Головна |
система називається автономної, Якщо в її праву частину не входить явно незалежна змінна: .
Рішення автономної системи можна розглядати в просторі координат , Яке прийнято називати фазовим простором.Проекція інтегральної кривої на цей простір називається фазової траєкторією(Або просто траєкторією). Взагалі кажучи, будь-яку систему можна зробити автономною, вводячи додаткову фазову координату - незалежну змінну і додаткове рівняння . Фазовий простір такої системи прийнято називати розширеним фазовим простором.
Властивості розв'язків автономних систем.
1) Якщо - Рішення системи, то і теж рішення.
.
слідство. фазова траєкторія - Це та ж фазова траєкторія, що і .
Справді, будь-яка точка першій фазової траєкторії є точкою другий фазової траєкторії і навпаки.
2) Дві фазових траєкторії або не мають спільних точок, або збігаються.
Нехай дві різних фазових траєкторії мають спільну точку . Розглянемо рішення .
. Отже, за теоремою Коші . але - Це траєкторія , Зрушена на по аргументу. За слідству, обидві фазові траєкторії є однією фазовою траєкторією.
Слідство. Безліч фазових траєкторій автономної системи в фазовому просторі являє собою сукупність непересічних кривих.
Крапка називається точкою спокою (точкою рівноваги) Автономної системи, якщо .
3) якщо точка - Точка спокою, то - Рішення системи.
Справді, .
4) Будь-яка фазова траєкторія автономної системи є траєкторія одного з трьох типів:
- гладка, що не самопересекающиеся крива,
- замкнута гладка крива,
- точка спокою.
Симетрична форма запису системи. | Фазовий потік.
Визначник Вронського. | Теорема про структуру загального рішення однорідного рівняння. | Формула Остроградського - Ліувілля. | Теорема про структуру загального рішення неоднорідного рівняння. | Лекції 17-18. Лінійні диференціальні рівняння з постійними коефіцієнтами. | Теорема про накладення приватних рішень. | Метод підбору форми приватного рішення. | Лекції 19-20. Нормальні системи диференціальних рівнянь. | Завдання Коші. | Перші інтеграли. |