Головна

Лінійна регресія і кореляція, сенс і оцінка параметрів. Парні регресивні прямі

  1.  I. Нісенітниця існування
  2.  I. Питання про сенс взагалі і питання про сенс життя
  3.  I. Парна регресія
  4.  II. Життєва суєта і вимога сенсу
  5.  II. Загальнозначимих і сверхвременного сенс як шукане всякого свідомості
  6.  II. політична оцінка
  7.  II. Регресійній моделі В ЕЛЕКТРОЕНЕРГЕТИЦІ

Парні регресивні прямі

До сих пір обговорювалася регресія у на х:


 (1.1)

т. е у розглядалася як залежна змінна, а х - як пояснює. На практиці часто зустрічаються економічні явища, між якими існує взаємодія, т. Е. Змінна у залежить від змінної х і, навпаки, змінна х залежить від у. У таких випадках говорять про логічно оборотних регрес. При переході від однієї постановки задачі до іншої можна просто з рівняння (1.1) висловити х через  . Це пов'язано з тим, що емпіричні точки лежать не на прямий, а схильні. Фіксованому значенню х може відповідати кілька значень у, а цього значення у - кілька значень змінної х. Чим більше розкид точок на діаграмі розсіювання, тим більше будуть відрізнятися один від одного регресивні прямі, відповідні різному напрямку залежності. Рівняння регресії не виводяться одна з одної. Так як об'єктом вивчення є стохастичні зв'язки між змінними, при дослідженні залежностей між двома змінними теоретично завжди існують дві різні регресійні прямі, які називаються сполученими.

У припущенні лінійної залежності в якості опції регресії приймемо рівняння прямої

У порівнянні з регресією у на х змінні в (1.2) поміняли свої місця. Залежною змінною, або змінною, яка підлягає поясненню, в даному випадку є  , А незалежною, або пояснює, змінної - у. коефіцієнти и  - Параметри регресії *.

параметр  знову є аддитивную постійну, відповідну точці перетину прямої регресії (1.2) з віссю абсцис. параметр  називається коефіцієнтом регресії х на у. Цей параметр показує, на скільки одиниць в середньому зміниться значення змінної я, якщо значення змінної у зміниться на одну одиницю. Розрахункові значення регресії  інтерпретуються так само, як  в разі регресії у на х.

Через розкиду емпіричних точок навколо прямої регресії знову можна розглядати відхилення спостережуваних значень змінної х від розрахункових значень регресії  , Які ми позначимо через i:

xi- i = i (1.3)

значення i є реалізаціями випадкової обурює змінної v. Ці значення - результат впливів на х неврахованих в функції регресії (1,2) змінних-чинників, включаючи випадкові флуктуації. Обурює змінна v в статистичному сенсі інтерпретується як помилка специфікації регресії (1,2) Зміну х можна тоді висловити як

х = +  (1.4)

Зі сказаного вище випливає, що інтерпретація регресійної прямої, параметрів регресії, розрахункових значень функції регресії х на у аналогічна смисловому тлумачення тих же понять при розгляді регресії у на х. Слід прийняти до уваги тільки зворотний напрямок залежності, а також те, що відхилення I досвідчених точок від лінії регресії вимірюють по горизонтальній осі (рис. 1.1). Пряма регресії х па у будується з умови мінімізації суми квадратів відхилень, виміряних по горизонталі:

Після знаходження приватних похідних з невідомих параметрах і прирівнюючи їх нулю отримуємо так само, систему нормальних рівнянь, рішення яких дає нам шукані параметри:

Малюнок 1.1 пов'язані регресивні прямі.

У випадки регресії x на y приймає вид:

приклад

Розгляд вивченні залежності між обсягом виробництва і показником використання основних фондів на 52 промислових підприємствах однієї галузі господарства. Вихідні дані наведені в табл. 1. Спочатку побудуємо рівняння регресії, що відбиває залежність обсягу виробництва (у) від основних фондів (х). Для цього визначимо величини b0 и :

Оцінювана регресія у на х буде мати такий вигляд:

Пряма регресії перетинає вісь ординат у точці b0= 183,06, тангенс кута її нахилу до осі абсцис складає b1= 2,095 (див. Рис. 1). Коефіцієнт регресії показує, що обсяг виробництва в середньому збільшується на 2095 марок, якщо вартість основних фондів підвищується на 100 000 марок. Отже, коефіцієнт регресії відображає вплив зміни основних фондів на рівень обсягу виробництва.

Для плануючих органів іноді становить інтерес питання, якої величини повинні досягти основні фонди підприємства при певному обсязі виробництва? Відповідь на це питання можна отримати, визначивши регресію х на у у вигляді функції (1.2). За формулами (1.7) і (1.8) визначаємо значення и :

Оцінюється співвідношення можна записати у вигляді

коефіцієнт  показує, що вартість основних фондів в середньому зросте на 43 500 марок, якщо показник обсягу виробництва збільшиться на 1000 марок. Ми обмежимося побудовою рівнянь регресій.

На рис. 1 представлені обидві прямі регресії. Вони утворюють «ножиці». З графіка видно, що при стохастичною залежності співвідношення b1= 1:  не має місця. Лише в разі чисто функціонального зв'язку обидві прямі регресії зливаються в одну і тоді виконується вказане співвідношення між b1 и  . За величиною розчину ножиць можна судити приблизно про ступінь залежності обох змінних. Чим більше розкриті ножиці, тим слабкіше зв'язок.

Якщо обидві прямі регресії перетинаються під прямим кутом, то емпіричні дані не дозволяють підтвердити гіпотезу про існування залежності між змінними. У цьому випадку окремі точки випадково розкидані по всій діаграмі розсіювання, і відсутня будь-яка тенденція до орієнтації точок в певному напрямку (рис. 1.2).

Малюнок 1.2- пов'язані регресивні прямі в разі відсутності зв'язку між прямими.

Якщо відсутня регресія у на х, то не існує також регресії x на у і навпаки. при b1 = 0 обов'язково  = 0 і назад. Якщо пряма регресії у на x проходить паралельно осі абсцис, то це неминуче тягне за собою витягування прямий регресії х на у вздовж осі ординат. Ця взаємна обумовленість стає очевидною при розгляді наступних формул:

и

Необхідною передумовою застосування регресійного аналізу є виконання умов:  > 0 і  > 0. Отже, обидва кутових коефіцієнта регресії дорівнюють нулю, якщо ковариация Sху = Sух, Яка в обох формулах міститься в чисельнику, дорівнює нулю.

Як видно з рис. 1.1 і 1.2, обе_сопряженние прямі регресії перетинаються в точці з координатами ( ,  ). Так буває завжди, і це можна показати за допомогою формул:

и

При х =  маємо =  , А при у =  отримуємо також =  . Так як = и =  - Значення регресії, що належать обом прямим, обидві прямі повинні перетинатися в точці ( ,  ).

Не завжди потрібно знаходити обидві пов'язані прямі регресії. Найчастіше становить практичний інтерес залежність тільки в одному напрямку. А іноді постановка завдання виявляється змістовної тільки при розгляді односторонньої залежності. З цієї причини ми не продовжили приклад з розділу 2.4, так як, на наш погляд, в цьому прикладі регресія х щодо у економічно безглузда.

Ми хотіли б підкреслити ще одну істотну особливість, що витікає з наявності двох різних регресійних прямих, що описують зв'язок між досліджуваними змінними при різному тлумаченні їх ролі. Якщо існує взаємодія між змінними у та л ;, то змінна х також залежить від обурює змінної і. Але тим самим порушується важлива передумова застосування методу найменших квадратів. Якщо ж, не дивлячись на це, ми застосуємо метод найменших квадратів для оцінки по досвідченим даним невідомих параметрів рівнянь регресії у на x і х на у, то допустимо помилку.

 поле кореляції |  Метод найменших квадратів (МНК). узагальнений МНК


 Вибір форми рівняння регресії. |  Суть кореляційного і регресійного аналізу. Основні завдання вирішуються методами аналізу |  Властивості оцінок МНК. Перевірка якості рівняння регресії. |  Перевірка значущості коефіцієнта кореляції і коефіцієнта детермінації |  Оцінка суттєвості параметрів лінійної регресії і кореляції. |  Коефіцієнт множинної детермінації |  Коефіцієнт приватної детермінації |  Коефіцієнт детермінації між пояснюють змінними |  коефіцієнт детермінації |  визначення |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати