Головна

I. Приклади розв'язання задач

  1.  A.3.3. приклади
  2.  Amp; завдання 7.1
  3.  Amp; Завдання 9.2 Визначення категорії приміщення цехуфарбування
  4.  Auml; Приклади біноміальних експериментів.
  5.  Auml; Приклади.
  6.  CТРОЕНІЕ атома. МЕТОДИКА РІШЕННЯ ТИПОВИХ ЗАВДАНЬ
  7.  D) РЕКОНСТРУКЦІЯ ТА ІНТЕГРАЦІЯ ЯК ЗАВДАННЯ герменевтики

приклад 1. Використовуючи визначення границі послідовності, довести, що = .

Рішення. Розглянемо послідовність {xn} =. Доведемо, що для будь-якого e> 0 існує таке N = N (e), Що для всіх n> N виконується нерівність | xn - 1 | =

Задамо довільне e> 0. Розглянемо

= =

<<

Вирішивши нерівність щодо n, отримаємо n >. покладемо N =  , Тоді для всіх n > N виконується нерівність <<<

= .

приклад 2. Довести, що послідовність {1, 2,, 4., 6,, ...} = = розходиться.

Рішення. Доказательствобудем проводити методом від противного. нехай n = a, Тоді для будь-якого e> 0, існує такий номер N, Що для всіх номерів n> N виконується нерівність

| xn - a |

якщо a = 0, то для будь-якого e <1 і для будь-яких n = 2k виконується нерівність | x2k | > E, що суперечить визначенню границі послідовності.

нехай а ? 0. Розглянемо e = і елементи послідовності з номерами n = 2k + 1>: x2k + 1 = <. тоді

| x2k + 1 - a | = ? | a | -> | a | - =.

тобто | x2k + 1 - a | > E. Що знову суперечить визначенню границі послідовності. Отже, послідовність не має меж.

приклад 3 . знайти .

Рішення. при n > ?, чисельник і знаменник дробу також прагне до нескінченності. Отримаємо невизначеність виду . Щоб її розкрити, розділимо чисельник і знаменник дробу, що стоїть під знаком межі, на n2:

= = = 2.

(Тут береться до уваги, що = 0, = 0).

приклад 4 . знайти .

Рішення. В даному межі має місце невизначеність типу (? - ?).Для розкриття цієї невизначеності помножимо і розділимо вираз, що стоїть під знаком межі, на поєднане йому вираз :

= =

= = = .

Розділимо чисельник і знаменник дробу на n:

= = = .

приклад 5. знайти xn, якщо

xn = + + ... +.

Рішення. елемент xn являє собою суму, що складається з n доданків (n - Порядковий номер даного елемента), кожне з яких при n > ? прямує до нуля (невизначеність виду (0 ? ?)).

Розглянемо послідовності {yn} І { zn}, Де yn =, zn = . Для всіх елементів послідовностей {xn}, { yn }, { zn} Виконується нерівність: yn ? xn ? zn.

знайдемо yn и zn. Для кожного з цих меж маємо невизначеності виду . Для їх розкриття чинимо так само, як в прикладі 3: ділимо чисельник і знаменник дробів, що стоять під знаком межі на n:

yn = == = 1.

zn = = = = 1.

Тоді, по теореме про межі проміжної послідовності, xn = 1.

II.Контрольні питання і завдання

1. Сформулюйте визначення границі послідовності. Дайте геометричну інтерпретацію цього визначення.

2. Сформулюйте визначення розходиться послідовності і дайте геометричну інтерпретацію цього визначення.

3. Нехай послідовність {xn} - Сходиться. Якщо видалити (додати) кінцеве число членів послідовності, то чи буде отримана послідовність сходиться?

4. Нехай послідовність {xn} - Обмежена. Чи випливає з цього умови, що послідовність {xn} Сходиться?

5. Чи існують послідовності мають два різних межі?

6. Перерахуйте властивості границі послідовності.

7. Нехай послідовності {xn} І { yn } Сходяться. Чи сходяться сума, різниця, добуток, частка цих послідовностей?

8. Нехай в деякій околиці точки а лежить нескінченне число членів послідовності {xn}. Чи випливає з цього умови, що xn = a?

9. Нехай xn = a, а ? 0. Чи може послідовність мати нескінченне число негативних (рівних нулю) членів, якщо а > 0?

III.практичні завдання

1. Використовуючи визначення границі послідовності, довести що: а) = 2, б) = 1, в) = 0.

2. Знайти такі межі:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

ж) ; з) ;

и) ; к) .

 



 I. Приклади розв'язання задач |  I. Приклади розв'язання задач

 практичний посібник |  ВСТУП |  I. Приклади розв'язання задач |  ГРАНІ числових множин |  I. Приклади розв'язання задач |  I. Приклади розв'язання задач |  ПЕРЕМІННОГО |  I. Приклади розв'язання задач |  I. Приклади розв'язання задач |  I. Приклади розв'язання задач |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати