Головна |
Розглянемо випадкову величину
випадкові величини Хi незалежні і кожну з них можна розглядати як окремий екземпляр однієї і тієї ж випадкової величини Х. Тоді
З нерівності Чебишева для випадкової величини випливає, що
.
З огляду на отримані вище результати, маємо:
.
Так як , то .
Тому .
Але ймовірність не може бути більшим за одиницю, тому в останньому співвідношенні нерівність можна замінити на рівність, що і є доказом теореми Чебишева.
Ця теорема обґрунтовує наступний спосіб визначення математичного очікування випадкової величини на основі дослідних даних: потрібно виконати досить багато спостережень випадкової величини і обчислити середнє арифметичне спостережуваних значень. Якщо число спостережень велике, то майже достовірно, що, мало відрізняється від математичного очікування спостерігається величини і можна взяти в якості наближеного значення математичного очікування.
Зазвичай при вимірі фізичних величин виробляють кілька вимірів і в якості значення вимірюваної величини беруть середнє арифметичне з результатів вимірювань. Обгрунтування такого способу дій дає теорема Чебишева. Нехай ми вимірюємо деяку фізичну постійну а. При вимірі допускається деяка помилка X, і ми фактично отримуємо при вимірюванні значення а + X. Якщо ми не робимо систематичної помилки, інакше кажучи, якщо М (Х)= 0, то М (а + Х) = М (а) + М (Х) = а. Значить, при досить великому числі вимірювань середнє арифметичне їх результатів дорівнюватиме математичного сподівання (по теоремі Чебишева) і як завгодно близько до а з імовірністю, близькою до одиниці. Таким чином, навіть не точний прилад може забезпечити при зазначеному способі дій яку завгодно точність.
теорема Чебишева | теорема Бернуллі
Коваріація двох випадкових величин | коефіцієнт кореляції | Рішення. | Двовимірний нормальний закон розподілу | Центральна гранична теорема | Інтегральна теорема Лапласа | Розподіл частоти події | Рішення | нерівність Чебишева | Рішення |