На головну

Геометричний сенс невласних інтегралів II роду

  1.  I. Нісенітниця існування
  2.  I. Питання про сенс взагалі і питання про сенс життя
  3.  II. Життєва суєта і вимога сенсу
  4.  II. Загальнозначимих і сверхвременного сенс як шукане всякого свідомості
  5.  IV. світовий сенс
  6.  А. Геометричний зміст похідної
  7.  А. С. Ципко. Двозначність "ортодоксів", або Довгий шлях до здорового глузду

Невласний інтеграл другого роду висловлює площа нескінченно високою криволінійної трапеції

приклад

Окремий случайПусть функція  визначена на всій числовій осі і має розрив в точках .

Тоді можна знайти невласний інтеграл

Критерій Коші1. нехай  визначена на безлічі від и .

тоді  сходиться

2. Нехай  визначена на и .

тоді  сходиться

абсолютна сходімостьІнтеграл  називається абсолютно збіжним, якщо  сходиться.
 Якщо інтеграл сходиться абсолютно, то він сходиться.

умовна сходімостьІнтеграл  називається умовно збіжним, якщо  сходиться, а  розходиться.

Первісна

Первообрaзной[1] або примітивної функцією (Іноді називають також антіпроізводной) Даної функції f називають таку F, Похідна якої (на всій області визначення) дорівнює f, тобто F '= f. Обчислення первісної полягає в знаходженні невизначеного інтеграла, а сам процес називаєтьсяінтеграцією.

Так, наприклад, функція  є первісною  . Так як похідна константи дорівнює нулю,  матиме нескінченну кількість первісних, таких як  або  ... і т.д.; таким чином сімейство первісних функції  можна позначити як  , де C - Будь-яке число. Графіки таких первісних зміщені вертикально відносно один одного, і їх положення залежить від значення C.

Первісні важливі тим, що дозволяють обчислювати інтеграли. якщо F - Первісна інтегрованої функції f, То:

Це співвідношення називається формулою Ньютона - Лейбніца.

Завдяки цьому зв'язку безліч первісних даної функції f називають невизначеним інтегралом (загальним інтегралом) f і записують у вигляді інтеграла без вказівки меж:

якщо F - первісна f, І функція f визначена на будь-якому інтервалі, тоді кожна наступна первісна G відрізняється від F на константу: завжди існує число C, Таке що G(x) = F(x) + C для всіх x. число C називають постійної інтегрування.

Кожна безперервна функція f має первісну F, Одна з яких представляється у вигляді інтеграла від f із змінною верхньою межею:

Також існують не безперервні (розривні) функції, які мають первісну. наприклад, с  не наскрізною при  , Але має первісну с .

Деякі первісні, навіть незважаючи на те, що вони існують, не можуть бути виражені через елементарні функції (такі як многочлени, експоненціальні функції, логарифми, тригонометричні функції, зворотні тригонометричні функції і їх комбінації). наприклад:

Більш розгорнутий виклад цих фактів см. В диференціальної теорії Галуа.

зміст

властивості первісної

Первісна суми дорівнює сумі первісних

техніка інтегрування

Основна стаття: методи інтегрування

Знаходження первісних значно складніше, ніж знаходження похідних. Для цього є кілька методів:

Інші определеніяЕто визначення є найбільш поширеним, але трапляються й інші, в яких ослаблені вимоги існування всюди кінцевої  і виконання усюди рівності  , Іноді у визначенні використовують узагальнення похідної.

Визначення первісної через межу  -ої похідноїфункція  називається первісною для функції  якщо буде існувати межа для функції  що є похідною  -го порядку для функції  тобто

Теорема. Дане визначення еквівалентно основному визначенню.

Справді,

Приклад 1. Обчислимо первісну для функції

І так,

 за умови, що

оскільки

отримуємо

Приклад 2. Обчислимо первісну для функції

властивості інтегралів

 1. Інтеграл від одиниці по проміжку [a,b] Дорівнює довжині цього проміжку: 2. Інтеграл не залежить від символу, використовуваного для позначення змінної інтегрування: 3. Постійний множник можна виносити за знак інтеграла: 4. Інтеграл від алгебраїчної суми інтегрованих функцій дорівнює алгебраїчній сумі інтегралів: 5. При перестановці місцями меж інтегрування інтеграл змінює свій знак на протилежний: 6. Якщо нижній і верхній межі інтегрування збігаються між собою, то інтеграл дорівнює нулю: 7. Якщо функція f(x) Інтегрована на кожному з проміжків [a,b], [a,c] І [c,b], То Це властивість цілком очевидно, якщо  (Див. Рисунок 1).  Мал. 1. Властивість 6 (випадок  ) .Однак Воно залишається справедливим і в тому випадку, коли  - За умови, що існують інтеграли и :  Мал. 2. Властивість 6 (випадок  ). 8. Якщо функція f(x) Є позитивно визначеною і інтегрованою на проміжку [a,b], То 9. Нехай функції f(x) і g(x) Інтегровними на проміжку [a,b] і  у всіх точках цього проміжку. тоді 10. Якщо функція f(x) Інтегрована на проміжку [a,b], То 11. Нехай функція f(x) Інтегрована на проміжку [a,b] І задовольняє нерівностям  у всіх точках цього проміжку. тоді вираз  називається середнім значенням функції f(x) На проміжку [a,b]. Тому властивість 8 називають теоремою про повну загальну середню. 12. Теорема про повну загальну середню для безперервної функції. нехай функція f(x) Неперервна і обмежена на проміжку [a,b]. Тоді на цьому проміжку знайдеться така "середня" точка  , що  Мал. 3. Площа під кривою y = f(x) На інтервалі [a,b] Дорівнює площі прямокутника з основою (b-a) І висотою  . Для перегляду анімації в інших кольорах підведіть курсор покажчика миші в область малюнка, розташованого справа. 13. Узагальнена теорема про повну загальну середню. нехай функції f(x) і g(x) Інтегровними на проміжку [a,b]. Якщо при цьому функція f(x) Є безперервною, то на цьому проміжку знайдеться така "середня" точка  , що

екстремум

екстремум (Лат. extremum - Крайній) в математиці - максимальне або мінімальне значення функції на заданій множині. Точка, в якій досягається екстремум, називається точкою екстремуму. Відповідно, якщо досягається мінімум - точка екстремуму називається точкою мінімуму, А якщо максимум -точкою максимуму. В математичному аналізі виділяють також поняття локальний екстремум (відповідно мінімум або максимум).

зміст

ОпределеніяПусть дана функція и  - Внутрішня точка області визначення  тоді

Якщо нерівності вище строгі, то  називається точкою строгого локального максимуму або мінімуму відповідно.

значення функції  називають (суворим) (локальним) максимумом або мінімумом в залежності від ситуації. Точки, які є точками (локального) максимуму або мінімуму, називаються точками (локального) екстремуму.

зауваження

функція  певна на безлічі  може не мати на ньому жодного локального або абсолютного екстремуму. наприклад,

Необхідні умови існування локальних екстремумів [ред | правити вихідний текст]

нехай точка  є точкою екстремуму функції  , Визначеної в деякій околиці точки .

Тоді або похідна  не існує, або .

(Математичний Аналіз. Том 1. Л. Д. Кудрявцев. Москва «Вища Школа» 1973 г.)

Достатні умови існування локальних екстремумів [ред | правити вихідний текст]

 є точкою строгого локального максимуму. А якщо

то  є точкою строгого локального мінімуму.

Зауважимо, що при цьому опція дифференцируема в точці

и

 є точкою локального максимуму. А якщо

и

то  є точкою локального мінімуму.

якщо  парно і  , то  - Точка локального максимуму. якщо  парно і  , то  - Точка локального мінімуму. якщо  непарній, то екстремуму немає.



 Основні невизначеності меж і їх розкриття. |  Параграф 4. Екстремуми функції.

 Рівняння дотичної прямої. |  Графічна ілюстрація. |  Графічна ілюстрація. |  Графічна ілюстрація. |  Графічна ілюстрація. |  Дотична до кола. |  Дотична до еліпсу. |  Дотична до гіперболи. |  Дотична до параболи. |  Графічна ілюстрація. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати