На головну

Ознаки порівняння невласних інтегралів

  1.  Cущность організації та її основні ознаки
  2.  V. Ознаки одержимості дияволом
  3.  V. Ознаки повороту серед старої виробничо-технічної інтелігенції
  4.  А. Загальні ознаки.
  5.  Абсолютна збіжність невласних інтегралів.
  6.  Аналіз стану зовнішнього дихання за даними порівняння фактичних величин ЖЕЛ і МВЛ з належними
  7.  В. 5. Основні теореми про границі. Ознаки існування границі

(Достатні ознаки збіжності і розбіжність невласних інтегралів).

1 ознака. Теорема.нехай при  виконано нерівність .

якщо інтеграл  сходиться, то і інтеграл  сходиться.

якщо інтеграл  розходиться, то і інтеграл  розходиться.

Доведення. проинтегрируем нерівність  на відрізку ,

 . Так як обидві функції на відрізку мають тільки позитивні значення, то інтеграли від цих функцій є зростаючі функції від верхньої межі b.

якщо  сходиться (  = I), то при будь-якому b> a  = I (I - кінцеве число).

Тому  - Монотонно зростаюча, обмежена функція верхньої межі інтегрування b. Отже, за теоремою Вейерштрасса цей інтеграл як функція b має межу

 , Тобто інтеграл сходиться.

нехай тепер  розходиться. якщо  сходиться, то по доведеному і  сходиться, протиріччя. Теорема доведена.

Взагалі-то, все було ясно з геометричного сенсу певного інтеграла як площі криволінійної трапеції під графіком функції. Якщо значення однієї функції більше, ніж значення іншої функції, то і відповідна криволінійна трапеція має велику площу. І якщо ця площа кінцева, то і менша площа кінцева. А якщо менша площа нескінченна, то й велика площа нескінченна. Але суворе доказ не підведе, а «очевидне» іноді підводить.

2 ознака порівняння. Теорема.Нехай при x> a  . Якщо існує кінцевий межа  , То інтеграли ,  , Сходяться чи розходяться одночасно (якщо один сходиться, то і другий сходиться, якщо один розходиться, то і другий розходиться).

Доведення. З визначення меж слід

.

якщо інтеграл  сходиться, то за першою ознакою порівняння збігається інтеграл  , А, отже, сходиться інтеграл  . якщо інтеграл  сходиться, то сходиться інтеграл  , А, отже, за першою ознакою порівняння збігається інтеграл  . нехай інтеграл  розходиться. якщо інтеграл  сходиться, то за першою ознакою порівняння збігається інтеграл  , Протиріччя. нехай інтеграл  розходиться. якщо інтеграл  сходиться, то за першою ознакою порівняння збігається інтеграл  , Протиріччя. Теорема доведена.

Еталонами служать зазвичай інтеграли Дирихле або інтеграли від показової функції.

Приклад.  сходиться за другою ознакою порівняння, інтеграл порівняння .

Приклад.  сходиться за першою ознакою, інтеграл порівняння

.



 Невласні інтеграли від неперервної функції по нескінченному проміжку (першого роду). |  Невласні інтеграли від розривної функції за кінцевим проміжку (другого роду).

 Завдання про площу криволінійної трапеції. |  Критерій існування певного інтеграла. |  Властивості визначеного інтеграла. |  Теорема про оцінку визначеного інтеграла. |  Теорема про середнє значення певного інтеграла ( «теорема про повну загальну середню»). |  Інтеграл із змінною верхньою межею. |  Формула Ньютона - Лейбніца. |  Методи обчислення визначеного інтеграла. |  Інтегрування періодичних функцій на відрізку довжини, кратної періоду. |  Невласні інтеграли. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати