На головну

Абсолютна і відносна похибка обчислень

  1.  Абсолютна величина дійсного числа. околиця точки
  2.  абсолютна Віра
  3.  Абсолютна лепта - абсолютний людина - подарунок долі
  4.  Абсолютна монархія К. П. Побєдоносцева
  5.  абсолютна усвідомленість
  6.  Абсолютна причетна конструкція

Абсолютна похибка обчислень знаходиться за формулою:

Знак модуля показує, що нам без різниці, яке значення більше, а яке менше. важливо, наскільки далеко наближений результат відхилився від точного значення в ту чи іншу сторону.

Відносна похибка обчислень знаходиться за формулою:
 , Або, те ж саме:

Відносна похибка показує, на скільки відсотків наближений результат відхилився від точного значення. Існує версія формули і без домноженія на 100%, але на практиці я майже завжди бачу вищенаведений варіант з відсотками.

Після короткої довідки повернемося до нашого завдання, в якій ми вирахували наближене значення функції  за допомогою диференціала.

Обчислимо точне значення функції за допомогою мікрокалькулятора:
 , Строго кажучи, значення все одно наближене, але ми будемо вважати його точним. Такі вже завдання зустрічаються.

Обчислимо абсолютну похибку:

Обчислимо відносну похибку:
 , Отримані тисячні частки відсотка, таким чином, диференціал забезпечив просто відмінне наближення.

відповідь:  , Абсолютна похибка обчислень  , Відносна похибка обчислень

Наступний приклад для самостійного рішення:

приклад 4

Обчислити наближено за допомогою диференціала значення функції  в точці  . Обчислити більш точне значення функції в даній точці, оцінити абсолютну і відносну похибку обчислень.

Зразок чистового оформлення і відповідь в кінці уроку.

Багато хто звернув увагу, що у всіх розглянутих прикладах фігурують коріння. Це не випадково, в більшості випадків в розглянутій задачі дійсно пропонуються функції з корінням.

Але для стражденних читачів я розкопав невеличкий приклад з арксинуса:

приклад 5

Обчислити наближено за допомогою диференціала значення функції  в точці

Цей коротенький, але пізнавальний приклад теж для самостійного рішення. А я трохи відпочив, щоб з новими силами розглянути особливе завдання:

приклад 6

Обчислити наближено за допомогою диференціала  , Результат округлити до двох знаків після коми.

Рішення: Що нового в завданні? За умовою потрібно округлити результат до двох знаків після коми. Але справа не в цьому, шкільна задача округлення, думаю, не представляє для вас складнощів. Справа в тому, що у нас дано тангенс з аргументом, який виражений в градусах. Що робити, коли вам пропонується для вирішення тригонометрическая функція з градусами? наприклад,  і т.д.

Алгоритм рішення принципово зберігається, тобто необхідно, як і в попередніх прикладах, застосувати формулу

Записуємо очевидну функцію

значення  потрібно представити у вигляді  . Серйозну допомогу надасть таблиця значень тригонометричних функцій. До речі, хто її не відкривши, рекомендую це зробити, оскільки заглядати туди доведеться протягом усього курсу вивчення вищої математики.

Аналізуючи таблицю, помічаємо «хороше» значення тангенса, яке близьке розташовується до 47 градусам:

Таким чином:

Після попереднього аналізу градуси необхідно перевести в радіани. Так, і тільки так!

В даному прикладі безпосередньо з тригонометричної таблиці можна з'ясувати, що  . За формулою перекладу градусів у радіани:  (Формули можна знайти в тій же таблиці).

Подальше шаблонно:

Таким чином:  (При обчисленнях використовуємо значення  ). Результат, як і було потрібно за умовою, округлений до двох знаків після коми.

відповідь:

приклад 7

Обчислити наближено за допомогою диференціала  , Результат округлити до трьох знаків після коми.

Це приклад для самостійного рішення. Повне рішення і відповідь в кінці уроку.

Як бачите, нічого складного, градуси переводимо в радіани і дотримуємося звичайного алгоритму рішення.

 властивості диференціала
 
 функції: f, u, v Аргумент (незалежна змінна): x Похідна функції: y '(x), f '(x) Константа: C Дійсні числа: A, ?  Приріст функції: ?y Приріст незалежної змінної: ?x Диференціал функції: dy Диференціал незалежної змінної: dx
  1. Розглянемо функцію y = f(x) І припустимо, що в деякій точці x аргумент отримує пріращеніеdx, Яке називається диференціалом незалежної змінної. функція y = f(x) маєдиференціал в точці x, Якщо її приріст можна представити у вигляді суми двох доданків:
    ?y = f(x + ?x) - f(x) = A?x + ?,
     де коефіцієнт A не залежить від ?x, А величина ? має вищий порядок малості щодо збільшення ?x, тобто ?/ ?x > 0 при ?x > 0.

     У записаної формулою головна лінійна частина збільшення називається диференціалом функції f(x) В точці x і позначається як
    dy = A?x.
     У цьому виразі коефіцієнт A дорівнює значенню похідної f '(x) В точці x.

  1. Диференціал незалежної змінної дорівнює її приросту:
    dx = ?x
  2. диференціал функції дорівнює добутку похідної на диференціал незалежної змінної:
    dy = df(x) = f '(x)dx
  3. Вираз похідною через диференціали
    f '(x) = dy/dx
  4. Диференціал постійного числа дорівнює нулю:
     = 0
  5. Диференціал суми функцій дорівнює сумі диференціалів:
    d(u + v) = du + dv
  6. Диференціал різниці функцій дорівнює різниці диференціалів:
    d(u + v) = du + dv
  7. постійний множник можна виносити за знак диференціала:
    d(Сu) = Сdu
  8. Диференціал твори функцій
    d(uv) = vdu + udv
  9. диференціал приватного

Похідні простих функцій

висновок

висновок

висновок

Так як  , То нехай и

тоді

Похідні експоненційних і логарифмічних функцій

висновок

висновок

Похідні тригонометричних і зворотних тригонометричних функцій

висновок

Похідні гіперболічних функцій

 , при

 , при

Правила диференціювання загальних функцій

 (Окремий випадок формули Лейбніца)

 - Правило диференціювання складної функції

Похідна оберненої функції

нехай  - Функція від аргументу x в деякому інтервалі  . Якщо в рівнянні  y вважати аргументом, а x - функцією, то виникає нова функція  , де  - Функція зворотна даної.

зміст

Теорема (про диференціюванні зворотної функції) [ред | правити вихідний текст]

Для диференціюється з похідною, відмінною від нуля, похідна оберненої функції дорівнює зворотній величині похідної даної функції, тобто

 



 Наближені обчислення за допомогою диференціала функції однієї змінної |  Доведення

 Способи завдання послідовностей. |  Доказ для натуральних значень x |  докази наслідків |  Визначення точок розриву |  Наближені обчислення за допомогою диференціала |  Похідна функції, заданої неявно |  Похідна параметрично заданої функції |  Правила Лопіталя. приклади рішень |  Перше правило Лопіталя |  Друге правило Лопіталя |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати