Головна |
Невизначений інтеграл.
Визначення. Таблиця інтегралів.
Одним із завдань попередній частині курсу було знаходження похідної функції f (x) -нової функції f '(x). сформулюємо зворотний задачу - знайти функцію F (x), Похідна якої - задана функція f (x).
функція F (x) називається первообразной функції f (x) на відрізку [A, b], Якщо у всіх точках цього відрізка виконується рівність F '(x) = f (x).
Первісна визначається з точністю до довільної сталої: [F (x) + C] '= f (x). якщо F (x) - Первісна функції f (x), То функціями видуF (x) + C вичерпуються всі первісні функції f (x).
якщо функція F (х) - Первісна функції f (x), То вираз F (x) + C називається невизначеним інтегралом від функції f (x) і позначається
o f (x) dx = F (x) + C (5.1),
де . f (x) - Підінтегральна функція, f (x) dx - Підінтегральний вираз, o - Знак інтеграла.
Невизначений інтеграл являє собою сімейство функцій, Геометрично - сімейство кривих, кожна з яких виходить зрушенням однієї з кривих уздовж осі Оу.
якщо функція f (x) неперервна на відрізку [A, b], То для цієї функції існує первісна (і невизначений інтеграл). (Теорема існування).
Знаходження первісної функції f (x) називається інтеграцією її.
Відзначимо, що якщо похідна елементарної функції також елементарна функція, то первісна елементарної функції може виявитися і Неелементарні функцією.
З визначення первісної слід:
1. Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральною функції, т. Е. Якщо F '(x) = f (x), То і (Of (x) dx) '= f (x) (5.2).
2. Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює подинтегральную висловом, т. Е. d (of (x) dx) = f (x) dx (5.3).
3. Невизначений інтеграл від диференціала деякої функції дорівнює цій функції плюс довільна постійна oF (x) dx = F (x) + C(5.4).
Нескладно показати, що справедливі і наступні властивості:
4. Невизначений інтеграл від алгебраїчної суми декількох функцій дорівнює сумі інтегралів від них: o [f1(X) + f2(X)] dx = of1(X) dx + of2(X) dx(5.5).
5. Постійний множник можна виносити за знак інтеграла, т. Е. Якщо а = const, то oaf (x) dx = aof (x) dx (5.6).
6. Якщо of (x) dx = F (x) + C и u = j (x), то of (u) du = F (u) + C (5.7).
Використовуючи таблицю похідних і співвідношення (5.2) - (5.7) нескладно отримати таблицю інтегралів від найпростіших функцій.
при a ? -1 (5.8) | (5.15) |
(5.9) | (5.16) |
(5.10) | (5.16 ') |
(5.11) | (5.17) |
(5.12) | (5.17 ') |
(5.13) | (5.18) |
(5.14) | (5.18 ') |
Наведемо ще дві формули, справедливість яких можна перевірити диференціюванням.
(5.19) (5.20)
Інтегрування в випадках, коли вдається відразу скористатися табличними інтегралами, називають безпосереднім. Найчастіше подинтегральную функцію доводиться перетворювати, щоб звести вихідний інтеграл до одного або декількох табличних. Один з ефективних прийомів - метод підстановки: В інтегралі виду of (x) dxроблять заміну змінної, поклавши x = j (t)(j (t) - Безперервна функція з неперервною похідною, що має зворотну функцію). тоді dx = j '(t) dt и of (x) dx = of (j (t)) j '(t) dt. Мається на увазі, що після інтегрування в правій частині рівності замість t буде підставлена ??його вираз через х (Повернення до вихідної змінної). функцію j (t) слід вибирати так, щоб обчислення інтеграла в правій частині було максимально простим.
Пояснимо на прикладі: . Покладемо х = аt, звідки dx = аdt, t = x / a .. Вихідний інтеграл набуде вигляду = = [См (5.17)] = = Т. о. (5.17 ').
Іноді зручніше застосовувати заміну змінної виду t = y (x). обчислимо
[Cosx = t; sinxdx = -dt] = .
Інтегрування по частинах.якщо u и v диференціюються від х, то d (uv) = vdu + udv звідки, інтегруючи, отримаємо
uv = ovdu + oudvиoudv = uv - ovdu (5.22).
Це співвідношення називають формулою інтегрування частинами.
Підінтегральний вираз "розбивають на частини" - u и dv, Підбираючи їх так, щоб ovdu був табличним або простішим, ніж вихідний.
приклад: oхехdx =?покладемо u = x і exdx = dv, тоді du = dx і v = ex звідки oхехdx = хех - oехdx = хех - ех + C.
Відзначимо, що при знаходженні v по dv довільну постійну без втрати спільності вважають рівною нулю.
Інтегрування раціональних функції.Будь-яку раціональну функцію можна представити у вигляді раціонального дробу - відносини двох многочленів (без втрати спільності вважаємо, що вони не мають спільних коренів).
Якщо ступінь чисельника нижче ступеня знаменника дріб називають правильної, в іншому випадку - неправильної. неправильну дріб (M ? n), Розділивши чисельник на знаменник, можна представити у вигляді суми многочлена та правильного дробу .
Раціональні дроби виду: ; ; ; , де k - Ціле позитивне число ? 2, називаються найпростішими дробами 1, 2, 3 и 4 типів. Будь-яку правильну раціональну дріб можна представити у вигляді суми найпростіших дробів, інтеграли від яких розглянуті нижче.
1. (5.23)
2. (5.24)
3. Застосуємо наступний спосіб. Знайдемо диференціал знаменника d (x2 + Nx + q) = (2x + n) dx і представимо чисельник у вигляді суми , тоді
(5.25)
Інтеграл від найпростішої дробу четвертого типу легко обчислюється за допомогою тригонометричної підстановки і буде розглянуто нижче.
Розкладання раціонального дробу на найпростіші можна здійснити спираючись на наступні теореми (наводяться без доказів).
1. Якщо х = а є корінь знаменника кратності к, Т. Е. f (x) = (х - а)кf1(X)де f1(А)? 0, То правильну дріб можна представити у вигляді суми двох інших правильних дробів , де А - Постійна, відмінна від нуля, а F1(X) многочлен, ступінь якого нижче ступеня знаменника (Х - а)к-1f1(X).
1. якщо f (x) = (x2 + Nx + q)mj1(X), Де многочлен j1(Х) не ділиться на x2 + Nx + q, То правильну раціональну дріб можна представити у вигляді суми двох інших правильних дробів наступним чином: , де Ф (х) - Многочлен, ступінь якого нижче ступеня многочлена (x2 + Nx + q)m-1j (x). Застосовуючи до дробу ці теореми, можна виділити послідовно всі найпростіші дроби, відповідні коріння знаменника f (x). Т. е. Якщо f (x) = (х - а)a(Х - b)b ... (X2 + Nx + q)m... (X2 + Lx + s)n , То дріб представимо у вигляді:
коефіцієнти А, А1, ..., В, В1... Визначають виходячи з того, що остання рівність є тотожність. Привівши дроби до спільного знаменника, одержимо тотожні многочлени в чисельнику зліва і справа. Прирівнюючи коефіцієнти при однакових ступенях х, Отримаємо систему рівнянь щодо невідомих коефіцієнтів А, А1, ..., В, В1, ...
Приклад: використовуючи запропонований спосіб розкладемо на найпростіші дроби . Привівши складові до спільного знаменника і прирівнявши числители, отримаємо х2 + 2 = А (х - 2) + А1(Х + 1) (х -2)
+ А2(Х + 1)2(Х -2) + В (х +1)3 або х2 + 2 = (А2 + В) х3 + (А1 + 3В) х2 + (А - А1 - 3А2 +
+ 3В) х + (2А - 2А1 - 2А2 + В). Прирівнюючи коефіцієнти при х3, х2, Х, і х0 (Вільний член) отримаємо систему
вирішуючи яку знайдемо: А = -1, А1 = 1/3, А2 = - 2/9, В = 2/9
В результаті отримаємо: .
Щоб обчислити інтеграл від раціонального дробу, потрібно, якщо дріб неправильна, уявити її у вигляді суми многочлена та правильного дробу, а дріб розкласти на суму найпростіших.
приклад:
Екстремум функції двох незалежних змінних. | Інтегрування тригонометричних функцій.
Москва 2004 4084 | Функція. | Межа. Безперервність функції. | Основні теореми про границі. | Похідна. | Диференціал. | Теореми про повну загальну середню. Правило Лопіталя. Формула Тейлора. | Дослідження функцій за допомогою похідних. | Основні визначення. Приватні похідні. Диференціали. | Скалярний поле. Похідна за напрямком. Градієнт. |