Головна

геометричній ймовірності

  1.  IV. Формула повної ймовірності. формули Байєса
  2.  Аксіоматичне визначення ймовірності
  3.  Аксіоматичне визначення ймовірності (по Колмагорова).
  4.  Аксіоматичне визначення ймовірності.
  5.  Аксіоматичне визначення ймовірності. Слідства.
  6.  АНАЛІЗ ІМОВІРНОСТІ БАНКРУТСТВА ПІДПРИЄМСТВА
  7.  Аналіз ймовірності настання банкрутства

Безпосередній розрахунок ймовірності можливий в тому випадку, коли результат досвіду можна представити у вигляді повної групи елементарних подій, які несумісні і рівноможливими. При цьому в класичному випадку ймовірність події є відношення числа  сприяють цій події елементарних випадків до загальної кількості  всіх рівно можливих випадків, тобто

 . (1.1)

приклад 1.1

Нехай є 12 ретельно перемішаних однакових куль білого (5 штук) і чорного (7 штук) кольору, з яких випадково вибираються 4 кулі. Яка ймовірність того, що в числі витягнутих буде чорних і білих куль порівну?

Рішення:

Число всіх елементарних подій при цьому досвіді буде

.

Кількість сприятливих випадків можна розрахувати за формулою

.

Шукана ймовірність дорівнює

.

Безпосереднім підрахунком сприяють результатів можуть бути вирішені варіанти 1,2,3,4.

Геометричне визначення ймовірності застосовують в тому випадку, коли результат досвіду визначається випадковим положенням точки в деякій області  , Причому будь-які положення точок в цій області рівноможливими. Якщо розмір всієї області дорівнює  , А розмір частини потрапляння в яку сприяє даної події є  , Тоді шукана ймовірність події  визначається за формулою

 . (1.2)

область  може мати будь-яке число вимірювань, тому величини ,  можуть являти собою довжини відрізків, площі, обсяги і т.д. Геометричній ймовірності присвячені варіанти 5,6,7.

приклад 1.2

Яка ймовірність того, що сума двох випадково взятих позитивних дробів не більш одиниці?

Рішення:

нехай и  - Взяті правильні дроби. Їх можливі значення визначають область  . На площині  це безліч відповідає квадрату з площею  . Сприятливі значення відповідають трикутнику  . Площа цього трикутника  , тому .

умовною ймовірністю  події  називається ймовірність появи цієї події, обчислена в припущенні, що мала місце подія .

події и  незалежні, якщо .

Імовірність добутку двох подій визначається за формулою:

 . (1.3)

У випадку трьох подій  формула дещо ускладнюється:

 . (1.4)

якщо події  незалежні, то ймовірність твори цих подій дорівнює добутку ймовірностей окремих подій:

 . (1.5)

Зокрема, для двох незалежних подій и  маємо формулу

 . (1.6)

приклад 1.3

Партія зі ста деталей піддається вибіркового контролю. Умовою непридатності всіх партій є наявність хоча б однієї бракованої деталі серед п'яти перевірених. Яка ймовірність для даної партії бути не прийнятою, якщо вона містить 5% несправних деталей?

Рішення:

нехай подія  полягає в тому, що партія деталей прийнята. Дана подія є твором п'яти подій

,

де  - означає, що  -тая перевірена деталь доброякісна. імовірність події  . Далі розраховуємо умовні ймовірності:

Тому ймовірність події  дорівнює

.

Аналогічно можна вирішити завдання варіантів 8,9,10.

Імовірність суми двох подій визначають за формулою:

 . (1.7)

У випадку трьох подій  формула має вигляд:

 (1.8)

Для несумісних подій ймовірність суми подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій

 . (1.9)

Для двох несумісних подій  ця формула записується у вигляді:

 . (1.10)

приклад 1.4

Визначити ймовірність того, що партія зі ста деталей, серед яких п'ять бракованих, буде прийнята при випробуванні випадково обраної половини всієї партії, якщо умовами прийому допускається не більше однієї бракованої деталі з п'ятдесяти.

Рішення:

нехай  - Подія, яка полягає в тому, що серед п'ятдесяти деталей немає шлюбу, а  - Подія при осуществелніі якого в партії з п'ятдесяти деталей тільки одна бракована. події и  несумісні, тому

.

Крім того, очевидно, що

, .

Таким чином, шукана ймовірність дорівнює

.

Аналогічно можуть бути вирішені варіанти 11 - 16.

нехай подія  може відбутися тільки разом з одним з несумісних подій  . Ці попарно несумісні події  називаються гіпотезами. гіпотези  повинні складати повну групу подій, тобто

.

Тоді для ймовірності  здійснення події  , Має місце формула повної ймовірності

 . (1.11)

приклад 1.5

У тирі є п'ять рушниць, ймовірності попадання з яких дорівнюють відповідно: 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Знайти ймовірність попадання при одному пострілі, якщо стріляючий бере одну з рушниць випадково.

Рішення:

нехай гіпотеза  означає, що стріляє вибрав  -тое рушницю  . З умови задачі  . умовні ймовірності  також задані в тексті завдання:

; ; ;

; .

Відповідно до формули повної ймовірності отримуємо:

.

Аналогічно вирішуються завдання 17-20.

імовірність  гіпотези  після того, як мало місце подія  , Визначається формулою Байеса:

 , (1.12)

де .

приклад 1.6

Є дві партії деталей, причому відомо, що в одній партії всі деталі задовольняють вимогам якості, а в іншій партії 1/4 деталей браковані. Деталь, взята з випадково обраної партії, виявилася хорошої якості. Визначити в зв'язку з цим ймовірність того, що партія містить недоброякісні деталі.

Рішення:

Є дві рівноможливими і несумісні гіпотези:  - Вибір партії з доброякісними деталями,  - Вибір партії в якій є шлюб. Очевидно, що  . Крім того, за умовою задачі ,  . За формулою повної ймовірності:

.

Нарешті за формулою Байеса визначаємо:

.

Аналогічно вирішуються завдання варіантів 21-23.

якщо виробляються  незалежних дослідів, ймовірність появи події в кожному з яких є сталою і дорівнює  , То ймовірність  того, що ця подія при  дослідах здійсниться рівно  раз, визначається формулою Бернуллі:

 , (1.13)

де , .

Імовірність появи події не менш  і не більше  раз можна розрахувати за формулою Бернуллі, беручи до уваги формулу складання несумісних подій:

 . (1.14)

Імовірність появи події хоча б один раз в  дослідах можна визначити за формулою:

 . (1.15)

кількість дослідів  , Які потрібно провести для того, щоб з ймовірністю неменшою  можна було стверджувати, що дана подія здійсниться, принаймні, один раз, визначається з нерівності:

 . (1.16)

При великих значеннях и  і постійному значенні  має місце інтегральна формула Лапласа:

 , (1.17)

де  - Функція Лапласа.

якщо  , а  причому так, що  , Тоді з формули Бернуллі можна отримати формулу Пуассона:

.

приклад 1.7

Ймовірність виходу з ладу виробу за час випробувань на надійність дорівнює  . Яка ймовірність, що за час випробувань 100 виробів вийдуть з ладу не більше 5 виробів?

Рішення:

Необхідно обчислити ймовірність  . Для цього застосуємо інтегральну формулу Лапласа. В даному прикладі , .

.

Аналогічно можуть бути вирішені завдання варіантів 24-30.

 загальні вказівки |  завдання №1


 випадкові величини |  завдання №2 |  завдання №3 |  Математична статистика |  Завдання №4 1 сторінка |  Завдання №4 2 сторінка |  Завдання №4 3 сторінка |  Завдання №4 4 сторінка |  Функція щільності ймовірності нормального розподілу |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати