Головна |
Безперервною випадковою величиною (МСВ) називають змінну величину, яка може приймати всі значення з деякого проміжку. Так як безперервну випадкову величину неможливо задати за допомогою закону розподілу, вводять функцію розподілу. функція розподілу є ймовірність того, що випадкова величина набуде значення, меншого х, тобто
.
функція щільності дорівнює похідною від функції , тобто
.
функцію розподілу називають інтегральною функцією, а функцію щільності називають диференціальної функцією.
Якщо відома функція , то можна знайти за формулою
.
Ймовірність влучення неперервної випадкової величини Х в інтервал
можна обчислити, використовуючи функцію , за формулою
або, використовуючи функцію , за формулою
.
Примітка. Так як для неперервної випадкової величини ймовірність попадання в точку дорівнює нулю, то
.
Якщо значення неперервної випадкової величини укладені в інтервалі , То справедливі такі формули:
,
,
або ,
.
Приклад 1. Безперервна випадкова величина Х задана функцією розподілу
1) Побудувати графік .
2) Знайти функцію щільності і побудувати її графік.
3) Знайти :
а) використовуючи функцію розподілу ;
б) використовуючи функцію щільності .
4) Знайти ймовірність того, що в 100 незалежних випробуваннях безперервна випадкова величина Х хоча б один раз потрапить в інтервал .
5) Знайти математичне сподівання випадкової величини Х.
6) Знайти дисперсію випадкової величини Х:
а) за визначенням;
б) по «робочою» формулою.
Рішення. 1) Графік функції зображений на малюнку 9.
F(х)
F(х)
0 2 3 х
малюнок 9
2) Запишемо аналітичний вираз функції щільності :
Графік функції зображений на малюнку 10.
f (х)
2
f(х)
0 2 3 х
малюнок 10
3а) Обчислимо ймовірність потрапляння неперервної випадкової величини Х в інтервал , Використовуючи функцію , за формулою
:
.
3б) Обчислимо , Використовуючи щільність розподілу:
.
4) Використовуємо схему повторних незалежних випробувань:
Шукану ймовірність зручніше знайти через ймовірність протилежної події: , | |
, |
тоді
,
тобто попадання неперервної випадкової величини Х хоча б один раз в інтервал в 100 незалежних випробуваннях практично достовірно.
5) Математичне сподівання
6-а) Знайдемо дисперсію, використовуючи визначення:
6б) Обчислимо дисперсію по «робочою» формулою:
7) Середнє квадратичне відхилення:
.
Приклад 2.Безперервна випадкова величина Х задана функцією щільності :
Знайти функцію розподілу . Побудувати графіки функцій и .
Рішення. 1) Використовуємо формулу . Так як підінтегральна функція змінює своє аналітичне вираз, то будемо розглядати х на проміжках , и (Рисунок 11).
f (х) 0 sin x 0
0 х
малюнок 11
1. Нехай .
.
2. Нехай .
3. Нехай .
Запишемо аналітичний вираз для функції :
2) Побудуємо графіки функцій и .
f (х)
1 f (х)
0 х
малюнок 12
F(х)
F(х)
1
0 х
малюнок 13
Приклад 3. Дан закон розподілу дискретної випадкової величини Х:
Х | -3 | ||
р | 0,2 | 0,3 | 0,5 |
знайти - Функцію розподілу дискретної випадкової величини Х. Побудувати її графік.
Рішення. Використовуємо визначення функції : .
1. Нехай (Рисунок 14).
Х
х -3 0 7
малюнок 14
Так як значень, менших (-3), випадкова величина не приймає, то
.
2. Нехай (Рисунок 15).
Х
-3 х 0 7
малюнок 15
.
3. Нехай (Рисунок 16).
Х
-3 0 х 7
малюнок 16
.
4. Нехай (Рисунок 17).
Х
-3 0 7 х
малюнок 17
.
Запишемо аналітичний вираз функції :
Зобразимо графік функції (Рисунок 18).
F(x)
0,5
0,2
-3 0 7 х
малюнок 18
Зауважимо, що в точках розриву величини стрибків функції 0,2; 0,3; 0,5 рівні відповідно , , .
Приклад 4.Заданий графік функції щільності неперервної випадкової величини Х (Рисунок 19). знайти параметр С.
у
З х
малюнок 19
Рішення. За графіком функції щільності можна зробити висновок, що всі можливі значення неперервної випадкової величини Х укладені в інтервалі . тоді
.
Виходячи з геометричного сенсу певного інтеграла випливає, що площа фігури, обмеженої функцією щільності і віссю Ох, Дорівнює 1.
.
Звідси .
Завдання для самостійного рішення | Завдання для аудиторного рішення
Повна ймовірність. Формули Байєса (Бейеса) | Завдання для аудиторного рішення | Завдання для самостійного рішення | Основні формули | У незалежних випробуваннях | Від постійної ймовірності в незалежних випробуваннях | Завдання для аудиторного рішення | Завдання для самостійного рішення | Дискретні випадкові величини | Завдання для аудиторного рішення |