Головна |
Потоком подій називають послідовність подій, які настають один за іншим у випадкові моменти часу.
імовірність появи k подій найпростішого потоку за час t визначається формулою Пуассона
,
де - Інтенсивність потоку - середнє число подій найпростішого потоку, що відбулися за одиницю часу.
№ 93. Середнє число замовлень таксі, що надходять на диспетчерський пункт в одну хвилину дорівнює двом. Знайти ймовірність того, що за дві хвилини надійде: а) три виклики; б) менше трьох викликів; в) більше трьох викликів.
Рішення. За умовою завдання , Тобто .
а) Тоді
.
б) Нехай , тоді
.
в) Нехай , тоді
.
відповідь: а) 0,1954; б) 0,2381; в) 0,5665.
№ 94. Середнє число заявок, що надходять на підприємство побутового обслуговування за 1 годину дорівнює 2. Знайти ймовірність того, що за 3 години надійде: а) від однієї до шести заявок; б) не менше семи заявок.
№ 95.Аналіз інформації про індекс FTSE 100 показує, що протягом останніх декількох років, середнє число щоденних змін індексу більш, ніж на 1%, за кожен шестимісячний період дорівнює 5. Знайти ймовірність того, що протягом наступних шести місяців відбудеться, принаймні, три денних зміни індексу FTSE 100 на 1% і більше.
Формула Пуассона застосовується і для вирішення різних завдань масового обслуговування, в яких потік вимог є найпростішим (пуассоновским).
Розглянемо застосування теорії масового обслуговування в задачах маркетингу на прикладі, так званих, розімкнутих систем масового обслуговування (СМО), в яких довжина черги надходження вимог є необмеженою. Прикладами таких СМО можуть бути магазини, каси вокзалів, портів і так далі.
При вивченні таких систем розраховують різні показники ефективності обслуговуючої системи. Розглянемо найбільш основні показники.
нехай n - Кількість каналів; - Середнє число вимог, що надходять в систему за одиницю часу; - Параметр експоненціального закону часу обслуговування вимог в системі, тобто величина, зворотна середньому часу обслуговування одного вимоги.
Тоді можна визначити наступні показники ефективності
1. Імовірність того, що всі обслуговуючі канали вільні:
.
2. Імовірність того, що зайнято рівно обслуговуючих каналів:
.
3. Імовірність того, що всі обслуговуючі канали зайняті:
.
4. Середній час очікування вимогою початку обслуговування в системі:
.
5. Середня довжина черги:
.
6. Середнє число вільних від обслуговування каналів:
.
Крім того можна визначити і такі показники, як коефіцієнт простою каналів; коефіцієнт завантаження каналів , і так далі.
№ 96.Нехай фірма по ремонту теле-радіо апаратури має 5 досвідчених майстрів. У середньому протягом робочого дня від населення надходить на ремонт 10 апаратів. Статистика показує, що в середньому протягом робочого дня кожен з майстрів встигає відремонтувати 2,5 апарату. Оцініть характеристики роботи фірми, вважаючи, що потік заявок на ремонт апаратури від населення є найпростішим.
Рішення. Так як , , То:
1. Визначимо параметр системи :
.
Так як , То чергу не може рости нескінченно, тобто фірма справляється з вхідним потоком вимог на ремонт апаратури.
2. Визначимо ймовірність того, що всі майстри вільні від ремонту апаратури:
.
Це означає, що 1,30% часу все 5 майстрів вільні від ремонту апаратури.
3. Визначимо ймовірність того, що всі майстри зайняті ремонтом:
.
Це означає, що 55,47% часу майстри повністю завантажені роботою.
4. Знайдемо середній час ремонту кожним майстром одного апарату, вважаючи, що тривалість робочого дня дорівнює 8 годин:
ч.
5. Визначимо середній час очікування кожним несправним апаратом початку ремонту:
ч.
6. Знайдемо середню довжину черги, яка визначає кількість місця, необхідного для зберігання апаратури, що вимагає ремонту:
апарату.
7. Визначимо середнє число майстрів, вільних від роботи:
майстра.
8. Можна знайти також ймовірність того, що будуть зайняті ремонтом, наприклад, рівно майстра з майстрів:
.
Це означає, що два майстри з п'яти будуть вільні від ремонту апаратури 13,87% часу.
№ 97.У порту є три причали для розвантаження вантажних суден. Інтенсивність потоку судів равна1,4 судна в добу. Середній час розвантаження суден становить дві доби. Оцініть характеристики роботи порту.
№ 98.На автозаправній станції встановлено чотири колонки для видачі бензину. На станцію прибувають в середньому 0,8 машини в хвилину. Середній час заправки однієї машини становить 3 хвилини. Оцініть характеристики роботи заправної станції.
Формула Пуассона поряд із завданням повторення випробувань і найпростішого потоку використовується також для розрахунку ймовірностей появи різного числа подій в будь-якій області (площі, обсязі та т.д.). В цьому випадку замінюють на , де l - Середнє число появ події за будь-яку одиницю області (площі, обсягу і т.д.), а S - Розмір області (площі, обсягу і т.д.).
№ 99. При визначенні зараженості зерна встановлено, що в 1 кг міститься в середньому 10 шкідників. Яка ймовірність того, що в 100 г зерна: а) не трапиться жодного шкідника; б) зустрінеться не менше двох шкідників.
Г Л А В А III
Схемою Бернуллі І біномінальної РОЗПОДІЛ ІМОВІРНОСТЕЙ | Н Е П Р О Д И В Н И Е З Л У Ч А Й Н И Е В Е Л І Ч І Н И
ПРЕДМЕТ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ. ВИПАДКОВІ ПОДІЇ | ВИЗНАЧЕННЯ ІМОВІРНОСТІ. Основні властивості ІМОВІРНОСТІ | ДОДАВАННЯ І МНОЖЕННЯ ІМОВІРНОСТЕЙ. УМОВНА ЙМОВІРНІСТЬ. | НЕЗАЛЕЖНІСТЬ ВИПАДКОВИХ ПОДІЙ | ПОВНА ЙМОВІРНІСТЬ І ФОРМУЛИ Байєса | виробляє функції | ЗАКОН РАСПРЕДЕЛНІЯ ІМОВІРНОСТЕЙ | Зазвичай цей закон задають у вигляді таблиці | ЧИСЛОВІ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИСКРЕТНИХ ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН | І ЇЇ ВЛАСТИВОСТІ |