Головна

Теореми додавання і множення ймовірностей

  1.  II. Безпосереднє обчислення ймовірностей
  2.  III. Теореми додавання і множення ймовірностей
  3.  Teopeмa складання швидкостей.
  4.  Аксіоматична побудова теорії ймовірностей.
  5.  В. 5. Основні теореми про границі. Ознаки існування границі
  6.  Ймовірностей.
  7.  Імовірність того, що в стовпчику з 150 навмання відібраних монет число монет, розташованих "гербом" вгору, буде від 50 до 75, може бути визначена за допомогою теореми

Нехай з випробуванням пов'язані події А і В. Імовірність події В, обчислена в припущенні, що подія А вже настав, називається умовною ймовірністю і позначається  або  . Можна довести, що

 , (1.6)

де .

Наприклад, в умовах попереднього прикладу подія  - Потрапляння точки в заштрихованную область d, якщо відомо, що точка лежить в області А (Рис.1.7). Тоді по геометричному визначенню ймовірності (1.5)

.

Теорема множення ймовірностей.Можливість спільного настання двох подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірність іншого, обчислену в припущенні, що перша подія вже наступило:

 (1.7)

Ці рівності випливають з (1.6).

Нагадаємо, що події А і В називаються незалежними, якщо настання або ненастання одного з них не впливає на настання іншої, в цьому випадку

.

Слідство (ймовірність твори незалежних подій).Якщо подія А і В незалежні, то

 . (1.8)

Цей факт може бути узагальнений на випадок довільного числа незалежних подій:

 , (1.9)

т. е. ймовірність твори незалежних в сукупності подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій.

Теорема додавання ймовірностей.імовірність настання хоча б одного з двох подій дорівнює сумі ймовірностей кожного з них за вирахуванням ймовірності їх спільного настання:

 (1.10)

Слідство (ймовірність суми несумісних подій). Якщо події А і В несумісні, то

 . (1.11)

взагалі,ймовірність настання хоча б одного (одного або більше) з декількох попарно несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій, т. е.

 (1.12)

Теорема.імовірність появи х о т я б и о д н о г о з незалежних в сукупності подій  дорівнює різниці між одиницею і добутком ймовірностей протилежних подій :

 . (1.13)

Доведення:

=  , що й потрібно було довести.

Приклад 1.Студент розшукує потрібну йому формулу в трьох довідниках. Ймовірності того, що формула міститься в 1-м, 2-м, 3-м довідниках відповідно рівні 0,6; 0,7; 0,8.

Знайти ймовірності того, що формула міститься:

а) тільки в одному довіднику;

б) хоча б в двох довідниках;

в) у всіх трьох довідниках;

г) хоча б в одному довіднику.

Рішення.Введемо позначення подій:

Bi - Потрібна студенту формула знаходиться в i-м довіднику,

i = 1, 2, 3.

А - формула міститься тільки в одному довіднику;

В - формула міститься хоча б в двох довідниках;

З - формула міститься у всіх трьох довідниках;

D - формула міститься хоча б в одному довіднику.

За умовою завдання: ; ; .

 - Незалежні події і, отже, протилежні їм події  - Незалежні, причому

;

;

.

а) Події А, В1, В2, В3 пов'язані наступним чином:

.

Події - складові в правій частині останнього рівності несумісні, а події-співмножники - незалежні. За формулами (1.12) і (1.9) маємо:

б) Для подій В, В1, В2, В3 справедливо наступне співвідношення:

.

Аналогічно п. А):

в) Для подій С, В1, В2, В3 справедливо рівність:

.

За формулою (1.9):

г) Розглянемо подія  (Протилежне події D ) - Формули немає ні в одному довіднику:

.

.

відповідь: а)  б)  в)

г) .

приклад 2. Імовірність того, що студент здасть перший іспит, дорівнює 0,9; другий - 0,9; третій - 0,8. Знайти ймовірність того, що студентом будуть здані:

а) тільки другий іспит (подія В);

б) тільки один іспит (подія С);

в) три іспити (подія D);

г) принаймні два іспити (подія E);

д) хоча б один іспит (подія F).

Рішення. Введемо позначення подій: Аi - Студент здасть i-й іспит, де i = 1, 2, 3. Обчислимо шукані ймовірності подій:

а)

б)

в)

г)

д) .

 



 Дії над подіями |  Формула повної ймовірності. Формула Байєса

 ВСТУП |  Класифікація подій |  Класичне і статистичне визначення ймовірності |  властивості ймовірності |  Рішення |  сполучення |  розміщення |  перестановки |  Геометричне визначення ймовірності |  Доведення |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати