На головну

Короткі теоретичні відомості

  1.  I. Короткі підсумки дискусії
  2.  I. Загальні відомості
  3.  I. Загальні відомості про курс
  4.  II. ВІДОМОСТІ
  5.  II. Відомості про військовий облік
  6.  III. Відомості, що характеризують будинок (будинки)
  7.  XI. ДОДАТКОВІ ВІДОМОСТІ

Досвідом, або випробуванням, називають всяке здійснення певного комплексу дій або умов, в результаті яких можливі різні результати, причому заздалегідь не можна передбачити, яким буде результат. Можливі виключають один одного результати досвіду називаються елементарними подіями (наслідками).

Випадковою подією називається подія, про яку не можна заздалегідь сказати, чи відбудеться воно в результату досвіду чи ні. Випадкові події позначаються латинськими літерами А, В, С, ... Елементарні події, при яких дана подія А настає, називаються подіями, що сприяють появі події А. Кожне елементарне подія також є випадковим.

Подія, яка обов'язково відбудеться в даному досвіді, називається достовірною. Позначається буквою U.

Якщо для даної події немає сприяють елементарних подій, то в результаті досвіду воно відбутися не може. Така подія називається неможливим. Позначається буквою V.

Різні події відрізняються один від одного за ступенем появи і характеру взаємин.

Два або кілька подій називаються рівноможливими, якщо в результаті випробування забезпечуються рівні можливості здійснення цих подій.

Два випадкових події називаються протилежними, якщо в результаті проведення досвіду одне з них відбувається тоді і тільки тоді, коли не відбувається інше. Подія, протилежне події А, позначають .

Дві події називаються рівносильними (еквівалентними), якщо вони складаються з одних і тих же елементарних подій. Еквівалентність подій позначається знаком рівності: А = В.

Дві події називаються спільними в даному досвіді, якщо поява однієї з них не виключає появу іншої в цьому досвіді.

Дві події називаються несумісними в даному досвіді, якщо поява однієї з них виключає появу іншого. кілька подій  називаються несумісними в даному досвіді, якщо будь-які два з них несумісні. Безліч несумісних подій  називається повною системою (групою) подій, якщо в результаті випробування обов'язково станеться одне і тільки одне з них.

У теорії ймовірностей над подіями виробляють різні операції.

Сумою (об'єднанням) двох подій називається подія, яке у появу хоча б одного з них. Сума двох подій А і В позначається А + В або А  В. Аналогічно визначається і позначається сума n подій - подія, що складається в появі хоча б одного з них.

Твором (перетином) двох подій називається подія, що складається в одночасному їх появі. Твір двох подій А і В позначається АВ або А  В. Аналогічно визначається і позначається твір n подій.

Завдання, пов'язані з підрахунком кількості комбінацій, складених за певними правилами з елементів заданої множини, називають комбінаторними завданнями.

Все комбінаторні завдання вирішуються за допомогою двох правил: правила суми і правила твори.

Правило суми: якщо деякий об'єкт А можна вибрати з безлічі об'єктів m способами, а інший об'єкт В можна вибрати n способами, то вибір «або А, або В» можна здійснити m + n способами.

Правило твори: якщо об'єкт А можна вибрати з безлічі об'єктів m способами і після кожного такого вибору об'єкт В можна вибрати n способами, то пару об'єктів (А, В) в зазначеному порядку можна вибрати mn способами.

До комбінаторним завдань відносяться завдання на підрахунок числа перестановок, розміщень і сполучень.

Перестановками з n елементів безлічі називаються різні комбінації, в які входять всі n елементів, але відрізняються один від одного тільки порядком елементів.

Число всіляких перестановок з n елементів визначається формулою:

 (1)

Якщо серед n елементів є  елементів одного виду,  елементів іншого виду і т. д., то в цьому випадку говорять про перестановки з повтореннями. Число перестановок з повтореннями визначається формулою:

 , (2)

де

Розміщеннями з n елементів безлічі по k елементів називаються всілякі комбінації, що містять k різних елементів, і відрізняються один від одного або видом входять до них елементів, або їх порядком.

Число всіляких розміщень з n елементів по k визначається формулою:

 (3)

Якщо в комбінації можуть входити елементи одного виду, то говорять про розміщених з повтореннями.

Число розміщень з повтореннями визначається формулою:

 (4)

Поєднаннями з n елементів безлічі по k елементів називаються всілякі комбінації, що містять k різних елементів, і відрізняються хоча б одним елементом.

Число всіляких сполучень з n елементів по k визначається формулою:

 (5)

Якщо серед n елементів є однакові, то говорять про сполучення з повтореннями з n елементів по k.

Число всіляких поєднань з повтореннями визначається формулою:

 (6)

Ймовірністю події А називається відношення числа m результатів, що сприяють цій події, до числа n всіх рівно можливих несумісних результатів. Позначається Р (А).

 (7)

Це визначення ймовірності називається класичним.

Імовірність події має такі властивості:

1) 0 ? Р (А) ? 1;

2) Р (U) = 1;

3) Р (V) = 0.

Відносної частотою події А, або частотою, називається відношення числа дослідів, в яких з'явилося це подія, до числа всіх вироблених дослідів. Позначається W (А).

 , (8)

де m - число дослідів, в яких з'явилося подія А;

n - число всіх вироблених дослідів.

Відносна частота має властивість статистичної стійкості: в різних серіях численних випробувань (в кожному з яких може з'явитися або не з'явилося це подія) вона приймає значення, досить близькі до деякої постійної. Цю постійну, що є об'єктивною числовою характеристикою явища, вважають ймовірністю даної події.

Ймовірністю події називається число, біля якого групуються значення частоти даної події в різних серіях великого числа випробувань.

Це визначення ймовірності називається статистичним.

Класичне визначення ймовірності передбачає, що число елементарних фіналів звичайно. На практиці зустрічаються досліди, для яких безліч таких випадків нескінченно. Тому вводять геометричні ймовірності - ймовірності попадання точки в область.

На площині задана квадрованою область G, т. Е. Область, що має площу  . В області G міститься область g площею  . В область G навмання кинута точка. Будемо вважати, що кинута точка може потрапити в деяку частину області G з ймовірністю, пропорційною площі цієї частини і не залежить від її форми і розташування. Нехай А - потрапляння кинутої точки в область g, тоді геометрична ймовірність цієї події визначається формулою:

 (9)

У загальному випадку поняття геометричної ймовірності вводиться наступним чином. Позначимо міру області g (довжину, площу, обсяг) через mes g, а міру області G - через mes G (mes - перші три букви французького слова mesure, що означає міра); позначимо літерою А подія «потрапляння кинутої точки в область g, яка міститься в області G». Ймовірність влучення в область g точки, кинутої в область G, визначається формулою:

 (10)

 



 Критерії оцінки домашньої контрольної роботи |  Короткі теоретичні відомості

 МАТЕМАТИЧНА СТАТИСТИКА |  контрольної роботи |  Короткі теоретичні відомості |  Короткі теоретичні відомості |  Короткі теоретичні відомості |  Короткі теоретичні відомості |  Короткі теоретичні відомості |  Короткі теоретичні відомості |  Короткі теоретичні відомості |  Короткі теоретичні відомості |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати