Головна

Основні правила диференціювання елементарних функцій.

  1.  Amp; 8. Основні положення декретів ЦВК і РНК від 18.12.1917 р та 19.12 1917 р
  2.  Cущность організації та її основні ознаки
  3.  GENESIS64 Security - Основні настройки
  4.  I. Обчислення меж функцій.
  5.  I. Загальні правила
  6.  I. Загальні правила
  7.  I. Основні богословські положення

1. якщо и  диференціюються,  - Постійна, то:

     
  ,
  ,

2.якщо функція  диференційована в точці  , А функція  диференційована в точці  , То складна функція  диференційована в точці  і має похідну:

 або коротко  ..

логарифмічною похідною функції  називається похідна від логарифма цієї функції, т. е. .

Застосування попереднього логарифмування функції призводить до наступного, часто більш простому, способу обчислення її похідної:  . Наприклад, для статечно-показовою функції  , де ,  - Диференціюються:

.

Якщо диференційована функція  задана неявно рівнянням  , То похідна  цієї неявної функції може бути знайдена з рівняння  , Лінійного щодо  , де  -розглядає як складна функція змінної .

якщо и  -взаємне зворотні диференціюються і  , То справедлива формула: (правило диференціювання оберненої функції).

Якщо диференційована функція  задана параметрично: ,  , де ,  -діфференціруемие функції і  , То справедлива формула: (правило диференціювання функції заданої параметрично).

При диференціюванні складних і зворотних функцій, а також функцій заданих неявно та параметрично для похідної використовують позначення типу  там, де необхідно уточнити, за якою змінною ведеться диференціювання.

Похідною 2-ої порядкувід функції  називається похідна від її першої похідної і позначається  , Т. Е.  . В загальному похідною порядку ( -ой похідної)називається похідна від  -ої похідної і позначається  , Т. Е.  . для похідною  використовується також позначення  . похідна  функції  обчислюється її послідовним диференціюванням: , ,  , ...,  . якщо функція  задана параметрично, то її похідні вищих порядків знаходяться за формулами:

,  , ...

якщо функція  диференційована в точці  , То її приріст  може бути представлено у вигляді:

 , де  при .

диференціалом функції  в точці  називається головна, лінійна відносно  частина  збільшення  функції:  . Зокрема, для функції  маємо  , Т. Е. Диференціал незалежної змінної  збігається з приростом  . Тому диференціал функції  записується у вигляді  . Форма запису першого диференціалу не зміниться і в тому випадку, якщо змінна  є функцією від нової незалежної змінної (властивість інваріантності форми першого диференціала).

Для функції однієї змінної  існування в точці  її диференціала  і похідною  рівносильні.

Диференціалом 2-ої порядкуфункції  називається диференціал від її першого диференціала і позначається  , Т. Е.  . В загальному диференціалом порядку називається диференціал від диференціала  -ого порядку і позначається  , Т. Е. .

якщо  - Незалежна змінна, то для знаходження диференціала  функції  справедлива формула .

Перший диференціал застосовують для наближеного обчислення значень функції  в малій околиці точки  , В якій функція диференційована, за формулою:

 , де .

Чим менше значення  , Тим точніше наближена формула.

рівняння дотичної до графіка функції  в точці  має вигляд:  , а рівняння нормалі - вид: . кутом між двома кривими и  в точці їх перетину  називається кут  між дотичними до цих кривих в точці  , Тангенс якого обчислюється за формулою: .

Нехай деяка економічна величина (витрати виробництва, прибуток, продуктивність і т. Д.) Задається безперервною функцією  . тоді, граничної для  називається величина , середньої - величина  . Літера  - Скорочення від слова  (Граничний), буква  - Скорочення від слова  (Середній). гранична величина  є мірою реагування однієї змінної величини на зміну іншої і показує наближений абсолютний приріст  при зміні  на одиницю.

еластичністю функції  в точці  називається межа  . еластичність  , так само як і  , Є мірою реагування однієї змінної величини на зміну іншої і показує наближений процентний приріст  при зміні  на один відсоток. знаходять еластичність  функції  за формулою

Тема 7. Основні теореми про диференціюються функції та їх застосування.

Теорема Роля. якщо функція  неперервна на відрізку  , Диференційована на інтервалі и  , То на  існує точка  така, що .

теорема Лагранжа. якщо функція  неперервна на відрізку  і диференційована на інтервалі  , То на  існує точка  така, що (формула Лагранжа).

теорема Коші. якщо функції и  безупинні на відрізку  , Мають похідні на інтервалі и  при всіх  , То на інтервалі  існує точка  така, що

(формула Коші).

якщо функція  дифференцируема  раз в точці  , То при  має місце формула Тейлора (порядку  ) Із залишковим членом у формі Пеано

.

Якщо припустити існування  -ої похідної  в околиці точки  то для будь-якої точки  з цієї околиці має місце формула Тейлора (порядку  ) Із залишковим членом у формі Лагранжа

 де , .

Формула Тейлора (із залишковим членом в будь-якій формі) в окремому випадку  зазвичай називається формулою Маклорена.

Формула Тейлора використовується при обчисленні значень функції з заданим ступенем точності  , При обчисленні меж функцій.

З формули Тейлора з залишковим членом у формі Лагранжаследует, що  , де  -мінімальний з номерів  для яких .

При обчисленні меж функцій використовують формулу Тейлора із залишковим членом у формі Пеано.

правило Лопіталя. Границя відношення двох диференційовних або нескінченно малих або нескінченно великих функцій при (  - число  або символ  ) Дорівнює межі відносини їх похідних (кінцевому або нескінченному), якщо останній існує в зазначеному сенсі:  . Правило Лопіталя використовують для розкриття невизначеностей видів и .

На кожному етапі застосування правила Лопіталя слід користуватися спрощують відношення тотожними перетвореннями, а також комбінувати це правило з будь-якими іншими прийомами обчислення меж. У деяких випадках може знадобитися неодноразове застосування даного правила.

Розкриття невизначеностей видів , , , ,  шляхом перетворень:

, ,

приводиться до розкриття невизначеностей видів и .

Тема 8. Дослідження функцій за допомогою похідних, побудова їх графіків.

7.1 Зростання, спадання функцій. Екстремум.

функція  називається зростаючої (спадної) на інтервалі  , Якщо для будь-яких  , Що задовольняють умові  , Виконується нерівність (  ).

якщо функція  дифференцируема на інтервалі и (  ) при всіх  , То функція  зростає (спадає) на .

Крапка  , Що належить області визначення  функції  , називається критичною точкоюфункції, якщо в цій точці  або  не існує. Критичні точки функції  розбивають її область визначення  на інтервали монотонності (інтервали зростання і спадання).

Крапка  називається точкою мінімуму (максимуму) функції  , Якщо існує околиця точки  така, що для всіх точок  цієї околиці виконується нерівність (  ), А число - мінімумом (максимумом) функції. Точки мінімуму і максимуму функції називаються точками екстремуму, а значення функції в цих точках - екстремумами функції.

Необхідна умова екстремуму.якщо  - Точка екстремуму функції  , то  або  не існує.

Перше достатня умова екстремуму. Пустьфункція  диференційована в околі точки  , в якій  або  не існує. Тоді, якщо похідна  , При переході зліва направо через точку : 1) змінює знак з «+» на «  », То  - Точка максимуму; 2) змінює знак з знак з «  »На« + », то  - Точка мінімуму; 3) зберігає знак, то  не є точкою екстремуму.

Друге достатня умова екстремуму. Пустьфункція  двічі диференційовна в точці  , в якій ,  . тоді: 1) якщо  , то  - Точка максимуму; 2) якщо  , то  - Точка мінімуму.

7.2 Найбільше і найменше значення функції.

Найбільше і найменше значення функції  безперервної і кусочно-диференціюється (диференціюється, за винятком, можливо, кінцевого числа точок) на відрізку  досягається або у внутрішніх критичних точках або на кінцях відрізка.

7. 3 Опуклість, увігнутість, точки перегину. Асимптоти.

функція  називається опуклою (увігнутою) на інтервалі  , Якщо її графік лежить під дотичній (над дотичній), проведеної до графіка даної функції, в будь-якій точці інтервалу .

Іноді опуклість називають опуклістю вгору, а увігнутість - опуклістю вниз.

якщо функція  двічі диференційовна на інтервалі и (  ) при всіх  , То функція є увігнутою (випуклою) на .

Крапка  , Що належить області визначення  функції  , називається точкою перегинуфункції, якщо при переході через неї змінюється напрямок опуклості функції. Крапка  при цьому називається точкою перегину графіка функції.

Крапка  називається точкою можливого перегинуфункції  , Якщо в цій точці  або  не існує. Ці точки розбивають область визначення  функції  на інтервали опуклості і угнутості.

Необхідна умова перегину.якщо  - Точка перегину функції  , то  або  не існує.

Достатня умова перегину.Пустьфункція  двічі диференційовна в околі точки  , в якій  або  не існує. Тоді, якщо похідна  , При переході через точку  змінює знак, то  - Точка перегину.

пряма  називається асимптотой графіка  функції  , Якщо відстань від точки  до прямої  прямує до нуля при нескінченному віддаленні точки  від початку координат.

пряма  називається вертикальної асимптотой графіка функції  , Якщо хоча б один з односторонніх меж  або  дорівнює нескінченності.

пряма  є вертикальною асимптотой, тоді і тільки тоді, коли  є точкою нескінченного розриву функції  . Безперервні функції не мають вертикальних асимптот.

пряма  називається похилій асимптотой графіка функції  при  (при  ), Якщо  (Відповідно,  ). Окремим випадком похилої асимптоти (при  ) є горизонтальна асимптота.

пряма  є похилій асимптотой графіка функції  при  (при  ) Тоді і тільки тоді, коли одночасно існують межі: и  (Відповідно, и  ).

7.4 Побудова графіків функцій.

Для побудови графіка функції  потрібно: 1) знайти область визначення функції; 2) знайти область безперервності функції і точки розриву; 3) досліджувати функцію на парність, непарність і періодичність; 4) знайти точки перетину графіка з осями координат; 5) знайти асимптоти графіка функції; 6) знайти інтервали зростання і спадання, екстремуми функції; 7) знайти інтервали опуклості, угнутості і точки перегину.

Тема 9. Основні поняття про функції декількох змінних.

Всякий упорядкований набір з  дійсних чисел  називається точкою  -мірного арифметичного(Координатного) простору  і позначається  або  , При цьому числа  називаються її координатами.

простір  називається евклідовим, Якщо відстань між будь-якими двома його точками и  визначається формулою .

нехай и  - Деякі множини точок и  . Якщо кожній точці  ставиться у відповідність по деякому правилу  одне цілком певне дійсне число  , То кажуть, що на безлічі  задана числова функція від  змінних і пишуть  або коротко и  , при цьому  називається областю визначення, - безліччю значень, - аргументами(Незалежними змінними) функції.

Функцію двох змінних часто позначають  , Функцію трьох змінних -  . Область визначення функції  являє собою деякий безліч точок площині, функції  - Деякий безліч точок простору.

Найбільш поширеним способом завдання функції є аналітичний спосіб, при якому функція задається формулою. Природною областю визначення функції  називається безліч  точок  , Для координат яких формула має сенс.

графіком функції ,  в прямокутній системі координат  , Називається безліч точок простору з координатами ,  , Що представляє собою, взагалі кажучи, деяку поверхню в .

Лінією рівня функції  називається лінія  на площині  , В точках якої функція приймає одне і теж значення .

число  називається межею функції  при  (Або в точці  ), І пишуть  , Якщо для будь-якого числа  знайдеться число  таке, що при всіх  , Що задовольняють умові  , Виконується нерівність  . для функції  пишуть  . Обчислення границі функції кількох змінних часто зводять до обчислення границі функції однієї змінної за допомогою заміни змінних.

функція  називається безперервної в точці  , якщо  . Функція безперервна в кожній точці деякої області, називається безперервної в цієї області.Якщо в точці  порушено хоча б одна з таких умов: 1) функція  визначена в точці ; 2) існує кінцевий межа ; 3)  , то  називається точкою розриву функції  . Точки розриву можуть бути ізольованими, утворювати лінії розриву, поверхні розриву.

Тема 10. Похідні і диференціали функції багатьох змінних, їх застосування.

Приватної похідною (1-ого порядку) функції  в точці  по змінній  називається межа  , Якщо ця межа існує. Приватну похідну позначають  або .

Приватні похідні обчислюються за звичайними правилами диференціювання функції однієї змінної, в припущенні, що всі аргументи функції, крім аргументу  , По якому береться похідна, постійні.

Приватними похідними другого порядку функції  називаються приватні похідні від її приватних похідних першого порядку. При цьому використовуються позначення:

, (  ).

похідні (  ) називаються змішаними. Аналогічно визначаються і позначаються частинні похідні порядки вище другого. для функції  приватні похідні позначаються:

, , , , ,  ... Або  , ...

Якщо змішані частинні похідні, що підлягають обчисленню, неперервні, то результат багаторазового диференціювання функції по різним змінним не залежить від порядку диференціювання.

Повним приростом функції  в точці  , Відповідним приращениям аргументів  називається різниця .

функція  називається дифференцируемой в точці  , Якщо її повний приріст може бути представлено у вигляді  , де  при ,  - Числа, які не залежать від .

повним диференціалом  функції  в точці  називається головна, лінійна відносно  частина  повного збільшення  функції, що дорівнює  , де .

функція  , Що володіє в точці  безперервними приватними похідними, завжди має в цій точці повний диференціал  . для функції  дифференцируемость в точці рівносильна існуванню в цій точці її повного диференціала.

Форма запису першого диференціалу не зміниться і в тому випадку, якщо змінні  є функціями нових, незалежних змінних (властивість інваріантності форми першого диференціала).

Диференціалом 2-ої порядкуфункції  називається диференціал від її першого диференціала і позначається  , Т. Е.  . В загальному диференціалом порядку  називається диференціал від диференціала  -ого порядку і позначається  , Т. Е. .

якщо  - Незалежна змінна, то для знаходження диференціала  функції  справедлива символічна формула  , Формально розкривається за біноміальним законом. Наприклад, для функції  справедливі формули: , ,

а для функції  - Формули: ,

.

для функції  -кратноє дифференцируемость в точці  рівносильна існуванню в цій точці її повного диференціала  -ого порядку .

якщо функція  раз диференційована в точці  , То в цій точці значення будь змішаної похідної  -ого порядку не залежить від порядку диференціювання.

якщо функція  дифференцируема  раз в точці  , То при  має місце формула Тейлора (порядку  ) Із залишковим членом у формі Пеано

,

де  при  . Окремий випадок формули Тейлора в точці  називається формулою Маклорена.

Рівняння дотичної площини до поверхні  в точці  має вигляд

,

а рівняння нормалі- вид .

Перший диференціал застосовують для наближеного обчислення значень функції  в малій околиці точки  , В якій функція диференційована, за формулою: .

Зокрема, для функції  за формулою:  , де ,  . Чим менше значення  , Тим точніше формула.

якщо  - Диференційована функція змінних  , Є диференційованими функціями незалежної змінної :  , То похідна складної функції  обчислюється за формулою  . якщо  збігається з одним з аргументів, наприклад  , То похідна  , Звана «повної» похідної функції  по  , Обчислюється за формулою

.

якщо  - Диференційована функція змінних  , Є диференційованими функціями незавісімиx змінних :  , ...,  , То приватні похідні складної функції  обчислюються за формулами:

,

... .,

.

Зокрема, для функції  справедливі формули:

 , де ;

 , де ;

,  , де , .

Тема 11. Векторний аналіз та елементи теорії поля.

нехай  - Область в двовимірному просторі. скалярним полем на  називається числова функція  , Задана в точках  . лінії  , де  називаються лініями рівняскалярного поля .

нехай  - Область в тривимірному просторі.

скалярним полем на  називається числова функція  , Задана в точках  . поверхні  , де  називаються поверхнями рівня скалярного поля .

градієнтом скалярного поля  називається вектор

.

похіднаскалярного поля у напрямку довільного вектора  обчислюється за формулою  , де , ,  - Напрямні косинуси вектора .

 Якщо в точці функція має кінцеві односторонні межі і, але вони не рівні один одному, то називається точкою розриву 1-ого роду. |  Основні математичні формули.


 А); б); в). |  Рішення. |  Рішення. |  А) Знайти умовні екстремуми функції приусловии. |  Рішення. |  В області: , , . |  Рішення. |  Рішення. |  Рішення. |  Короткі теоретичні відомості. |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати