Головна

Наближені обчислення за допомогою диференціала функції однієї змінної

  1.  CompactFlash: 100 гігабайт в одній карті
  2.  Gt; Функції та методи інноваційного менеджменту Прогнозування в інноваційному менеджменті
  3.  Hyper Historian - Виконувані обчислення
  4.  I. Обчислення границь функції
  5.  I. Диференціал функції.
  6.  I. Основні функції ВІДДІЛУ
  7.  II. Функції герундія в реченні

У першому параграфі рулить функція однієї змінної. Як всі знають, вона позначається через  або через  . Для даної задачі набагато зручніше використовувати другий позначення. Відразу перейдемо до популярного наприклад, який часто зустрічається на практиці:

приклад 1

обчислити наближено  , Замінюючи приросту функції її диференціалом.

Рішення: Будь ласка, перепишіть у зошит робочу формулу для наближеного обчислення за допомогою диференціала:

Починаємо розбиратися, тут все просто!

На першому етапі необхідно скласти функцію  . За умовою запропоновано обчислити кубічний корінь з числа:  , Тому відповідна функція має вигляд:  . Нам потрібно за допомогою формули знайти наближене значення .

дивимося на ліву частину формули  , І в голову приходить думка, що число 67 необхідно представити у вигляді  . Як найпростіше це зробити? Рекомендую наступний алгоритм: обчислимо дане значення на калькуляторі:
 - Вийшло 4 з хвостиком, це важливий орієнтир для вирішення.

В якості  підбираємо «хороше» значення, щоб корінь витягувався остачі. Природно, це значення  повинно бути якомога ближче до 67. У даному випадку:  . дійсно: .

Примітка: Коли з підбором  все одно виникає складне становище, просто подивіться на скалькуліровать значення (в даному випадку  ), Візьміть найближчу цілу частину (в даному випадку 4) і зведіть її потрібну в ступінь (в даному випадку  ). В результаті і буде виконаний потрібний підбір: .

якщо  , То приріст аргументу: .

Отже, число 67 представлено у вигляді суми

Далі працюємо з правою частиною формули .

Спочатку обчислимо значення функції в точці  . Власне, це вже зроблено раніше:

Диференціал в точці знаходиться за формулою:
 - Теж можете переписати до себе в зошит.

З формули випливає, що потрібно взяти першу похідну:

І знайти її значення в точці :

Таким чином:

Все готово! Відповідно до формули :

Знайдене наближене значення досить близько до значення  , Обчисленому за допомогою мікрокалькулятора.

відповідь:

приклад 2

обчислити наближено  , Замінюючи приросту функції її диференціалом.

Це приклад для самостійного рішення. Зразок чистового оформлення і відповідь в кінці уроку. Початківцям спочатку рекомендую обчислити точне значення  на микрокалькуляторе, щоб з'ясувати, яка кількість прийняти за  , А яке - за  . Варто зазначити, що  в даному прикладі буде негативним.

У деяких, можливо, виникло питання, навіщо потрібна ця задача, якщо можна все спокійно і більш точно підрахувати на калькуляторі? Згоден, завдання дурна і наївна. Але спробую трохи її виправдати. По-перше, завдання ілюструє сенс диференціала функції. По-друге, в стародавні часи, калькулятор був чимось на зразок особистого вертольота в наш час. Сам бачив, як з місцевого політехнічного інституту році десь в 1985-86 викинули комп'ютер розміром з кімнату (з усього міста збіглися радіоаматори з викрутками, і через пару годин від агрегату залишився тільки корпус). Антикваріат водився і у нас на фізматі, правда, розміром трохи менше - десь з парту. Ось так от і мучилися наші предки з методами наближених обчислень. Кінна візок - теж транспорт.

Так чи інакше, завдання залишилася в стандартному курсі вищої математики, і вирішувати її доведеться. Це основний відповідь на ваше запитання =)

приклад 3

Обчислити наближено за допомогою диференціала значення функції  в точці  . Обчислити більш точне значення функції в точці  за допомогою мікрокалькулятора, оцінити абсолютну і відносну похибку обчислень.

Фактично те ж саме завдання, його запросто можна переформулювати так: «Обчислити наближене значення  за допомогою диференціала »

Рішення: Використовуємо знайому формулу:
 В даному випадку вже дана готова функція:  . Ще раз звертаю увагу, що для позначення функції замість «Ігрека» зручніше використовувати .

значення  необхідно представити у вигляді  . Ну, тут легше, ми бачимо, що число 1,97 дуже близько до «двійці», тому напрошується  . І, отже: .
 Обчислимо значення функції в точці :

використовуючи формулу  , Обчислимо диференціал в цій же точці.

Знаходимо першу похідну:

І її значення в точці :

Таким чином, диференціал в точці:

В результаті, за формулою :

Друга частина завдання полягає в тому, щоб знайти абсолютну і відносну похибку обчислень.

 Наближені обчислення за допомогою диференціала |  Абсолютна і відносна похибка обчислень


 Способи завдання послідовностей. |  Доказ для натуральних значень x |  докази наслідків |  Визначення точок розриву |  Доведення |  Похідна функції, заданої неявно |  Похідна параметрично заданої функції |  Правила Лопіталя. приклади рішень |  Перше правило Лопіталя |  Друге правило Лопіталя |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати