На головну

Диференціюється Теорема Ролля і Лагранжа. Формула Тейлора з залишковим членом у формі Лагранжа.

  1.  Gt; Функції та методи інноваційного менеджменту> Прогнозування в інноваційному менеджменті
  2.  I. Обчислення границь функції
  3.  I. Диференціал функції.
  4.  I. Основні функції ВІДДІЛУ
  5.  II. Про "платформі" опозиції
  6.  II. Функції герундія в реченні
  7.  III Похідна функції

Теорема Ролля. Якщо функція f (x) неперервна на замкненому інтервалі [а, b], має всередині інтервалу похідну і якщо

f (a) = f (b)

то всередині інтервалу [а, b] знайдеться хоча б одне таке значення x0 (A

f '(x0) = 0.

Доведення. Розглянемо два випадки.

1. Функція f (x) постійна на інтервалі [а, b]; тоді f '(x) = 0 для будь-якого x (a , Тобто твердження теореми Ролля виконується автоматично.

2. Функція f (x) не є постійною (Малюнок 1); тоді найбільшого або найменшого або обох цих значень вона досягає у внутрішній точці інтервалу, бо f (b) = f (a), і якщо f (a) - Найменше значення, то найбільше значення значення функція f (x) прийме всередині інтервалу.

рис.1

нехай наприклад f (x0) - Найбільше значення функції f (x) на інтервалі [а, b] і x0 - Внутрішня точка цього інтервалу. тоді f (x0) є максимумом функції: f (x0) ? f (x) для всіх x з досить малій околиці x0 [За цю околицю можна втім, взяти інтервал (а, b)].

Так як, за умовою, f (x) має в точці x0 похідну, то по теоремі про необхідному ознаці екстремуму,

f '(x0) = 0,

і теорема Ролля доведена.

Теорема Ролля має просте геометричне тлумачення: якщо дана дуга AB кривої y = f (x), в кожній точці якої існує дотична, причому кінці A і B знаходяться на однаковій відстані від осі Ox, то на цій дузі знайдеться принаймні одна точка, в якій дотична t до кривої буде паралельна стягивающей дугу хорді, а отже і осі Ox (Дивись малюнок 1).

Якщо повернути осі координат на кут a, то кінці A и B дуги AB вже не будуть знаходиться на однаковій відстані від осі Ox ', Але дотична t як і раніше буде паралельна хорді AB (Дивись малюнок 1). Тому природно очікувати, що має місце теорема:
Якщо дана дуга AB кривої y = f (x) з безперервно змінюється дотичній, то на цій дузі знайдеться хоча б одна точка, в якій дотична паралельна стягивающей її хорді AB (Малюнок 2).

рис.2

Ця теорема є геометричній перефразування наступної теореми, відомої під назвою теореми Лагранжа.

Теорема Лагранжа. Якщо функція f (x) неперервна на замкненому інтервалі [а, b] і всередині нього має похідну f '(x), то знайдеться хоча б одне таке значення x0 (A

f (b) - f (a) = (b - a) f '(x).

Доведення. Розглянемо допоміжну функцію

F (x) = f (x) - k (x - a),

де  - Кутовий коефіцієнт хорди AB (Дивись малюнок 2).

Ця функція задовольняє всім умовам теореми Ролля.

Справді, при x = a маємо F (a) = f (a) - k (a - a) = f (a), при x = b маємо

Крім того, так як функція f (x) и k (x - a) безупинні на [a, b] І діференціруеми в (a, b), То і функція F (x) = f (x) - k (x - a) неперервна на [a, b] І діференціруема в (a, b).

Отже, за теоремою Ролля, в інтервалі (a, b) Знайдеться така точка x0, що

F '(x0) = 0,

тобто

f '(x0) - K = 0

або

Звідси маємо

f (b) - f (a) = (b - a) f '(x0),

що й потрібно було довести.

Так як a + (b - a) = b, То величина a + Q(B - a), Де Q - правильна позитивна дріб (0 < Q <1), Дорівнює якомусь числу в інтервалі (a, b), Тому формулу Лагранжа можна записати у вигляді

f (b) - f (a) = (b - a) f '[a + Q(B - a)]

якщо покласти a = x, b = x + Dx, звідки b - a = Dx, То формула Лагранжа запишеться у вигляді

Dy = f (x + Dx) - f (x) = Dxf '(x + QDx).

Раніше було доведено, що якщо функція дорівнює постійної C при будь-якому значенні x в інтервалі (A, b), То її похідна дорівнює нулю.

Доведемо тепер зворотну теорему, що є наслідком теореми Лагранжа:

Якщо проізвоодная f '(x) звертається в нуль для будь-яких значень x в інтервалі (a, b), то в цьому інтервалі f (x) = C.

Справді, якщо x1 и x2 - Два будь-яких значення в інтервалі (A, b), То в силу теореми Лагранжа, маємо

f (x2) - F (x1) = (X2 - x1) F '(x0),

де, x1 2. Але так як f '(x0) = 0, то

f (x2) - F (x1) = 0,

що і доводить нашу теорему.

Звідси безпосередньо випливає важлива теорема:

Якщо дві функції f1 (X) і f2 (X) мають одну і ту ж похідну в інтервалі (a, b), то вони на даному інтервалі відрізняються один від одного на постійну величину.

Справді, розглянемо функцію

j(X) = f2(X) - f1(X).

Тоді для будь-якого значення x з інтервалу (A, b)

j'(X) = f2'(X) - f1'(X) = 0.

Але це означає, що j(X) = C і, отже

f2(X) - f1(X) = С.

Формула Тейлора. Нехай на інтервалі [A, b] функція f (x) диференційована n раз і виконуються наступні рівності:

f (a) = f (b) = f '(a) = f' '(a) = ... = f (N-1)(A) = 0

Тоді всередині інтервалу [A, b] знайдеться хоча б одне значення з, за якого

f (N)(C) = 0

Доведення. По теоремі Ролля маємо

f '(x0 ) = 0,

де a . тоді f '(x) на інтервалі [a, x0] Задовольняє теоремі Ролля, так як, за умовою, f '(a) = 0 и f '(x0 ) = 0, а тому

f '' (x1 ) = 0,

де a 0.

Застосовуючи теорему Ролля послідовно до функцій f '' (x), f '' '(x), ..., f (N-1)(X), Знайдемо нарешті:

f (N)(С) = 0,

де a n-1 . Теорема доведена.

виведемо тепер формулу Тейлора із залишковим членом у формі Лагранжа.

нехай функція f (x) дифференцируема n раз на інтервалі [a, b].

Розглянемо допоміжну функцію

j(X) = f (x) - P (x),

де

продифференцируем n раз функцію j(X). Тоді матимемо




. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

j(N-1)(X) = f(N-1)(X) - An-1 - An(X - a),

j(N)(X) = f(N)(X) - An

Вимагатимемо, щоб функція j(X) задовольняла умовам узагальненої теореми Ролля. Тоді матимемо

 (1)
.

Так як функція j(X) задовольняє умовам узагальненої теореми Ролля, то знайдеться таке значення з (a , що

j(N)(С) = f(N)(С) - An = 0 (2)

Далі знайдемо з n перших рівнянь системи (1) коефіцієнти A0 , A1 , ..., An-1:

A0 = F (a), A1 = F '(a), A2 = F '' (a), ..., An-1 = f(N-1)(A),

а з рівняння (2) коефіцієнт An: An = f(N)(C) і підставимо їх значення в останнє рівняння системи (1):

,

де 0 < Q <1

замінюючи b на x, Отримаємо формулу Тейлора:

де 0 < Q <1

останній доданок

називається залишковим членом у формі Лагранжа.

при a = 0 виходить так звана формула Маклорена:

де 0 < Q <1, А залишковий член записується у вигляді


ІНТЕГРУВАННЯ. Інтеграл Рімана. Теорема про інтегрованості безперервної функції. Теорема про неперервність і дифференцируемости інтеграла із змінною верхньою межею. Формула Ньютона-Лейбніца.

Нехай дійсна функція f(x) Визначена і обмежена на обмеженому замкнутому інтервалі [a, b]. Разоб'ем цей інтервал на n часткових інтервалів точками

a = x0 < x1 < x2 <... < xn = b.

Виберемо в кожному з часткових інтервалів по довільній точці  і складемо суму (інтегральна сума) .

Якщо існує межа інтегральної суми при прагненні до нуля довжини найбільшого часткового інтервалу розбивки:  , То функція f(x) називається интегрируемой Ріманом на інтервалі [a, b]. Межа цієї суми

називається певним інтегралом від f(x) по інтервалу [a, b] Ріманом (інтеграл Рімана). Це визначення означає, що для будь-якого позитивного числа  існує таке число  , Що при будь-якому розбитті інтервалу [a, b] На часткові інтервали, довжини яких менше .

і при будь-якому виборі проміжних точок  виконується нерівність

функція f(x) називається підінтегральної функцією, а a и b - межами інтегрування.



 БЕЗПЕРЕРВНІ ФУНКЦІЇ. Теорема Больцано-Коші про проміжне значення функції. Теорема Вейєрштрасса про найбільшому і найменшому значенні функції. |  Інтегрованість безперервних функцій

 ТЕОРІЯ МЕЖІ. Межа послідовності і межа функції. Теорема про існування точної верхньої межі. |  Теорема про існування точної верхньої межі |  Інтеграл із змінною верхньою межею |  ФУНКЦІЇ БАГАТЬОХ ЗМІННИХ. Диференційовність функцій багатьох змінних. Теорема про достатні умови дифференцируемости функції. |  Почленное інтегрування і диференціювання ряду |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати