На головну

Інтегрування ірраціональних функцій.

  1.  I. Обчислення меж функцій.
  2.  Арифметичні операції над неперервними функціями. Суперпозиція функцій. Теорема про неперервність складної функції.
  3.  Зростання і спадання функцій. Екстремуми.
  4.  Вбудовування функцій.
  5.  Графіки елементарних функцій. перетворення графіків
  6.  Дії над неперервними функціями. Властивості неперервних функцій. Точки розриву безперервних функцій
  7.  Диференціація і спеціалізація виробничих функцій.

Яких-небудь загальних методів інтегрування для всього класу ірраціональних функцій невідомо, та й навряд чи такі методи можна придумати.

Загальна ідея полягає в тому, щоб придумати раціоналізує підстановку, т. Е. Знайти таку заміну змінних, щоб в нових змінних інтеграл був би інтегралом від раціональної функції. А, як показано на минулій лекції, інтеграли від раціональних функцій завжди можна взяти.

Нижче наводяться деякі інтеграли, для яких відомі раціоналізує підстановки.

1.  , Де R () - раціональна функція аргументів. раціоналізує підстановка  , де .

Приклад.  - Інтеграл від раціональної функції, якщо взяти .

2.  . Цей інтеграл можна представити у вигляді =  , А потім шукати коефіцієнти полінома n-1 ступеня та константу, диференціюючи обидві частини, приводячи дроби до спільного знаменника і прирівнюючи коефіцієнти при однакових ступенях змінної.

Приклад. .

Диференціюючи обидві частини

.

Наводимо до спільного знаменника

 . Прирівнюючи коефіцієнти при однакових ступенях, отримуємо  . Тепер, виділяючи повний квадрат, отримуємо в правій частині розкладання «довгий логарифм»:

.

3. У інтеграли виду  раціоналізує підстановка .

Приклад.  . застосовуємо підстановку .

=  . Це інтеграл, розглянутий вище в п.2.

4. Диференціальний біном.  , де  - Раціональні числа. Такі інтеграли беруться тільки в трьох випадках (умови П. Л. Чебишева):

а) p - ціле (підстановкою  , де  ),

б)  - Ціле (підстановкою  ),

в)  - Ціле (підстановкою  ).

Приклад. Показати, що в інтегралі  - Ціле і дорівнює 2. Показати, що підстановка  - Раціоналізує.

5. Інтеграли виду  зводяться до одного з трьох типів інтегралів:

а)  , Для якого раціоналізує підстановки ,

б)  , З підстановками ,

в)  , З підстановками .

Вправа. обчислити інтеграли .



 Інтегрування раціональних функцій від тригонометричних функцій. |  Неберущімся »інтеграли.

 Метод підведення під диференціал. |  Метод заміни змінної. |  Метод інтегрування частинами. |  Приклади. |  Інтегрування виразів, що містять квадратний тричлен. |  Інтегрування раціональних функцій. |  Розкладання раціонального дробу на елементарні. |  Способи обчислення коефіцієнтів при розкладанні раціонального дробу на елементарні. |  Інтегрування елементарних раціональних дробів чотирьох типів. |  Метод Остроградського. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати