На головну

Поняття про верхній і нижній гранях множин

  1.  A. Поняття про корреляционном аналізі
  2.  Amp; 1. Соціологічне та правове поняття сім'ї. Склад сім'ї з питань сімейного права.
  3.  Amp; 16. Поняття і правова природа шлюбу.
  4.  Amp; 19. Поняття недійсності шлюбу. Підстави визнання шлюбу недійсним.
  5.  Amp; 32. Спільна власність подружжя: поняття, об'єкти. Володіння, користування, розпорядження.
  6.  B. Поняття про регресійного аналізу
  7.  Cent; Поняття випадкової величини

При розгляді числових множин часто виникає необхідність встановлення їхніх граничних значень. Якщо безліч задано перерахуванням його елементів, то це робиться без особливих зусиль шляхом виділення його мінімального і максимального значень. Наприклад, для безлічі X = {0, 1, 2, 4, 8} min x = 0, max x = 8.

Якщо ж безліч задано в «формі від х», То вказати мінімальне і максимальне його значення не завжди виявляється просто, а іноді вони і не існують. Наприклад, для безлічі N натуральних чисел мінімальним числом є одиниця. А максимальне число не існує. для безлічі Z цілих чисел не існує ні мінімуму, ні максимуму.

У подібних випадках використовують поняття верхньої и нижньої граней безлічі (іноді говорять про верхньої та нижньої межі). Розглянемо ці поняття більш детально. Нехай задано деякий безліч X дійсних чисел. число а називається його верхньою межею і позначається sup X (Від лат. supremum - Найвище), якщо для будь-якого числа х Х виконується нерівність  і, яким би не було число а? <а, Існує таке число х? Х , що х? > а?. число b називається нижньою гранню множини Х і позначається inf X (Від лат. infimum - Найнижча), якщо для будь-якого х Х виконується нерівність  і, яким би не було число b? > b, Існує таке х? Х, що х? ? b?.

Для розглянутого вище безлічі X = {0, 1, 2, 4, 8} очевидно, що

min X = inf X = 0, max X = sup X = 8. Однак для необмеженого зверху безлічі N натуральних чисел min N = inf N = 1, а max N не існує, але sup N = +  . У цьому й полягає різниця між мінімальним значенням і інфімум, а також між максимальним значенням і СУПРЕМУМ деякого безлічі Х. Якщо будемо розглядати безліч Z, То ні мінімального, ні максимального його значень не існує, але inf Z = -  , а sup Z = + .

Наведені приклади можливе не дуже переконливі, так як використання символів -  і +  є штучним прийомом (за ними не ховається ніякого певного числа). Якщо ж розглядати добре відомі зі шкільної лави поняття відрізка і інтервалу (іноді вживають терміни закритий і відкритий інтервали відповідно), то виявимо, що в цьому випадку наші уявлення про відмінності між max и sup, min и inf знайдуть цілком реальну конкретизацію.

Наприклад, для відрізка 1 ? х ? 3 при х R min x = inf x = 1, max x = = sup x = 3. Однак для інтервалу 1 ? х ? 3 при х R знову inf x = 1, а sup x = 3. Але при цьому, ні min x, ні max x не існують. Дійсно в останньому прикладі, які б речові числа, близькі до одиниці або до трьох, ми не ставили, завжди можна вказати ще ближчі до одиниці або трьом дійсні числа. У той же брешемо відповідно до наведеного вище визначенням верхньої та нижньої граней множини, числа 1 і 3 є inf x и sup x відповідно. Таким чином, різниця між екстремальними значеннями (max x и min x), Верхній і нижній гранями (sup x и inf x) Проявляються однозначно.

Чисел, які можуть розглядатися в якості верхньої або нижньої граней множини, може бути нескінченно багато. Для усунення такої неоднозначності введено поняття точної верхньої и точної нижньої граней безлічі. Під точної верхньою межею безлічі Х розуміють таку верхню межу, яка не перевищує будь-яку іншу. Під точної нижньою гранню множини Х, Розуміють таку нижню межу, яка не менш будь-який інший межі.

Виходячи з наведених визначень, символічно точні верхні і нижні межі безлічі, якщо його представляти у вигляді послідовності дійсних чисел, можна записати через верхню і нижню межі: для кінцевих множин та

для нескінченних множин.

Однак щоб не перевантажувати символікою поняття точної верхньої і нижньої граней межі опускають і в якості точної верхньої і нижньої граней приймають відповідно sup X и inf X.

Нарешті, слід зазначити, що будь-яке непорожня множина дійсних чисел має, і до того ж єдину, верхню і нижню кінцеву або нескінченну межі.



 Безліч-ступінь |  Операції над множинами.

 Якщо S є P, то S є P1 ». |  Всі метали проводять електричний струм -Істинна. |  Змістовне опис основних законів класичної формальної логіки і межі їх застосування |  Способи правильних висновків, обумовлених основними законами формальної логіки. |  Правильні способи міркувань, засновані на теорії силогізмів |  Слово «біг» позначає дію. |  Фігура I фігура II фігура III фігура IV |  Поняття множини. Способи завдання множин |  вправи |  поняття підмножини |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати