На головну

статечні ряди

  1.  Залежно від господарського призначення, речі можуть бути розділені на головні і другорядні.
  2.  ДРУГОРЯДНІ СИСТЕМИ
  3.  Другорядні члени речення, їх синтаксична функція
  4.  Міняйте темп мови, підкреслюйте важливі думки за допомогою їх повторення, перефразування. Чи не розвивайте детально другорядні думки.
  5.  Методика збору скарг хворого. Основні (головні) і додаткові (другорядні) скарги.
  6.  Поняття середньої величини. Статечні середні.
  7.  Розкладання функцій в статечні ряди

інтервал збіжності. Для кожного статечного ряду  , Існує замкнутий інтервал збіжності:  , Всередині якого даний ряд сходиться, а поза розходиться. Радіус збіжності R визначається за формулою Коші-Адамара  . Радіус збіжності R може бути обчислений також за формулою  якщо ця межа існує.

Теорема Абеля.Якщо статечної ряд  сходиться в кінцевий точці x = R інтервалу збіжності, що

ряд Тейлора. Аналітична в точці а функція  в деякій околиці цієї точки розкладається в степеневий ряд

.

Остаточний член цього ряду

можна представити у вигляді

(Форма Лагранжа) або у вигляді

(Форма Коші).

Необхідно пам'ятати наступні п'ять основних розкладів:

I.

II.

III.

IV.

2.1. Дослідження збіжності степеневих рядів.

Приклад 1. Дослідити збіжність статечного ряду .

Рішення. запишемо коефіцієнт  і знайдемо радіус збіжності за формулою  . Інтервал збіжності даного ряду інтервал  . вважаючи  отримаємо розходиться ряд, так як для нього порушено необхідна умова збіжності. для значення  маємо знакозмінний ряд  . Його часткові суми  , а  необмежені, тому ряд розходиться. Таким чином, безліч збіжності ряду інтервал .

Приклад 2. Знайти безліч збіжності ряду .

Рішення. Запишемо коефіцієнт статечного ряду  і, з урахуванням його виду, знайдемо радіус збіжності за формулою  . Безліч збіжності ряду .

Приклад 3. Знайти безліч збіжності ряду .

Рішення. запишемо коефіцієнт  і знайдемо радіус збіжності за формулою  . Інтервал збіжності даного ряду інтервал  . Розглянемо тепер збіжність на кінцях інтервалу.

вважаючи  , Отримаємо числовий ряд  . маємо  . З'ясуємо тепер збіжність невласного інтеграла  . застосовуючи підстановку  , Переконаємося в його розбіжність. Отже, розходиться згідно інтегральному ознакою Коші, і числовий ряд.

для значення  маємо знакозмінний ряд  . Для нього виконані умови збіжності за ознакою Лейбніца. Таким чином, безліч збіжності ряду .

2.2 Додатку статечних рядів.

Тут слід звернути увагу на те, що додатки статечних рядів до ряду практичних завдань в курсі математичного аналізу зустрічаються на ранньому етапі. Зокрема, при розгляді формули Тейлора доводиться стикатися з виконанням наближених обчислень або поданням функцій у вигляді статечного ряду. Також при чисельному інтегруванні застосовується розкладання підінтегральної функції в ряд. У зв'язку з вищевикладеним, вважаємо за доцільне розбір таких завдань на більш поглибленому, що вимагає розуміння основних властивостей рядів, прикладах з детальною оцінкою похибки, що виникає при обчисленнях. Крім того, з метою демонстрації ефективного застосування рядів при інтегруванні звичайних диференціальних рівнянь (ОДУ0, нами розглянуті рішення досить складних ОДУ.

2.2.1. Наближені обчислення.

Приклад 1. Обчислити з точністю до  значення sin 3 .

Рішення. Використовуючи розкладання функції  при  запишемо

sin3  , Так як цей ряд задовольняє ознакою Лейбніца, його залишок не перевищує за абсолютною величиною першого з членів в  . Знайдемо n з умови :

при  маємо ;

при ;

для  виконано нерівність: .

Отже, потрібно взяти два члени розкладання і .

Приклад 2. Розрахуйте значення  з точністю до .

Рішення: Оскільки для розкладання в статечної ряд записується для функцій  знайдемо значення  з рівності

,  . Тоді, використовуючи розкладання

знайдемо:

Таким чином, .

оцінимо  т. е. можна обмежитися 4-ма членами: Остаточно, .

2.2.2. Обчислення визначених інтегралів.

Приклад 3. Обчислити інтервал  з точністю до 0,001.

Рішення: З урахуванням табличного розкладання  , отримаємо  Далі, інтегруючи цей вислів на відрізку  , отримаємо

= =

Отриманий ряд можна інтерпретувати як різниця двох Знакозмінні рядів, що сходяться, що задовольняють ознакою Лейбніца:

 (*),  (**).

Тоді для ряду (*) маємо  і для -  тому то  =. .

Приклад 4. Обчислити з точністю до  інтервал .

Рішення: Т. к. =  , Інтегруючи цей ряд, на  отримаємо =

Потрібно знайти тепер число членів, які забезпечують задану точність (ряд задовольняє ознакою Лейбніца):

при  маємо:  Таким чином, наближене значення .

2.2.3. Обчислення меж.

Приклад 5. Обчислити  застосовуючи розкладання функції за формулою Тейлора.

Рішення: Запишемо рівності  . тоді  звідси .

Приклад 6. Обчислити межа із застосуванням формулою Тейлора:

Рішення. Для зручності покладемо  Наведемо тепер биномиальное розкладання виду

.

вважаючи и  , Запишемо еквівалентності:

, .

Беручи до уваги вищенаведені співвідношення, отримаємо:

.

Тоді, з урахуванням цих розкладів, знаходимо

Приклад 7. Обчислити із застосуванням формули Тейлора межа

.

Рішення. Маємо наступну еквівалентність:

В остаточному вигляді отримаємо наступне відношення

.

Уявімо статечно-показове вираження через експоненту:

.

оскільки  отримаємо  ; і в остаточному вигляді шуканий межа .

2.2.4. Застосування степеневих рядів для

рішення звичайних диференціальних рівнянь.

Приклад 8. Методом невизначених коефіцієнтів, знайти спільне рішення диференціального рівняння

у вигляді статечного ряду з центром в нулі.

Рішення: Запишемо диференціальне рівняння у вигляді статечного ряду з центром в нулі  з невизначеними коефіцієнтами  . Знайдемо похідні від статечного ряду

,

і підставимо їх вираження в диференціальне рівняння

+ .

Перетворимо отримане вираження

;

або

.

Таким чином:

; ; .

Остання формула є рекурентне співвідношення для обчислення коефіцієнтів степеневого ряду. Задамо тепер:

.

тоді  т. е.  . Аналогічно отримаємо вираз

Остаточне вираз для вирішення набирає вигляду

,

де  - Твір всіх парних чисел від 1 до ;  - Твір непарних чисел від 1 до .

Приклад 9. Знайти спільне рішення звичайного диференціального рівняння (ОДУ)

в околиці особливої ??точки в вигляді статечного ряду або узагальненого статечного ряду з центром в нулі.

Рішення: Запишемо розкладання в статечної ряд шуканого рішення:  . Диференціюючи цей ряд, знайдемо похідні:

;

і, підставляючи їх в рівняння, отримаємо рівність:

Випишемо тепер коефіцієнти при ступені :  . Отримуємо квадратне рівняння  . Його коріння:  . Для кожного кореня маємо своє рішення у вигляді узагальненого ряду.

1. Покладемо  і перепишемо вищенаведене рівність:

 Випишемо тепер коефіцієнти при ступені :  або .

Отримаємо тепер рекурентне співвідношення для обчислення коефіцієнтів ряду. Для цього представимо диференціальне рівняння у вигляді

Звідси випливає рівність

 . (1)

Перепишемо його у вигляді  . Звідси отримуємо дані вираз  при  . Зокрема, маємо рівність  . покладемо тепер  . Тоді рівність (1) набуває вигляду

.

оскільки  , То з урахуванням рекуррентного співвідношення, знаходимо, що  при  . Таким чином, отримано рішення ОДУ в вигляді

.

2. Покладемо  і перепишемо вищенаведене рівність:

 Випишемо тепер коефіцієнти при ступені :  або .

Отримаємо тепер рекурентне співвідношення для обчислення коефіцієнтів ряду. Для цього представимо диференціальне рівняння у вигляді

Звідси випливає рівність

 . (1)

Перепишемо його у вигляді  . Отримуємо дані вираз  . Зокрема, маємо рівність , .

Таким чином, отримано рішення ОДУ в вигляді

.

Перетворимо отримане вираження для вирішення. Звернемося до розкладання

і перепишемо рішення у вигляді .

Тоді рішення ОДУ в остаточній формі приймає наступний вигляд

.

2.2.5. Обчислення в середовищі MATHCAD.

З метою показу точності обчислень, вироблених із застосуванням статечних рядів, розглянемо деякі приклади обчислень.

При цьому в якості інструментального засобу виберемо пакет MATHCAD будь-якої версії. Оскільки при обчисленнях не проводиться будь-яких складних дій, пов'язаних з програмуванням (наприклад, з циклами), обмежимося лише показом ілюстрацій, що дають повне уявлення для виконуваних символьних операцій.

Нижче наводиться набір необхідних інструментальних засобів: «Symbolic», «Сalculus» і «Calculator».

Покажемо, як отримати значення функцій, для яких використовувалося представлення функції у вигляді статечного ряду. Знайдемо, наприклад, значення  . Для набору в меню «Calculator» виберемо ln, потім підставимо його аргумент. Далі, в цьому ж меню виберемо знак рівності.

Для обчислення певних інтегралів слід вибрати в меню «Сalculus» шаблон, що відповідає даній операції, і здійснити введення підінтегральної функції і кордонів інтегрування.

Зупинимося тепер на розкладанні функцій в ряд. Для цього вибирається в «Symbolic» оператор Series. Перед ним вказується функція, потім аргумент і порядок змінної, до якого проводиться представлення у вигляді полінома.

На наведеній заставці показані демонстраційні обчислення, що свідчать про збіг з певною точністю з розібраними в прикладах обчисленнями. Аналогічно можна знаходити межі, попередньо виконуючи розкладання в статечної ряд входять до виразу функцій.

 



 Ознаки збіжності. |  Контрольна робота №2

 ГЛАВА III. Інтегрального числення. |  Вступ. |  ГЛАВА I. ВСТУП В АНАЛІЗ |  ГЛАВА II. ПОХІДНА. |  ГЛАВА III. інтегральне числення |  обчислення площ |  Обчислення довжин дуг |  обчислення обсягів |  Завдання контрольної роботи №1. |  Числові ряди. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати