На головну

I. Приклади розв'язання задач

  1.  A.3.3. приклади
  2.  Amp; завдання 7.1
  3.  Amp; Завдання 9.2 Визначення категорії приміщення цехуфарбування
  4.  Auml; Приклади біноміальних експериментів.
  5.  Auml; Приклади.
  6.  CТРОЕНІЕ атома. МЕТОДИКА РІШЕННЯ ТИПОВИХ ЗАВДАНЬ
  7.  D) РЕКОНСТРУКЦІЯ ТА ІНТЕГРАЦІЯ ЯК ЗАВДАННЯ герменевтики

Приклад 1.Для числових послідовностей

1) ? 1,,, ...,, ....

2) {1 + (-1)n } ? 0, 2, 0, 2, ....

3) {n} ? 1, 2, 3, ....

визначити, які з цих послідовностей є а) зростаючими, б) убутними, в) обмеженими зверху, г) обмеженими знизу, д) огранічееннимі.

Рішення. 1) Для послідовності: xn =, xn + 1 =. Так як для всіх натуральних n виконується нерівність>, то, xn > xn + 1 . Отже, за визначенням спадної послідовності, ця послідовність є спадною.

Так як для будь-якого елементу послідовності виконуються нерівності xn ? 1, xn > 0 (xn = 1 при n = 1), то послідовність обмежена і зверху і знизу, отже, вона обмежена. Послідовність має найбільший елемент x1 = 1 і не має найменшого.

2) Послідовність {1 + (-1)n} Не є монотонною, тому що для всіх елементів послідовності виконуються нерівності x2k - 1 ? x2k , x2k ? x2k +1.

Послідовність обмежена.

3) Послідовність {n} Є зростаючою, так як для всіх елементів послідовностей виконується нерівність xn ? xn + 1.

Послідовність обмежена знизу, так як всі елементи послідовності більше або дорівнюють 1 (x1 = 1 - найменший елемент послідовності). Послідовність необмежена зверху, так як, очевидно, для будь-якого наперед заданого числа А, Завжди знайдеться такий елемент послідовності, який буде більше А.

приклад 2. Довести, що послідовність {an} Є:

а) нескінченно великий, при | a | > 1;

б) нескінченно малої, при | a | <1.

Рішення. а) Нехай | a | > 1. Доведемо, що послідовність {an} Задовольняє визначенню нескінченно великою послідовності, тобто для будь-якого числа A > 0 знайдеться такий номер N, Що при всіх n > N виконується нерівність

| a |n > A.

Для 0 < А ? 1, нерівність виконується для будь-яких n. задамо довільне A > 1. Для відшукання номера N вирішимо щодо n нерівність | a |n > A. отримаємо

n> log | a | A.

покладемо N = [Log | a | A]. Тоді для будь-якого n > N виконується нерівність n > log | a | A, А отже, і нерівність | a |n > A. Що й потрібно було довести.

б) Нехай | a | < 1. Нехай a = 0, тоді послідовність {an} = {0} - нескінченно мала. нехай а ? 0. Уявімо а у вигляді а = , де k > 1. Тоді аn = . Так як | k |> 1, то послідовність {kn} Є нескінченно великою, а послідовність - нескінченно малої. Таким чином, послідовність {an} при | a | <1 - нескінченно мала.

II.Контрольні питання і завдання

1. Будь-яке чи числове безліч є числовою послідовністю?

2. Чи може обмежене впорядкована числове безліч бути числовою послідовністю?

3. Сформулюйте визначення а) Послідовності, б) Обмеженою зверху, обмеженою знизу, обмеженою, необмеженої числової послідовності.

4. Нехай в деякій околиці точки а лежить нескінченно багато елементів послідовності {xn}. Чи випливає з цього умови, що послідовність {xn} Обмежена?

5. Нехай "e > 0, $ позитивне натуральне число N , Таке, що "n > N всі елементи послідовності {xn} потрапляють в e -окрестность деякої точки а. Чи слід звідси, що послідовність обмежена?

6. Дайте визначення нескінченно малої і нескінченно великою послідовності.

7. Чи є нескінченно мала послідовність обмеженою?

8. Чи може нескінченно велика послідовність бути обмеженою а) Знизу, б) Зверху, в) Обмеженою?

9. Перерахуйте властивості нескінченно малої (нескінченно великий) послідовності. Чи будуть сума, твір нескінченного числа нескінченно малих послідовностей бути нескінченно малими послідовностями?

10. Що можна сказати про приватному двох нескінченно малих (нескінченно великих) послідовностей, про різниці двох нескінченно великих послідовностей, про твір нескінченно великий і нескінченно малої послідовності. Наведіть приклади, що ілюструють відповідь.

III.практичні завдання

1. Дано наступні послідовності:

а) 1,  , 1,  , 1,  , ...; б) 1, 2, 3, 4, 5, ...;

в) ; г) 1, , , ,  , ...;

д) е) .

Відповісти на питання:

а) Є послідовність обмеженою зверху, обмеженою знизу, обмеженою;

б) Чи має послідовність найбільший або найменший елементи;

в) Є послідовність монотонної?

2. Використовуючи визначення нескінченно малої послідовності, довести що послідовності: а) , б) , в) , г) -

є нескінченно малими.

3. Використовуючи визначення нескінченно великою послідовності, довести що послідовності: а) {n}, б) , в) , г) -

є нескінченно великими.

 



 I. Приклади розв'язання задач |  I. Приклади розв'язання задач

 практичний посібник |  ВСТУП |  I. Приклади розв'язання задач |  ГРАНІ числових множин |  I. Приклади розв'язання задач |  I. Приклади розв'язання задач |  ПЕРЕМІННОГО |  I. Приклади розв'язання задач |  I. Приклади розв'язання задач |  I. Приклади розв'язання задач |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати