Головна

Метод найменших квадратів.

  1.  A) Історичний метод є принцип відтворення об'єкта у всіх деталях його історичного розвитку.
  2.  A) Метод Квайна (оптимальний для функцій з великою кількістю змінних).
  3.  Amp; 41. Встановлення батьківства і материнства при застосуванні штучних методів репродукції людини.
  4.  CТРОЕНІЕ атома. МЕТОДИКА РІШЕННЯ ТИПОВИХ ЗАВДАНЬ
  5.  Gt; Функції та методи інноваційного менеджменту Прогнозування в інноваційному менеджменті
  6.  I метод штучного базису
  7.  I. Два методу підходу до робітничих мас

Цей метод має на ту ж мету, що і описані вище три методи: усунути вплив тимчасово діючих факторів і виявити тенденцію розвитку, викликану тільки дією довготривалих причин. Тенденцію розвитку найкраще можна висловити лінією, найбільш близькою до фактичних даних, це досягається методом найменших квадратів, званим так тому, що сума зведених в квадрат різниць фактичних чисел - Y і теоретично очікуваних - Yt - найменш велика, т. Е. A (Y -Yt)2®0. Цій умові в кожному конкретному випадку відповідає тільки одна лінія, тому метод найменших квадратів можна вважати найбільш об'єктивним способом виявлення тенденції розвитку та рекомендувати його для широкого застосування.

Для того, щоб застосувати метод найменших квадратів, слід виконати наступні етапи роботи.

Спочатку, після відповідної оцінки характеру розвитку і змін досліджуваних явищ, виробляють вибір відповідного виду і характеру ліній, найбільш відповідної тенденції розвитку. Наприклад, якщо тенденція розвитку прямолінійна, то найточніше її уявити за допомогою прямої лінії, рівняння якої: Yt = a + bx. Якщо тенденція криволинейна, спочатку висхідна, а потім спадна, то її можна представити у вигляді параболи другого ступеня з рівнянням: Yt = a + bx + cx2.

На наступному етапі для отримання числових значень параметрів a, b, c, d і т. Д. Складають систему рівнянь. При вирішенні системи рівнянь отримують конкретні числові значення параметрів. Якщо в рівнянні лінії, відповідної за своїм характером тенденції розвитку, є два невідомих параметра, застосовується система двох рівнянь. Наприклад, для прямої Yt = a + bx застосовується система двох рівнянь, для параболи другого ступеня система трьох рівнянь і т. Д.

Залежно від того, скільки параметрів має лінія, що виражає основну тенденцію розвитку, стільки рівнянь потрібно вирішити.

На третьому етапі роботи після рішення системи рівнянь і отримання конкретних числових значень параметрів, що визначають місце відповідної лінії в системі координат, шляхом ряду послідовних підстановок в рівняння отриманих величин X (умовно прийнята нумерація періодів) отримують теоретично очікувані величини Yt. Тлумачення результатів при цьому аналогічно описаному при інших способах вирівнювання динамічних рядів. Різниця фактичних спостережуваних величин - Y і теоретично очікуваних - Yt вказує кількісно вплив тимчасово діючих - випадкових причин.

Давайте техніку застосування методу найменших квадратів при використанні різних видів ліній, які виявлятимуть тенденцію розвитку, проілюструємо такими прикладами.

Прямолінійний вирівнювання - нескорочені метод.Про багатьох явищах, які є об'єктом вивчення науки можна сказати, що зміни в них з плином часу протікають прямолінійно, т. Е. Їх розвиток можна представити у вигляді прямої, рівняння якої: Yt = a + bx.

Наприклад, розглянутий нами приклад по праву можна віднести до тих, що сходять прямолінійним. Це дозволяє висловити тенденцію розвитку популяції у вигляді прямої. Система рівнянь за допомогою яких визначаються параметри, наступна:

SY = Na + bSX

SXY = aSX + bSX2

де Y - фактичні числові величини досліджуваного явища за кожен з періодів.

X - умовна нумерація періодів. Ця нумерація зазвичай починається з нуля і йде в природному порядку чисел - 0,1,2,3,4, і т. Д.

N - чисельність досліджуваних періодів.

Використовуючи наведені раніше дані, отримуємо наступне.

 рік Y X  XY X2  Yt = a + bx
 105.2
 100.4
 95.6
 90.8
 81.2
 76.4
 71.6
 66.8
 

Для того, щоб знайти параметри a і b, необхідно скласти систему двох рівнянь.

892 = 10a + 45b

3615 = 45a + 285b

Вирішуючи ці рівняння отримуємо a = 110, b = -4.8

Yt = a + bx = 110-4.8x

Заміщаючи x в цьому рівнянні відповідними числовими величинами, визначальними порядковий номер досліджуваних періодів, отримуємо вирівняні величини - Y, ті, які були б отримані, якби на популяцію діяли тільки довготривалі чинники.

Параметр b позначає зниження або збільшення теоретично очікуваних величин протягом одного з періодів і називається коефіцієнтом регресії. Найменування це дав Гальтон, який вивчав кореляцію зростання батьків і їх потомства. Так як Гальтон виявив спадну тенденцію в зміні зростання високих батьків і їх потомства (коефіцієнт b з негативним знаком), то назвав він його коефіцієнтом регресії. Це найменування залишається за коефіцієнтом b і тоді, коли він має позитивне значення.

Прямолінійний вирівнювання - скорочений спосіб - непарна кількість періодів. У нашому прикладі, ілюстровані застосування методу найменших квадратів, були використані абсолютні числа. Набагато більш пізнавальне значення мають похідні статистичні показники - відносні величини, середні величини і т. П. Наприклад, якщо ви вивчаєте дію якихось речовин на організм, то на абсолютні величини кількості, припустимо померлих тварин, впливає кількість тварин, підданих впливу. Тому, в таких випадках зручніше користуватися відносними величинами, вираженими у відсотках.

Давайте розберемо застосування скороченого способу вирівнювання динамічних рядів. Цей спосіб застосовується тоді, коли ряд має непарну кількість періодів. Особливість його в тому, що за початковий рік X = 0 приймається не перший рік, а центральний. Нумерація інших років йде в природному порядку чисел 1, 2, 3 і т. Д., Але номера попередніх років до центрального мають негативний знак, а після нього позитивний. Внаслідок цього спрощується система рівнянь:

SY = Na

SXY = bSX2

звідси параметри a і b приймають значення (див. за формулою), що звільняє від необхідності вирішувати систему рівнянь.

Є такі дані про захворюваність на грип за 1986-1994г.

 рік Y X  XY X2  Yt
 4,7  -4  -18,8  8,22
 29,4  -3  -88,2  36,15
 -2  -122  64,08
 79,1  -1  -79,1  92,01
 152,1  119,94
 161,3  161,3  147,87
 166,5  175,81
 211,8  635,5  203,74
 213,6  854,4  231,68
   1079,5  1676,1  1079,5

a = 119.94 b = 27.93

Прямолінійний вирівнювання - скорочений спосіб - парне число періодів.Наведений спосіб найменших квадратів при парному числі періодів зустрічає утруднення через відсутність центрального періоду, який можна було б прийняти за початковий. В цьому випадку початковим моментом вважають той, який знаходиться між двома центральними, так як дані динамічного ряду відносяться до середини періоду. Якщо ми маємо інтервали в роках, то для того, щоб працювати з цілими числами ці інтервали переводять в піврічні.

Не завжди можна уявити тенденцію розвитку явищ за допомогою прямої, так як тенденція розвитку в ряді випадків криволинейна і пряма лінія не підходить для її характеристики. У таких випадках користуються різними кривими: параболами, гіперболами, експонентними і т. Д.

Парабола - одна з елементарних кривих. Параболою першого ступеня є пряма лінія. Парабола другого ступеня має таке рівняння: Yt = a + bx + cx2

а параболи третього ступеня: Yt = a + bx + cx2+ dx3.

Для вирішення цих рівнянь треба знайти значення a, b, c, d і т. Д. Для цього треба вирішити відповідну систему рівнянь:

SY = Na + bSX + cSX2

SXY = aSX + bSX2+ cSX3

SX2Y = aSX2+ bSX3+ cSX4

Техніка вирішення подібних рівнянь і побудови графіка принципово нічим не відрізняється від розібраних раніше прикладів. Аналогічно можна застосовувати скорочені способи для парного кількості періодів і непарної кількості періодів.

У випадках, коли кількість інтервалів велике можна вдаватися до згладжування за трьома, п'яти, семи, дев'яти і т. Д. Точкам.

Наприклад, згладжування по 5 точкам виглядає так:

Yt = Xn-2+ 2Xn-1+ 3Xn+ 2Xn + 1+ Xn + 2

по 9 точках:

Yt = Xn-4+ 2Xn-3+ 3Xn-2+ 4Xn-1+ 5Xn+ 4Xn + 1+ 3Xn + 2+ 2Xn + 3+ Xn + 4

Слід зазначити, що даний метод можна застосовувати не знаючи які чинники роблять тривалий, а які тимчасове вплив. Однак, можна помітити, що при такому способі згладжування губляться початкові і кінцеві періоди.

 тенденції розвитку |  Аналіз циклічних змін


 Вимірювання зв'язку номінальних ознак |  Відносний ризик. ставлення шансів |  парної кореляції |  приватна кореляція |  ФАКТОРНИЙ АНАЛІЗ |  регресійний аналіз |  Метод найменших квадратів |  Застосування парного лінійного рівняння регресії |  І їх застосування в аналізі і прогнозі. |  Логістична регресія |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати