На головну

Парадокси теорії множин

  1.  II. Розвиток теорії лідерства (керівництва) в організації.
  2.  II. РІЗНІ ТИПИ ТЕОРІЇ
  3.  II. ТЕОРІЇ Про НАЦІОНАЛЬНОМУ ДОХІД
  4.  IV Іграмуль, Безліч
  5.  Quot; Магія в теорії і на практиці "в європейській традиції
  6.  Quot; Магія в теорії і на практиці "в творчості Кроулі
  7.  V. ТЕОРІЇ Богословська РЕДАГУВАННЯ

слово парадокс - Грецького походження, дослівно перекладається як несподіваний. Воно зазвичай вживається, коли зустрічаються з несподіваним твердженням, міркуванням або висновком, таким, що суперечить здоровому глузду. Парадокс - це міркування, що доводить як істинність, так і хибність деякого судження. Суть всіх парадоксів обумовлена ??особливостями всіх природних мов і логікою нашого мислення. До таких парадоксів відноситься парадокс «Брехун», що вважається королем парадоксів. Інші парадокси явно пов'язані з канторовской поняттям безлічі. Найвідомішим з них є парадокс Б. Рассела, який він виявив в 1902 році всього лише через п'ять років після офіційного визнання теорії множин на Першому міжнародному конгресі математиків, що проходив в Парижі.

Парадокс Рассела в первісної формулюванні пов'язаний з поняттям нормального (іноді говорять звичайного або ординарного) безлічі. Нагадаємо, що нормальним є безліч, яке не містить себе в якості свого елемента. Ненормальним (або екстраординарним) є безлічі, які містять себе в якості елемента.

Більшість розглянутих множин відносяться до типу нормальних. Однак в природі зустрічаються і нормальні безлічі. Прикладом ненормального безлічі може служити безліч всіх абстрактних понять. Дійсно, поняття безлічі саме є абстрактним і тому має належати безлічі абстрактних понять.

Наведемо ще один приклад ненормального безлічі. Нехай ми маємо справу з безліччю простих речень. Ми хочемо оголосити про це пропозицією, наприклад, таким: «Тут записано безліч всіх простих речень». Для скорочення запису це просте речення позначимо літерою А, А всі інші прості речення відповідними малими літерами з індексами. Тоді, так як сама пропозиція А просте, то воно повинно входити в безліч всіх простих речень. Таким чином, матимемо

.

Питається, чи є записане безліч нормальним? Відповідно до визначення нормального безлічі дане безліч не є нормальним, оскільки воно містить саму себе в якості елемента, тобто  Цим самим порушено умова, що безліч А має бути просте. З іншого боку, якщо ми його не вкажемо в безлічі А, що відповідає  то ми не перерахуємо всі прості речення і теж порушимо умова. Таким чином, виходить, що безліч А ми повинні включати в безліч А і одночасно не повинні включати. А це і є протиріччя.

Парадокс Рассела чудовий своєю спільністю. На його основі можна виявити велику кількість приватних парадоксів. Найбільш відомими з них є: парадокс цирульника, каталог всіх нормальних каталогів, мер міста і ін.

Парадокс цирульника, який запропонував, до речі, сам Рассел в якості практичного варіанту загального випадку, полягає в наступному. Рада одного села визначив обов'язки цирульник наступним чином: голити всіх чоловіків села, що не голяться самі. Чи повинен він голити сам себе? Якщо так, то він буде ставитися до тих чоловіків, які голяться самі. Але тоді він порушить указ ради, за яким він повинен голити тільки тих, хто сам не голиться. Якщо немає, то він буде ставитися до тих чоловіків, хто не голиться сам, і, значить, він повинен голити себе.

Таким чином, цирульник повинен себе голити і в той же час не повинен себе голити. Але так бути не може. Це і є явне протиріччя.

Подібним з парадоксом цирульника є парадокс мер міста. Кожен мер міста живе або в своєму місті, або поза ним. Був виданий указ про виділення одного спеціального міста, де б жили мери, які не живуть в своєму місті. Питання, де повинен жити мер цього спеціального міста? Якщо він хоче жити в своєму місті, то він не може цього зробити, так як там можуть жити тільки мери, які не живуть в своєму місті. Якщо він не хоче жити в своєму місті, то, як і всі мери, які не живуть в своїх містах, він повинен жити у відведеному місті, тобто У своєму. З наведених міркувань випливає, що він не може жити ні в своєму місті, ні поза ним.

парадокс каталог всіх нормальних каталогів виходить так. Якась бібліотека вирішила скласти бібліографічний каталог, в який входили б всі ті і тільки ті каталоги, які є нормальними, тобто не містять посилання на себе. Питається, де повинен бути згаданий складений каталог? Якщо він буде згаданий в складеному каталозі, тобто в самому собі, то складений каталог виявиться ненормальним. А за умовою цього не повинно бути. Якщо ж складений каталог НЕ буде згаданий, то цей складений нормальний каталог виявиться ніде не зафіксованих, хоча за умовою повинні бути згадані всі нормальні каталоги.

З описаними ситуаціями, аналогічними наведеним парадоксів, в повсякденному житті ми зустрічаємося досить часто. Так в кінці або на початку будь-якої книги наводиться її зміст або зміст, де вказані глави, параграфи, пункти із зазначенням тієї сторінки, з якої починається відповідна глава чи параграф. Питається, де вказувати номер сторінки, з якої починається зміст? Вона, як правило, і не вказується.

1. Аналогічна ситуація виникає в установах, коли характеристики підлеглим підписує вище стоїть начальник. А хто повинен підписувати характеристику цього начальнику? Начальник, який стоїть ще вище? А цього останнього начальнику? І так можна дійти до президента. Але хто підписує президенту? Сам собі?

Знання про існування парадоксів в теорії множин спонукає дослідників знаходити способи їх усунення. Такі способи існують, що особливо важливо для побудови комп'ютерних систем штучного інтелекту, де теорія множин і викладається далі математична логіка знаходять широке застосування.

Питання для самоконтролю

1.Дайте визначення безлічі по Кантору. Визначте кінцеве і нескінченне, рахункове і незліченну безлічі.

2.Які існують два основних способи завдання множин? Наведіть приклади завдання множин.

3.Поясніть поняття підмножина, як символічно записують відношення між множинами?

4.Якими властивостями може володіти відношення включення?

5.Які підмножини безлічі називаються невласними?

6.Що таке безліч-ступінь і чому дорівнює його потужність?

7.У чому полягає відмінність між max и sup, min и inf ?

8.Наведіть символічну запис операції об'єднання множин і дайте її інтерпретацію за допомогою кіл Ейлера.

9.Наведіть символічну запис операції перетину множин і дайте її інтерпретацію за допомогою кіл Ейлера.

10.Наведіть символічну запис операції віднімання множин і дайте її інтерпретацію за допомогою кіл Ейлера.

11.Наведіть символічну запис операції доповнення множин і дайте її інтерпретацію за допомогою кіл Ейлера.

12. Що таке універсальне безліч і дайте його інтерпретацію за допомогою кіл Ейлера.

13. Наведіть символічну запис симетричної різниці двох множин і дайте її інтерпретацію за допомогою кіл Ейлера.

14. Як визначається сума двох множин, дайте її геометричну інтерпретацію.

15. Наведіть формальні записи коммутативности, асоціативності і дистрибутивности множин.

16. Наведіть формальні записи операцій об'єднання і перетину для одного безлічі з порожнім і універсальним множинами.

17. Наведіть формальні записи ідемпотентності множин, законів де Моргана і поглинання.

18. Поясніть сутність відносин на множинах.

19. Що таке кортеж, декартовій твір?

20. Дайте визначення відносини і розкрийте його змістовний сенс.

21. Що таке область визначення, значень і графік відносини?

22. Як формально записується зворотне відношення і в чому його сенс?

23. Наведіть формальну запис операцій об'єднання, перетину, різниці і інверсії відносин. Наведіть приклади.

24.Наведіть формальну запис операцій композиції і звуження відносин. Наведіть приклади.

25.Наведіть основні властивості відносин і відповідні приклади.

26.Охарактеризуйте поняття функції як відносини на множинах.

27. Дайте визначення ін'єкційних, сюр'ектівного і биективное відображення. Наведіть приклади.

28. Дайте визначення відношенню еквівалентності. Наведіть приклади еквівалентних і нееквівалентний відносин.

29. Поясніть поняття відносин часткового і строгого порядку.

30. У чому суть парадоксів теорії множин. Наведіть який-небудь приклад парадоксу і поясніть його.

 



 вправи |  Поняття про просте і складне висловлюванні

 Безліч-ступінь |  Поняття про верхній і нижній гранях множин |  Операції над множинами. |  Основні властивості операцій над множинами |  Відносини на множинах |  Операції над відносинами |  Основні властивості відносин |  Функції як відносини на множинах |  відносини еквівалентності |  відносини порядку |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати