На головну

Вправи і завдання

  1.  D) РЕКОНСТРУКЦІЯ ТА ІНТЕГРАЦІЯ ЯК ЗАВДАННЯ герменевтики
  2.  I. Завдання КУТВ щодо радянських республік Сходу
  3.  I. Історична наука і її завдання
  4.  I. Освіта Конституційної Комісії та її завдання
  5.  I. Основні завдання ЗОВНІШНЬОЇ ПОЛІТИКИ
  6.  II. Граматичні вправи.
  7.  II. ДИХАЛЬНІ ВПРАВИ

Тепер розглянемо вправи і завдання на викладені теоретичні положення.

Завдання 1. У книзі 300 сторінок. Чому дорівнює ймовірність того, що навмання відкрита сторінка матиме порядковий номер, кратний 7?

Рішення. В даному випадку простір.  складається з 300 елементарних подій. Подія А складається з елементарних подій, визначених числами

{7,14,28,35,42,49,56,63,70,77,204}. Число сприятливих подій, тобто, число чисел кратних семи, так само 42. Отже, шукана ймовірність

Р (А) = 42/300 = 7/50.

При вирішенні конкретних прикладів не завжди варто ввести простір елементарних подій  , З практичних міркувань буває зрозуміло, загальне число елементарних і число сприятливих елементарних подій,

Тому при розгляді конкретних прикладів такі теоретичні підходи будемо опускати.

Завдання 2. У ящику є однакові за формою качани: з них 5 з білої пряжею, 2 з синьою пряжею і 4 з червоною пряжею. Лаборантка, навмання бере початок. Визначити ймовірність того, що вийнятий початок виявиться з фарбованої пряжею.

Ясно, що за змістом завдання загальне число елементарних подій дорівнює 11, а число сприятливих елементарних подій дорівнює 4. Отже, Р = 4/11.

Завдання 3. З 1000 робочих швейної фабрики 100 чоловік не виконали добову норму, 750 - виконали і 150 перевиконали. Яка ймовірність того, що випадково обраний за списком робочий виявиться таким, що виконав або перевиконав норму.

Неважко зрозуміти, що за класичним визначенням ймовірності маємо

.

завдання 4. Пряжа вироблена з бавовни, віскози і вовни в пропорції 2: 3: 4. Яка ймовірність того, що навмання взяте волокно в перерізі пряжі виявиться а) вовняним, б) нехлопковим.

Рішення. Можна розуміти так, що пряжа складається з 10 умовно розділених частин з однаковим числом волокон К. Легко зрозуміти, що загальне число елементарних фіналів дорівнює 10 до; сприяють першою подією одно 4к і другого 7К. В підсумку .

Як видно, з міркувань, що результати можна отримати одразу, виходячи з числових значень пропорції.

Можна було б ще так міркувати, що  складається з 10 елементарних рівно можливих подій (з 10 множин). Потім з урахуванням числових значень в пропорції легко записати число сприятливих подій (або множин). Тобто, якщо виражені в пропорціях або в процентних співвідношеннях, відповідні ймовірності будемо записувати без особливих додаткових міркувань, виходячи з розуміння, міркувань або практичного сенсу.

Завдання 5. На складі є 20% пальто розміру 48; 45% -розмір 50, 15% - розміру 52 і інші вище розміру 52. Яка ймовірність того, що навмання взяте пальто виявиться, не менше 52 розміру.

Рішення. З урахуванням вище зазначених міркувань відразу можемо записати шукану ймовірність

завдання 6. Протягом певного проміжку часу з конвеєра швейної фабрики сходить 10 костюмів, причому 6 з них розміру 50. Яка ймовірність того, що з 3 навмання взятих костюмів виявляться всі розміру 50.

Рішення. Припустимо, що всі костюми яким - то чином пронумерували від 1 до 10. Як безлічі  елементарних подій візьмемо все поєднання безлічі {1,2, ..., 10} по 3 елементи. таких поєднань  містить  елементарних подій. Число сприятливих результатів одно  (До чотирьох різних костюмах 50% розміру відповідає  різних "двійок", що не містять, костюми 50% розміру).

відповідь:

Завдання 7. У ящику є 10 гудзиків різних забарвлень, з них 6 гудзиків чорних. До чергового пальто потрібно пришити 3 чорних ґудзики. Яка ймовірність того, що працівниця, взявши навмання 5 гудзиків, зможе відразу пришити потрібне число.

Рішення. Загальна кількість елементарних фіналів є число поєднань  . Знайдемо число сприятливих результатів. Знаходимо число поєднань  . Далі враховуючи, що ці комбінації складаються з урахуванням двох нечорним серед 10 - 6 = 4 нечорним, маємо число сприятливих результатів .

відповідь: .

Завдання 8. У групі 25 осіб з них 8 відмінників. Яка ймовірність того, що серед випадково 5 відібраних студентів виявляться рівно 3 відмінника.

Вирішити самостійно. Вирішується аналогічно до попереднього прикладу.

Завдання 9. У ящику 13 качанів з них 9 чорних. Яка ймовірність того, що серед випадково відібраних 6 качанів, чорних виявляться менше 4-х.

 Вказівка. Слід розглядати події, що серед 6 качанів немає чорних, один, два, три. Потім використовуючи, теорему додавання ймовірностей, одержимо необхідний відповідь.

завдання 10. Є 6 костюмів і 3 гудзики. Ґудзики пришиваються до кожного з костюмів. Знайти ймовірність того, що 3 гудзики пришиті до одного з цих костюмів.

Рішення. Число всіляких результатів є число поєднань з 6 по 3 з повтореннями  Число сприятливих результатів є розміщення з 6 елементів по 3.

Отже, відповідь: .

9. Формула повної ймовірності та формула Байєса

нехай події  утворюють повну групу подій, тобто  Ці події будемо називати гіпотезами. Нехай В - довільна подія таке, що

.

Тоді справедлива формула

.

Ця формула називається формулою повної ймовірності.

зі співвідношень

отримаємо

.

Потім з урахуванням формули повної ймовірності матимемо

.

 Ця формула називається формулою Байеса.



 геометричні ймовірності |  Розглянемо приклади.

 алгебра подій |  імовірнісний простір |  Теореми додавання і множення ймовірностей |  Зауваження. оскільки події |  незалежність подій |  Класичне імовірнісний простір |  елементи комбінаторики |  Дискретні випадкові величини |  біномінальної розподіл |  Розподіл Пуассона. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати