Головна

Інтегральне числення.

  1.  IV. інтегральне числення
  2.  Глава II. інтегральне Досконалість
  3.  ГЛАВА III. інтегральне числення
  4.  ГЛАВА III. Інтегрального числення.
  5.  Завдання 2. Диференціальне числення.
  6.  Завдання 3. Інтегральне числення.
  7.  Інтегральне числення функцій однієї змінної.

Невизначений інтеграл.

Визначення. Таблиця інтегралів.

Одним із завдань попередній частині курсу було знаходження похідної функції f (x) -нової функції f '(x). сформулюємо зворотний задачу - знайти функцію F (x), Похідна якої - задана функція f (x).

функція F (x) називається первообразной функції f (x) на відрізку [A, b], Якщо у всіх точках цього відрізка виконується рівність F '(x) = f (x).

Первісна визначається з точністю до довільної сталої: [F (x) + C] '= f (x). якщо F (x) - Первісна функції f (x), То функціями видуF (x) + C вичерпуються всі первісні функції f (x).

якщо функція F (х) - Первісна функції f (x), То вираз F (x) + C називається невизначеним інтегралом від функції f (x) і позначається

o f (x) dx = F (x) + C (5.1),

де . f (x) - Підінтегральна функція, f (x) dx - Підінтегральний вираз, o - Знак інтеграла.

Невизначений інтеграл являє собою сімейство функцій, Геометрично - сімейство кривих, кожна з яких виходить зрушенням однієї з кривих уздовж осі Оу.

якщо функція f (x) неперервна на відрізку [A, b], То для цієї функції існує первісна (і невизначений інтеграл). (Теорема існування).

Знаходження первісної функції f (x) називається інтеграцією її.

Відзначимо, що якщо похідна елементарної функції також елементарна функція, то первісна елементарної функції може виявитися і Неелементарні функцією.

З визначення первісної слід:

1. Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральною функції, т. Е. Якщо F '(x) = f (x), То і (Of (x) dx) '= f (x) (5.2).

2. Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює подинтегральную висловом, т. Е. d (of (x) dx) = f (x) dx (5.3).

3. Невизначений інтеграл від диференціала деякої функції дорівнює цій функції плюс довільна постійна oF (x) dx = F (x) + C(5.4).

Нескладно показати, що справедливі і наступні властивості:

4. Невизначений інтеграл від алгебраїчної суми декількох функцій дорівнює сумі інтегралів від них: o [f1(X) + f2(X)] dx = of1(X) dx + of2(X) dx(5.5).

5. Постійний множник можна виносити за знак інтеграла, т. Е. Якщо а = const, то oaf (x) dx = aof (x) dx (5.6).

6. Якщо of (x) dx = F (x) + C и u = j (x), то of (u) du = F (u) + C (5.7).

Використовуючи таблицю похідних і співвідношення (5.2) - (5.7) нескладно отримати таблицю інтегралів від найпростіших функцій.

 при a ? -1 (5.8)  (5.15)
 (5.9)  (5.16)
 (5.10)  (5.16 ')
 (5.11)  (5.17)
 (5.12)  (5.17 ')
 (5.13)  (5.18)
 (5.14)  (5.18 ')

Наведемо ще дві формули, справедливість яких можна перевірити диференціюванням.

 (5.19)  (5.20)

Інтегрування в випадках, коли вдається відразу скористатися табличними інтегралами, називають безпосереднім. Найчастіше подинтегральную функцію доводиться перетворювати, щоб звести вихідний інтеграл до одного або декількох табличних. Один з ефективних прийомів - метод підстановки: В інтегралі виду of (x) dxроблять заміну змінної, поклавши x = j (t)(j (t) - Безперервна функція з неперервною похідною, що має зворотну функцію). тоді dx = j '(t) dt и of (x) dx = of (j (t)) j '(t) dt. Мається на увазі, що після інтегрування в правій частині рівності замість t буде підставлена ??його вираз через х (Повернення до вихідної змінної). функцію j (t) слід вибирати так, щоб обчислення інтеграла в правій частині було максимально простим.

Пояснимо на прикладі:  . Покладемо х = аt, звідки dx = аdt, t = x / a .. Вихідний інтеграл набуде вигляду =  = [См (5.17)] = =  Т. о.  (5.17 ').

Іноді зручніше застосовувати заміну змінної виду t = y (x). обчислимо

 [Cosx = t; sinxdx = -dt] = .

Інтегрування по частинах.якщо u и v диференціюються від х, то d (uv) = vdu + udv звідки, інтегруючи, отримаємо

uv = ovdu + oudvиoudv = uv - ovdu (5.22).

Це співвідношення називають формулою інтегрування частинами.

Підінтегральний вираз "розбивають на частини" - u и dv, Підбираючи їх так, щоб ovdu був табличним або простішим, ніж вихідний.

приклад: oхехdx =?покладемо u = x і exdx = dv, тоді du = dx і v = ex звідки oхехdx = хех - oехdx = хех - ех + C.

Відзначимо, що при знаходженні v по dv довільну постійну без втрати спільності вважають рівною нулю.

Інтегрування раціональних функції.Будь-яку раціональну функцію можна представити у вигляді раціонального дробу - відносини двох многочленів (без втрати спільності вважаємо, що вони не мають спільних коренів).

Якщо ступінь чисельника нижче ступеня знаменника дріб називають правильної, в іншому випадку - неправильної. неправильну дріб (M ? n), Розділивши чисельник на знаменник, можна представити у вигляді суми многочлена та правильного дробу .

Раціональні дроби виду: ; ; ; , де k - Ціле позитивне число ? 2, називаються найпростішими дробами 1, 2, 3 и 4 типів. Будь-яку правильну раціональну дріб можна представити у вигляді суми найпростіших дробів, інтеграли від яких розглянуті нижче.

1.  (5.23)

2.  (5.24)

3. Застосуємо наступний спосіб. Знайдемо диференціал знаменника d (x2 + Nx + q) = (2x + n) dx і представимо чисельник у вигляді суми , тоді

(5.25)

Інтеграл від найпростішої дробу четвертого типу легко обчислюється за допомогою тригонометричної підстановки і буде розглянуто нижче.

Розкладання раціонального дробу на найпростіші можна здійснити спираючись на наступні теореми (наводяться без доказів).

 1. Якщо х = а є корінь знаменника кратності к, Т. Е. f (x) = (х - а)кf1(X)де f1(А)? 0, То правильну дріб можна представити у вигляді суми двох інших правильних дробів , де А - Постійна, відмінна від нуля, а F1(X) многочлен, ступінь якого нижче ступеня знаменника (Х - а)к-1f1(X).

1. якщо f (x) = (x2 + Nx + q)mj1(X), Де многочлен j1(Х) не ділиться на x2 + Nx + q, То правильну раціональну дріб можна представити у вигляді суми двох інших правильних дробів наступним чином: , де Ф (х) - Многочлен, ступінь якого нижче ступеня многочлена (x2 + Nx + q)m-1j (x). Застосовуючи до дробу ці теореми, можна виділити послідовно всі найпростіші дроби, відповідні коріння знаменника f (x). Т. е. Якщо f (x) = (х - а)a(Х - b)b ... (X2 + Nx + q)m... (X2 + Lx + s)n , То дріб представимо у вигляді:

коефіцієнти А, А1, ..., В, В1... Визначають виходячи з того, що остання рівність є тотожність. Привівши дроби до спільного знаменника, одержимо тотожні многочлени в чисельнику зліва і справа. Прирівнюючи коефіцієнти при однакових ступенях х, Отримаємо систему рівнянь щодо невідомих коефіцієнтів А, А1, ..., В, В1, ...

Приклад: використовуючи запропонований спосіб розкладемо на найпростіші дроби  . Привівши складові до спільного знаменника і прирівнявши числители, отримаємо х2 + 2 = А (х - 2) + А1(Х + 1) (х -2)

+ А2(Х + 1)2(Х -2) + В (х +1)3 або х2 + 2 = (А2 + В) х3 + (А1 + 3В) х2 + (А - А1 - 3А2 +

+ 3В) х + (2А - 2А1 - 2А2 + В). Прирівнюючи коефіцієнти при х3, х2, Х, і х0 (Вільний член) отримаємо систему

 вирішуючи яку знайдемо: А = -1, А1 = 1/3, А2 = - 2/9, В = 2/9

В результаті отримаємо: .

Щоб обчислити інтеграл від раціонального дробу, потрібно, якщо дріб неправильна, уявити її у вигляді суми многочлена та правильного дробу, а дріб розкласти на суму найпростіших.

приклад:

 Екстремум функції двох незалежних змінних. |  Інтегрування тригонометричних функцій.


 Москва 2004 4084 |  Функція. |  Межа. Безперервність функції. |  Основні теореми про границі. |  Похідна. |  Диференціал. |  Теореми про повну загальну середню. Правило Лопіталя. Формула Тейлора. |  Дослідження функцій за допомогою похідних. |  Основні визначення. Приватні похідні. Диференціали. |  Скалярний поле. Похідна за напрямком. Градієнт. |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати