На головну

Максвелл ввів поняття повного струму, що дорівнює сумі струмів провідності (а також конвекційних струмів) і зміщення. Щільність повного струму 1 сторінка

  1.  1 сторінка
  2.  1 сторінка
  3.  1 сторінка
  4.  1 сторінка
  5.  1 сторінка
  6.  1 сторінка
  7.  1 сторінка

Ввівши поняття струму зміщення і повного струму, Максвелл по-новому підійшов до розгляду замкнутості ланцюгів змінного струму. Повний струм в них завжди замкнутий, т. Е. На кінцях провідника обривається лише струм провідності, а в діелектрику (вакуумі) між кінцями провідника є струм зміщення, який замикає струм провідності.

Максвелл узагальнив теорему про циркуляцію вектора Н (Див. (133.10)), ввівши в її праву частину повний струм Iповн = jповнdS крізь поверхню S, натягнуту на замкнутий контур L. тодіузагальнена теорема про циркуляцію вектора Н запишеться у вигляді

 (138.4)

Вираз (138.4) справедливо завжди, свідченням чого є повна відповідність теорії і досвіду.

§ 139. Рівняння Максвелла для електромагнітного поля

Введення Максвеллом поняття струму зміщення привело його до завершення створеної ним макроскопічної теорії електромагнітного поля, що дозволила з єдиної точки зору не тільки пояснити електричні і магнітні явища, а й передбачити нові, існування яких було згодом підтверджено.

В основі теорії Максвелла лежать розглянуті вище чотири рівняння:

1. Електричне поле (див. § 137) може бути як потенційним (ЕQ), Так і вихровим (ЕB), тому напруженість сумарного поля Е=ЕQ +ЕB. Так як циркуляція вектора ЕQ дорівнює нулю (див. (137.3)), а циркуляція вектора ЕB визначається виразом (137.2), то циркуляція вектора напруженості сумарного поля

Це рівняння показує, що джерелами електричного поля можуть бути не тільки електричні заряди, але і змінюються в часі магнітні поля.

2. Узагальнена теорема про циркуляцію вектора Н (Див. (138.4)):

Це рівняння показує, що магнітні поля можуть збуджуватися або рухомими зарядами (електричними струмами), або змінними електричними полями.

3. Теорема Гаусса для поля D (Див. (89.3)):

 (139.1)

Якщо заряд розподілений всередині замкнутої поверхні безперервно з об'ємною щільністю r, то формула (139.1) запишеться у вигляді

4. Теорема Гаусса для поля В (Див. (120.3)):

Отже, повна система рівнянь Максвелла в інтегральній формі:

Величини, що входять в рівняння Максвелла, не є незалежними і між ними існує наступна зв'язок (ізотропні несегнетоелектріческіе і неферомагнітними середовища):

де e0 и m0 - Відповідно електрична і магнітна постійні, e и m - відповідно діелектрична і магнітна проникності, g - Питома провідність речовини.

З рівнянь Максвелла випливає, що джерелами електричного поля можуть бути або електричні заряди, або змінюються в часі магнітні поля, а магнітні поля можуть збуджуватися або рухомими електричними зарядами (електричними струмами), або змінними електричними полями. Рівняння Максвелла не симетричні щодо електричного і магнітного полів. Це пов'язано з тим, що в природі існують електричні заряди, але немає зарядів магнітних.

Для стаціонарних полів (E =const і B =const) Рівняння Максвелла візьмуть вид

т. е. джерелами електричного поля в даному випадку є тільки електричні заряди, магнітних - тільки струми провідності. В даному випадку електричні і магнітні поля незалежні один від одного, що і дозволяє вивчати окремо постійні електричне і магнітне поля.

Скориставшись відомими з векторного аналізу теоремами Стокса і Гаусса

можна уявити повну систему рівнянні Максвелла в диференціальній формі (Характеризують поле в кожній точці простору):

Якщо заряди і струми розподілені в просторі безперервно, то обидві форми рівнянь Максвелла - інтегральна і диференціальна - еквівалентні. Однак якщо є поверхні розриву - поверхні, на яких властивості середовища або полів змінюються стрибкоподібно, то інтегральна форма рівнянь є більш загальною.

Рівняння Максвелла в диференціальної формі припускають, що всі величини в просторі і часі змінюються безперервно. Щоб досягти математичної еквівалентності обох форм рівнянь Максвелла, диференціальну форму доповнюють граничними умовами, яким має задовольняти електромагнітне поле на межі розділу двох середовищ. Інтегральна форма рівнянь Максвелла містить ці умови. Вони були розглянуті раніше (див. § 90, 134):

(Перше і останнє рівняння відповідають випадкам, коли на кордоні розділу немає ні вільних зарядів, ні струмів провідності).

Рівняння Максвелла - найбільш загальні рівняння для електричних і магнітних полів в покояться середовищах. Вони грають у вченні про електромагнетизм таку ж роль, як закони Ньютона в механіці. З рівнянь Максвелла випливає, що змінне магнітне поле завжди пов'язане з породжуваних ним електричним полем, а змінне електричне поле завжди пов'язане з породжуваних ним магнітним, т. Е. Електричне та магнітне поля нерозривно пов'язані один з одним - вони утворюють єдине електромагнітне поле.

Теорія Максвелла, будучи узагальненням основних законів електричних і магнітних явищ, не тільки змогла пояснити вже відомі експериментальні факти, що також є важливим її наслідком, а й передбачила нові явища. Одним з важливих висновків цієї теорії стало існування магнітного поля струмів зміщення (див. § 138), що дозволило Максвеллу передбачити існування електромагнітних хвиль - змінного електромагнітного поля, що поширюється в просторі з кінцевою швидкістю. Надалі було доведено, що швидкість поширення вільного електромагнітного поля (не пов'язаного з зарядами і струмами) в вакуумі дорівнює швидкості світла с = 3 ? 108 м / с. Цей висновок і теоретичне дослідження властивостей електромагнітних хвиль привели Максвелла до створення електромагнітної теорії світла, згідно з якою світ являє собою також електромагнітні хвилі. Електромагнітні хвилі на досвіді були отримані німецьким фізиком Г. Герцем (1857-1894), який довів, що закони їх збудження і поширення повністю описуються рівняннями Максвелла. Таким чином, теорія Максвелла була експериментально підтверджена.

До електромагнітного поля застосуємо тільки принцип відносності Ейнштейна, так як факт поширення електромагнітних хвиль у вакуумі у всіх системах відліку з однаковою швидкістю с несумісний з принципом відносності Галілея.

згідно принципом відносності Ейнштейна, Механічні, оптичні і електромагнітні явища в усіх інерційних системах відліку протікають однаково, т. Е. Описуються однаковими рівняннями. Рівняння Максвелла інваріантні щодо перетворень Лоренца: їх вигляд не змінюється при переході від однієї системи відліку до іншої, хоча величини Е, В, D, Н в них перетворюються за певними правилами.

З принципу відносності випливає, що окремий розгляд електричного і магнітного полів має відносний сенс. Taк, якщо електричне поле створюється системою нерухомих зарядів, то ці заряди, будучи нерухомими щодо однієї системи відліку, рухаються відносно іншої і, отже, будуть породжувати не тільки електричне, але й магнітне поле. Аналогічно, нерухомий щодо однієї системи відліку провідник з постійним струмом, збуджуючи в кожній точці простору постійне магнітне поле, рухається щодо інших інерційних систем, і створюване їм змінне магнітне поле збуджує вихрове електричне поле.

Таким чином, теорія Максвелла, її експериментальне підтвердження, а також принцип відносності Ейнштейна призводять до єдиної теорії електричних, магнітних і оптичних явищ, що базується на уявленні про електромагнітне поле.

4 КОЛЕБАНИЯ І ХВИЛІ

Глава 18 Механічні і електромагнітні коливання

§ 140. Гармонійні коливання та їх характеристики

коливаннями називаються руху або процеси, які характеризуються певною повторюваністю в часі. Коливальні процеси широко поширені в природі і техніці, наприклад хитання маятника годин, змінний електричний струм і т. Д. При коливальному русі маятника змінюється координата його центра мас, в разі змінного струму коливаються напруга і струм в ланцюзі. Фізична природа коливань може бути різною, тому розрізняють коливання механічні, електромагнітні та ін. Однак різні коливальні процеси описуються однаковими характеристиками і однаковими рівняннями. Звідси випливає доцільність єдиного підходу до вивчення коливань різної фізичної природи. Наприклад, єдиний підхід до вивчення механічних і електромагнітних коливань застосовувався англійським фізиком Д. У. Релєєм (1842-1919), А. Г. Столєтова, російським інженером-експериментатором П. М. Лебедєв (1866-1912). Великий внесок у розвиток теорії коливань внесли Л. І. Мандельштам (1879-1944) і його учні.

коливання називаютьсявільними (абовласними), Якщо вони відбуваються за рахунок спочатку повідомленої енергії при подальшому відсутності зовнішніх впливів на коливальну систему (систему, що здійснює коливання). Найпростішим типом коливань єгармонійні коливання - коливання, при яких коливається величина змінюється з часом за законом синуса (косинуса). Розгляд гармонійних коливань важливо з двох причин: 1) коливання, що зустрічаються в природі і техніці, часто мають характер, близький до гармонійному; 2) різні періодичні процеси (Процеси, що повторюються через рівні проміжки часу) можна уявити як накладення гармонійних коливань. Гармонійні коливання величини s описуються рівнянням типу

 (140.1)

де А - максимальне значення коливається величини, званеамплітудою коливання, w0 -кругова (циклічна) частота, j -початкова фаза коливання в момент часу t =0, (w0t+j) - фаза коливання в момент часу t. Фаза коливання визначає значення коливається величини в даний момент часу. Так як косинус змінюється в межах від +1 до -1, то s може приймати значення від + А до -А.

Певні стану системи, що здійснює гармонічні коливання, повторюються через проміжок часу Т, званийперіодом коливання, за який фаза коливання чинить зріст 2p, т. е.

звідки

 (140.2)

Величина, зворотна періоду коливань,

 (140.3)

т. е. число повних коливань, що здійснюються в одиницю часу, називається частотою коливань. Порівнюючи (140.2) і (140.3), отримаємо

Одиниця частоти -герц (Гц): 1 Гц - частота періодичного процесу, при якій за 1 с відбувається один цикл процесу.

Запишемо першу та другу похідні за часом від гармонічно коливається величини s:

 (140.4)

 (140.5)

т. е. маємо гармонійні коливання з тієї ж циклічної частотою. Амплітуди величин (140.4) і (140.5) відповідно рівні аw0 и аw . Фаза величини (140.4) відрізняється від фази величини (140.1) на p /2, а фаза величини (140.5) відрізняється від фази величини (140.1) на p. Отже, в моменти часу, коли s =0, ds /dt набуває найбільші значення; коли ж s досягає максимального від'ємного значення, то d2s /dt2 набуває найбільше позитивне значення (рис. 198).

З виразу (140.5) сліддиференціальне рівняння гармонійних коливань

 (140.6)

(де s = A cos (w0t+j)). Рішенням цього рівняння є вираз (140.1).

Гармонійні коливання зображуються графічнометодом обертового вектора амплітуди,абометодом векторних діаграм. Для цього з довільної точки О, обраної на осі х, під кутом j, рівним початковій фазі коливання, відкладається вектор А, Модуль якого дорівнює амплітуді А розглянутого коливання (рис. 199). Якщо цей вектор привести в обертання з кутовою швидкістю w0, Що дорівнює циклічної частоті коливань, то проекція кінця вектора буде переміщатися по осі х і набувати значень від  до + А, а величина, що коливається буде змінюватися з часом за законом s = A cos (w0t+j). Таким чином, гармонійне коливання можна уявити проекцією на деяку довільно обрану вісь вектора амплітуди А, Відкладеного з довільної точки осі під кутом j, рівним початковій фазі, і що обертається з кутовою швидкістю w0 навколо цієї точки.

У фізиці часто застосовується інший метод, який відрізняється від методу обертового вектора амплітуди лише за формою. У цьому методі коливну величину представляютькомплексним числом. Відповідно до формули Ейлера, для комплексних чисел

 (140.7)

де  - Уявна одиниця. Тому рівняння гармонійного коливання (140.1) можна записати в комплексній формі:

 (140.8)

Матеріальна частина виразу (140.8)

являє собою гармонійне коливання. Позначення Re дійсної частини домовимося опускати і (140.8) будемо записувати у вигляді

У теорії коливань приймається, що коливається величина s дорівнює дійсної частини комплексного виразу, що стоїть в цій рівності праворуч.

§ 141. Механічні гармонічні коливання

Нехай матеріальна точка здійснює прямолінійні гармонійні коливання уздовж осі координат х біля положення рівноваги, прийнятого за початок координат. Тоді залежність координати х від часу t задається рівнянням, аналогічним рівнянням (140.1), де s = x:

 (141.1)

Згідно з виразами (140.4) в (140.5), швидкість v і прискорення а хитається точки відповідно рівні

 (141.2)

сила F = ma, діюча на коливну матеріальну точку масою т, з урахуванням (141.1) і (1412) дорівнює

Отже, сила пропорційна зсуву матеріальної точки з положення рівноваги і спрямована в протилежний бік (до положення рівноваги).

Кінетична енергія матеріальної точки, що здійснює прямолінійні гармонійні коливання, дорівнює

 (141.3)

або

 (141.4)

Потенціальна енергіяматеріальної точки, що здійснює гармонічні коливання під дією пружної сили F, дорівнює

 (141.5)

або

 (141,6)

Склавши (141.3) і (141.5), отримаємо формулу дляповної енергії:

 (141.7)

Повна енергія залишається постійною, так як при гармонійних коливаннях справедливий закон збереження механічної енергії, оскільки пружна сила консервативна.

З формул (141.4) і (141.6) слід, що Т і П змінюються з частотою 2w0, Т. Е. З частотою, яка в два рази перевищує частоту гармонійного коливання. На рис. 200 представлені графіки залежності x, T і П від часу. Так як asin2an = acos2an = 1/2, то з формул (141.3), (141.5) і (14l.7) слід, що aTn = aПn = ? E.

§ 142. Гармонійний осцилятор. Пружинний, фізичний і математичний маятники

гармонійним осцилятором називається система, яка здійснює коливання, описувані рівнянням виду (140.6);

 (142.1)

Коливання гармонічного осцилятора є важливим прикладом періодичного руху і служать точною або наближеною моделлю у багатьох задачах класичної та квантової фізики. Прикладами гармонічного осцилятора є пружинний, фізичний і математичний маятники, коливальний контур (для струмів і напруг настільки малих, що елементи контуру можна було б вважати лінійними; см. §146).

1. Пружинний маятник - Це вантаж масою т, Підвішений на абсолютно пружної пружині і здійснює гармонічні коливання під дією пружної сили F = -kx, де k -жорсткість пружини. Рівняння руху маятника

З виразів (142.1) і (140.1) слід, що пружинний маятник здійснює гармонійні коливання за законом х = А соs (w0t + j) З циклічною частотою

 (142.2)

і періодом

 (142.3)

Формула (142.3) справедлива для пружних коливань в межах, в яких виконується закон Гука (див. (21.3)), т. Е. Коли маса пружини мала в порівнянні з масою тіла. Потенційна енергія пружинного маятника, згідно (141.5) і (142.2), дорівнює

2. Фізичний маятник - Це тверде тіло, що здійснює під дією сили тяжіння коливання навколо нерухомої горизонтальної осі, що проходить через точку О, Не збігається з центром мас С тіла (рис. 201).

Якщо маятник відхилений з положення рівноваги на деякий кут a, то відповідно до рівнянням динаміки обертального руху твердого тіла (18.3) момент M повертає сили можна записати у вигляді

 (142.4)

де J - момент інерції маятника щодо осі, що проходить через точку підвісу О, l - відстань між нею і центром мас маятника, Ft= -mg Sina » -mga. - повертає сила (знак мінус обумовлений тим, що напряму Ft и a завжди протилежні; sina »a відповідає малим коливанням маятника, т. е. малих відхилень маятника з положення рівноваги). Рівняння (142.4) можна записати у вигляді

беручи

 (142.5)

отримаємо рівняння

ідентичне з (142.1), рішення якого (140.1) відомо:

 (142.6)

З виразу (142.6) слід, що при малих коливаннях фізичний маятник здійснює гармонійні коливання з циклічною частотою w0 (Див. (142,5)) і періодом

 (142.7)

де L = J /(ml) -приведена довжина фізичного маятника.

Крапка Про ' на продовженні прямої ОС, віддалена від точки О підвісу маятника на відстані приведеної довжини L, називається центром хитань фізичного маятника (рис. 201). Застосовуючи теорему Штейнера (16.1), отримаємо

т. е. ГО ' завжди більше ОС. точка підвісу О маятника і центр хитань Про ' мають властивістю взаємозамінності: якщо точку підвісу перенести в центр хитань, то колишня точка О підвісу

стане новим центром хитань, і період коливань фізичного маятника не зміниться.

3. Математичний маятник - це ідеалізована система, що складається з матеріальної точки масою т, підвішеною на нерастяжимой невагомою нитки, і коливається під дією сили тяжіння. Хорошим наближенням математичного маятника є невелика важка кулька, підвішений на тонкій довгій нитки. Момент інерції математичного маятника

 (142.8)

де l - Довжина маятника.

Так як математичний маятник можна представити як окремий випадок фізичного маятника, припустивши, що вся його маса зосереджена в одній точці - центрі мас, то, підставивши вираз (142.8) в формулу (1417), отримаємо вираз для періоду малих коливань математичного маятника

 (142.9)

Порівнюючи формули (142.7) і (142.9), бачимо, що якщо приведена довжина L фізичного маятника дорівнює довжині l математичного маятника, то періоди коливань цих маятників однакові. отже, приведена довжина фізичного маятника - Це довжина такого математичного маятника, період коливань якого збігається з періодом коливань даного фізичного маятника.

§ 143. Вільні гармонійні коливання в коливальному контурі

Серед різних електричних явищ особливе місце займають електромагнітні коливання, при яких електричні величини (заряди, струми) періодично змінюються і які супроводжуються взаємними перетвореннями електричного і магнітного полів. Для збудження і підтримки електромагнітних коливань використовуєтьсяколивальний контур - Ланцюг, що складається з включених послідовно котушки індуктивністю L, конденсатора ємністю С і резистора опором R.

Розглянемо послідовні стадії коливального процесу в ідеалізованому контурі, опір якого дуже малий (R »0). Для збудження в контурі коливань конденсатор попередньо заряджають, повідомляючи його обкладкам заряди ±Q. Тоді в початковий момент часу t =0 (рис. 202, а) між обкладинками конденсатора виникне електричне поле, енергія якого Q2 (Див. (95.4)). Якщо замкнути конденсатор на котушку індуктивності, він почне розряджатися, і в контурі потече зростаючий з часом струм I. Таким чином енергія електричного поля буде зменшуватися, а енергія магнітного поля котушки (вона дорівнює - зростати.

Так як R »0, то, відповідно до закону збереження енергії, повна енергія

таккак вона на нагрівання не витрачається. Тому в момент t =?T, коли конденсатор повністю розрядиться, енергія електричного поля звертається в нуль, а енергія магнітного поля (а отже, і струм) досягає максимального значення (рис. 202, б). Починаючи з цього моменту струм в контурі буде зменшуватися; отже, почне слабшати магнітне поле котушки, і в ній індукується струм, який тече (відповідно до правила Ленца) в тому ж напрямку, що і струм розрядки конденсатора. Конденсатор почне перезаряджатися, виникне електричне поле, що прагне послабити струм, який врешті-решт перетвориться на нуль, а заряд на обкладинках конденсатора досягне максимуму (рис. 202, в). Далі ті ж процеси почнуть протікати в зворотному напрямку (рис. 202, г) І система до моменту часу t = Т прийде в первісний стан (рис. 202, а). Після цього почнеться повторення розглянутого циклу розрядки і зарядки конденсатора. Якби втрат енергії не було, то в контурі відбувалися б періодичні незгасаючі коливання, т. Е. Періодично змінювалися (коливалися) б заряд Q на обкладинках конденсатора, напруга U на конденсаторі і сила струму I, Поточного через котушку індуктивності. Отже, в контурі виникають електричні коливання, причому коливання супроводжуються перетвореннями енергій електричного і магнітного полів.

Електричні коливання в коливальному контурі можна зіставити з механічними коливаннями маятника (рис. 202 внизу), що супроводжуються взаємними перетвореннями потенційної і кінетичної енергій маятника. В даному випадку енергія електричного поля конденсатора (Q2/(2C)) Аналогічна потенційної енергії маятника, енергія магнітного поля котушки (LQ2/2) - кінетичної енергії, сила струму в контурі - швидкості руху маятника. індуктивність L відіграє роль маси т, а опір контуру - роль сили тертя, що діє на маятник.

Згідно законуОма, для контуру, що містить котушку індуктивністю L, конденсатор ємністю С і резистор опором R,

де IR-напруга на резисторі, Uc = Q / C-напруга на конденсаторі,  - Е. д. з. самоіндукції, що виникає в котушці при протіканні в ній змінного струму (  - Єдина е. д. з. в контурі). отже,



 Тангенціальна складова прискорення 24 сторінка |  Максвелл ввів поняття повного струму, що дорівнює сумі струмів провідності (а також конвекційних струмів) і зміщення. Щільність повного струму 2 сторінка

 Тангенціальна складова прискорення 14 сторінка |  Тангенціальна складова прискорення 15 сторінка |  Тангенціальна складова прискорення 16 сторінка |  Тангенціальна складова прискорення 17 сторінка |  Тангенціальна складова прискорення 18 сторінка |  Тангенціальна складова прискорення 19 сторінка |  Тангенціальна складова прискорення 20 сторінка |  Тангенціальна складова прискорення 21 сторінка |  Тангенціальна складова прискорення 22 сторінка |  Тангенціальна складова прискорення 23 сторінка |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати