Головна

Безперервні випадкові величини

  1.  Cent; Поняття випадкової величини
  2.  II. Інтервальні оцінки числових характеристик випадкової величини
  3.  II. Відносні величини, динамічні ряди
  4.  II. Точкові оцінки числових характеристик випадкової величини
  5.  III. Абсолютні і відносні величини
  6.  III. Варіаційні ряди, середні величини
  7.  N-мірні випадкові величини. Способи їх завдання

 Безперервною випадковою величиною (МСВ) називають змінну величину, яка може приймати всі значення з деякого проміжку. Так як безперервну випадкову величину неможливо задати за допомогою закону розподілу, вводять функцію розподілу. функція розподілу є ймовірність того, що випадкова величина набуде значення, меншого х, тобто

.

функція щільності дорівнює похідною від функції , тобто

.

функцію розподілу називають інтегральною функцією, а функцію щільності називають диференціальної функцією.

Якщо відома функція , то можна знайти за формулою

.

Ймовірність влучення неперервної випадкової величини Х в інтервал

 можна обчислити, використовуючи функцію , за формулою

або, використовуючи функцію , за формулою

.

Примітка. Так як для неперервної випадкової величини ймовірність попадання в точку дорівнює нулю, то

.

Якщо значення неперервної випадкової величини укладені в інтервалі  , То справедливі такі формули:

,

,

 або ,

.

Приклад 1. Безперервна випадкова величина Х задана функцією розподілу

1) Побудувати графік .

2) Знайти функцію щільності  і побудувати її графік.

3) Знайти :

а) використовуючи функцію розподілу ;

б) використовуючи функцію щільності .

4) Знайти ймовірність того, що в 100 незалежних випробуваннях безперервна випадкова величина Х хоча б один раз потрапить в інтервал .

5) Знайти математичне сподівання випадкової величини Х.

6) Знайти дисперсію випадкової величини Х:

а) за визначенням;

б) по «робочою» формулою.

Рішення. 1) Графік функції зображений на малюнку 9.

F(х)

F(х)

0 2 3 х

малюнок 9

2) Запишемо аналітичний вираз функції щільності :

Графік функції  зображений на малюнку 10.

f (х)

2

f(х)

0 2 3 х

малюнок 10

3а) Обчислимо ймовірність потрапляння неперервної випадкової величини Х в інтервал  , Використовуючи функцію , за формулою

:

.

3б) Обчислимо  , Використовуючи щільність розподілу:

.

4) Використовуємо схему повторних незалежних випробувань:

 Шукану ймовірність зручніше знайти через ймовірність протилежної події: ,
,

тоді

,

тобто попадання неперервної випадкової величини Х хоча б один раз в інтервал  в 100 незалежних випробуваннях практично достовірно.

5) Математичне сподівання

6-а) Знайдемо дисперсію, використовуючи визначення:

6б) Обчислимо дисперсію по «робочою» формулою:

7) Середнє квадратичне відхилення:

.

Приклад 2.Безперервна випадкова величина Х задана функцією щільності :

Знайти функцію розподілу  . Побудувати графіки функцій и .

Рішення. 1) Використовуємо формулу  . Так як підінтегральна функція  змінює своє аналітичне вираз, то будемо розглядати х на проміжках , и  (Рисунок 11).

f (х) 0 sin x 0

0 х

малюнок 11

1. Нехай .

.

2. Нехай .

3. Нехай .

 Запишемо аналітичний вираз для функції :

2) Побудуємо графіки функцій и .


f (х)

1 f (х)

0 х

малюнок 12


F(х)

F(х)

1

0 х

малюнок 13

Приклад 3. Дан закон розподілу дискретної випадкової величини Х:

Х  -3
р  0,2  0,3  0,5

знайти  - Функцію розподілу дискретної випадкової величини Х. Побудувати її графік.

Рішення. Використовуємо визначення функції : .

1. Нехай  (Рисунок 14).


Х

х -3 0 7

малюнок 14

Так як значень, менших (-3), випадкова величина не приймає, то

.

2. Нехай  (Рисунок 15).


Х

-3 х 0 7

малюнок 15

.

3. Нехай  (Рисунок 16).


Х

-3 0 х 7

малюнок 16

.

4. Нехай  (Рисунок 17).


Х

-3 0 7 х

малюнок 17

.

Запишемо аналітичний вираз функції :

Зобразимо графік функції  (Рисунок 18).

F(x)

0,5

0,2

-3 0 7 х

малюнок 18

Зауважимо, що в точках розриву величини стрибків функції 0,2; 0,3; 0,5 рівні відповідно , , .

Приклад 4.Заданий графік функції щільності неперервної випадкової величини Х (Рисунок 19). знайти параметр С.

у

З х

малюнок 19

Рішення. За графіком функції щільності можна зробити висновок, що всі можливі значення неперервної випадкової величини Х укладені в інтервалі  . тоді

.

Виходячи з геометричного сенсу певного інтеграла випливає, що площа фігури, обмеженої функцією щільності і віссю Ох, Дорівнює 1.

.

Звідси .

 



 Завдання для самостійного рішення |  Завдання для аудиторного рішення

 Повна ймовірність. Формули Байєса (Бейеса) |  Завдання для аудиторного рішення |  Завдання для самостійного рішення |  Основні формули |  У незалежних випробуваннях |  Від постійної ймовірності в незалежних випробуваннях |  Завдання для аудиторного рішення |  Завдання для самостійного рішення |  Дискретні випадкові величини |  Завдання для аудиторного рішення |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати