На головну

Елементарні функції і їх графіки

  1.  Gt; Функції та методи інноваційного менеджменту> Прогнозування в інноваційному менеджменті
  2.  I. Обчислення границь функції
  3.  I. Диференціал функції.
  4.  I. Основні функції ВІДДІЛУ
  5.  II. Функції герундія в реченні
  6.  III Похідна функції
  7.  III. Причастя у функції спілок і прийменників
 1. Пряма пропорційність. якщо змінні y и x прямо пропорційні, То функціональна залежність між ними виражається рівнянням:y = k x,де k - Постійна величина ( коефіцієнт пропорційності ) .Графік прямий пропорційності - Пряма лінія, що проходить через початок координат і утворює з віссю X кут  , Тангенс якого дорівнює k : tan = k (Рис.8). Тому, коефіцієнт пропорційності називається також кутовим коефіцієнтом. На рис.8 показані три графіка для k = 1/3, k = 1 і k = -3.  
 2.  Лінійна функція. якщо змінні y и x пов'язані рівнянням 1-го ступеня:A x + B y = C , Де принаймні одне з чисел A або B не дорівнює нулю, то графіком цієї функціональної залежності є пряма лінія. якщо C = 0, то вона проходить через початок координат, в іншому випадку - ні. Графіки лінійних функцій для різних комбінацій A, B, C показані на рис.9.  
 3.  Зворотній пропорційність. якщо змінні y и xобратно пропорційні, То функціональна залежність між ними виражається рівнянням:y = k / x,де k - Постійна велічіна.Графік зворотної пропорційності - гіпербола (Рис.10). У цій кривій дві гілки. Гіперболи виходять при перетині кругового конуса площиною. Як показано на рис.10, твір координат точок гіперболи є величина постійна, в нашому прикладі дорівнює 1. У загальному випадку ця величина дорівнює k, Що випливає з рівняння гіперболи: xy = k. Основні характеристики і властивості гіперболи: - область визначення функції: x  0, область значень: y  0; - функція монотонна (спадна) при x < 0і при  x> 0, але немонотонна в цілому через точки розриву x = 0 (подумайте, чому?); - Функція необмежена, розривна в точці x = 0, непарна, неперіодичних; - нулів функція не має.
 4.  Квадратична функція. Це функція: y = ax 2 + bx + c, де a, b, c - Постійні, a 0. У найпростішому випадку: b = c = 0 і y = ax 2. Графік цієї функції квадратна парабола - крива, що проходить через початок координат (рис.11). Кожна парабола має вісь симетрії OY, яка називається віссю параболи. Крапка O перетину параболи з її віссю називається вершиною параболи. Графік функції y = ax 2 + bx + c - Теж квадратна парабола того ж виду, що й y = ax 2, Але її вершина лежить не на початку координат, а в точці з координатами: Форма і розташування квадратної параболи в системі координат повністю залежить від двох параметрів: коефіцієнта a при x2 и дискримінанту D = b2 - 4ac. Ці властивості випливають з аналізу коренів квадратного рівняння. Всі можливі різні випадки для квадратної параболи показані на рис.12.

Покажіть, будь ласка, квадратну параболу для випадку a > 0, D > 0.

Основні характеристики і властивості квадратної параболи:

- Область визначення функції: - < x <+  (Т.e. x R ), А область

значень: ... (Дайте відповідь, будь ласка, на це питання самі!);

- Функція в цілому не є монотонною, але справа або зліва від вершини

поводиться, як монотонна;

- Функція необмежена, усюди безперервна, парна при b = c = 0,

і неперіодичних;

- при D <0 не має нулів. (А що при D  0? ).

 5.  Статечна функція. Це функція: y = axn, де a, n - Постійні. при n = 1 отримуємо пряму пропорційність: y = ax; при n = 2 - квадратну параболу ; при n = -1 - зворотний пропорційність або гіперболу. Таким чином, ці функції - окремі випадки статечної функції. Ми знаємо, що нульова ступінь будь-якого числа, відмінного від нуля, дорівнює 1, Cледовательно, приn = 0 статечна функція перетворюється в постійну величину: y = a, Т.e. її графік - пряма лінія, паралельна осі Х, Виключаючи початок координат (поясніть, будь ласка, чому?). Всі ці випадки (при a = 1) показані на рис.13 ( n  0) і рис.14 ( n <0). Від'ємні значення x тут не розглядаються, так як тоді деякі функції:   якщо n - Цілі, статечні функції мають сенс і при x <0, але їх графіки мають різний вигляд залежно від того, чи є n парним числом або непарним. На рис.15 показані дві такі статечні функції: для n = 2 і n = 3. при n = 2 функція парна і її графік симетричний відносно осі Y. при n = 3 функція непарна і її графік симетричний відносно початку координат. функція y = x 3 називається кубічної параболою.На Рис.16 представлена ??функція  . Ця функція є оберненою до квадратної параболи y = x 2, Її графік виходить поворотом графіка квадратної параболи навколо бісектриси 1-го координатного кута. Це спосіб отримання графіка будь зворотного функції з графіка її вихідної функції. Ми бачимо за графіком, що це двозначна функція (про це говорить і знак ± перед квадратним коренем). Такі функції не вивчаються в елементарній математиці, тому в якості опції ми розглядаємо зазвичай одну з її гілок: верхню чи нижню.

 

 6.  Показова функція. функція y = ax, де a - Позитивне постійне число, називається показовою функцією. аргумент x приймає будь-які дійсні значення; як значення функції розглядаються тільки позитивні числа, Так як інакше ми маємо багатозначну функцію. Так, функція y = 81x має при x = 1/4 чотири різних значення: y = 3, y = -3, y = 3 i и y = -3 i (перевірте будь ласка !). Але ми розглядаємо як значення функції тільки y = 3. Графіки показовою функції для a = 2 і a = 1/2 представлені на рис.17. Вони проходять через точку (0, 1). при a = 1 ми маємо графік прямої лінії, паралельної осі Х, Т.e. функція перетворюється в постійну величину, рівну 1. При a > 1 показова функція зростає, a при 0 < a <1 - убуває. Основні характеристики і властивості показовою функції: - область визначення функції: - < x <+  (Т.e. x R ); Область значень: y > 0; - функція монотонна: зростає при a > 1 і спадає при 0 < a <1; - функція необмежена, усюди безперервна, неперіодичних; - нулів опція імеет.Прі будь-яких дійсних значеннях х і у справедливі равенствааxаy = аx + y; (Ab)x = axbx; (ax)y = аxyЦі формули називають основними властивостями степеней.Лекція 2
 7.  Логарифмічна функція. функція y = log ax, де a - Постійне позитивне число, не рівне 1, називається логарифмічною. Ця функція є оберненою до показової функції; її графік (рис.18) може бути отриманий поворотом графіка показовою функції навколо бісектриси 1-го координатного кута. Основні характеристики і властивості логарифмічної функції: - область визначення функції: x > 0, а область значень: - < y <+ (Т.e. y R ); - Це монотонна функція: вона зростає при a > 1 і спадає при 0 < a <1; - функція необмежена, усюди безперервна, неперіодичних; - у функції є один нуль: x = 1. Головне логарифмічна тотожність: Основні властивості логарифмів.1) log b = 1 , так як b 1 = B. b 2) log1 = 0, так як b 0= 1 . b3) Логарифм добутку дорівнює сумі логарифмів співмножників:log ( ab ) = Log a + log b.4) Логарифм приватного дорівнює різниці логарифмів діленого і дільника:log ( a / b ) = Log a - log b.5) Логарифм ступеня дорівнює добутку показника ступеня на логарифм її заснування: log ( b k ) = k · log b.Наслідком цієї властивості є наступне: логарифм кореня дорівнює логарифму подкоренного числа, діленому на ступінь кореня:   6) Якщо в підставі логарифма знаходиться ступінь, то величину, зворотну показником ступеня, можна винести за знак логарифма:   Два останніх властивості можна об'єднати в одне: 7) Формула модуля переходу (т.e. переходу від однієї підстави логарифма до іншого основи):  
 8.  Тригонометричні функції. При побудові тригонометричних функцій ми використовуємо Радіан міру вимірювання кутів. тоді функція y = sin x представляється графіком (рис.19). Ця крива називається синусоїдою. Графік функції y = cos x представлений на рис.20; це також синусоїда, отримана в результаті переміщення графіка y = sin x  уздовж осі Х вліво на  / 2. З цих графіків очевидні характеристики і властивості цих функцій: - область визначення: - < x <+  ; Область значень: -1 y  +1; - Ці функції періодичні: їх період 2  ; - Функції обмежені (| y |  1), усюди безперервні, що не монотонні, ноімеющіе так звані інтервали монотонності, Всередині яких оніведут себе, як монотонні функції (див. Графіки рис.19 і рис.20); - функції мають безліч нулів. графіки функцій y = tan x и y = cot x показані відповідно на рис.21 і рис.22 З графіків видно, що ці функції: періодичні (їх період  ), Необмежені, в цілому не монотонні, але мають інтервали монотонності (які?), Розривні (які точки розриву мають ці функції?). Область визначення і область значень цих функцій:
 9.  Зворотні тригонометричні функції. Визначення зворотних тригонометричних функцій і їх основні свойства.Определенія. arcsin x - Це кут, синус якого дорівнює x. Аналогічно визначаються функції arccos x, arctan x, arccot x, arcsec x, arccosec x. Ці функції є зворотними стосовно функцій sin x, cos x, tan x, cot x, sec x, cosec x, Тому вони називаються зворотними тригонометричними функціями. Всі зворотні тригонометричні функції є багатозначними функціями, Тобто кожному значенню аргументу відповідає безліч значень функції. Так, наприклад, кути 30 °, 150 °, 390 °, 510 °, 750 ° мають один і той же синус.головне значення arcsin x - Це його значення, яке знаходиться між -  / 2 і +  / 2 (- 90 ° і + 90 °), включаючи кордону: -  / 2  arcsin x +  / 2.головне значення arccos x - Це його значення, яке знаходиться між 0 і  (0 ° і + 180 °), включаючи кордону: 0  arccos x  .головне значення arctan x - Це його значення, яке знаходиться між -  / 2 і +  / 2 (- 90 ° і + 90 °) без кордонів: -  / 2 x <+  / 2.головне значення arccot x - Це його значення, яке знаходиться між 0 і  (0 ° і + 180 °) без кордонів: 0 x <  . Якщо позначити будь-яке з значень обернених тригонометричних функцій через Arcsin x, Arccos x, Arctan x, Arccot x і зберегти позначення: arcsin x, arcos x, arctan x, arccot x для їх головних значень, то зв'язок між ними виражається наступними співвідношеннями: де k - Будь-яке ціле число. при k = 0 ми маємо головні значення.

функції y = Arcsin x (Рис.23) і y = Arccos x (Рис.24) багатозначні, необмежені; їх область визначення і область значень відповідно: -1 x  +1 і - < y <+  . Оскільки ці функції багатозначні, не аналізовані в елементарної математики, як зворотних тригонометричних функцій розглядаються їх основні значення: y = arcsin x и y = arccos x; їх графіки виділені на рис.23 і рис.24 жирними лініями.

функції y = arcsin x и y = arccos x володіють наступними характеристиками і властивостями:

- У обох функцій одна і та ж область визначення: -1 x  +1;

їх області значень: -  / 2 y  / 2 для y = arcsin x  і 0 y  для y = arccos x;

- Функції обмежені, неперіодичні, безперервні і монотонні

( y = arcsin x - Зростаюча функція; y = arccos x - спадна);

- Кожна функція має по одному нулю ( x = 0 у функції y = arcsin x и

x = 1 у функції y = arccos x).

функції y = Arctan x (Рис.25) і y = Arccot x (Рис.26) - багатозначні, необмежені; їх область визначення: - x +  . Їх головні значення y = arctan x и y = arccot x розглядаються в якості зворотних тригонометричних функцій; їх графіки виділені на рис.25 і рис.26 жирними гілками.

функції y = arctan x и y = arccot x мають такі характеристики і властивості:

- У обох функцій одна і та ж область визначення: - x + ;

їх області значень: -  / 2 < y <  / 2 для y = arctan x і 0 < y <  для y = arccos x;

- Функції обмежені, неперіодичні, безперервні і монотонні

( y = arctan x - Зростаюча функція; y = arccot x - спадна);

- Тільки функція y = arctan x має єдиний нуль ( x = 0);

функція y = arccot x нулів не має.

10. Гіперболічні функції.



 Зворотній функція |  Визначення гіперболічних функцій.

 Аксіоми дійсних чисел. |  Відрізки. Поняття околиці. |  Визначення. |  Функція. Монотонність. Обмеженість. |  Зворотні гіперболічні функції. |  Приклади неелементарних функцій |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати