нам виправлений, незміщеної коефіцієнт детермінації. Число ступенів свободи загальної дисперсії розкладається також на дві складові:

 (24)

Співвідношення між двома коефіцієнтами - з поправкою і без неї - може бути після відповідних викладень представлено у вигляді

 (25)

При цьому  визначається за формулою (35) (див. розділ 6). Коефіцієнт детермінації без поправки на число ступенів свободи ніколи не зменшується з додаванням до регресії нової пояснює змінної (можливе навіть деяке незначне його збільшення), в той час як для виправленого коефіцієнта це виявляється можливим. Слід враховувати, що завжди

 (26)

приклад

Обчислимо за даними з додатка Б виправлені коефіцієнти множинної детермінації для регресії з двома і трьома пояснюють змінними:

Значення коефіцієнтів детермінації підтверджують наведені вище твердження. Введення нової змінної х3 не привело до істотного доповнення в поясненні змінної у, А точніше, в поясненні її варіації. Тому при двох однаково прийнятних з професійно-теоретичної точки зору функції регресії рекомендується віддавати перевагу тій, для якої виправлений коефіцієнт детермінації виявився більше.

 Оцінка суттєвості параметрів лінійної регресії і кореляції. |  Коефіцієнт приватної детермінації


 Вибір форми рівняння регресії. |  Суть кореляційного і регресійного аналізу. Основні завдання вирішуються методами аналізу |  поле кореляції |  Лінійна регресія і кореляція, сенс і оцінка параметрів. Парні регресивні прямі |  Метод найменших квадратів (МНК). узагальнений МНК |  Властивості оцінок МНК. Перевірка якості рівняння регресії. |  Перевірка значущості коефіцієнта кореляції і коефіцієнта детермінації |  Коефіцієнт детермінації між пояснюють змінними |  коефіцієнт детермінації |  визначення |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати