Головна |
У першому параграфі рулить функція однієї змінної. Як всі знають, вона позначається через або через . Для даної задачі набагато зручніше використовувати другий позначення. Відразу перейдемо до популярного наприклад, який часто зустрічається на практиці:
приклад 1
обчислити наближено , Замінюючи приросту функції її диференціалом.
Рішення: Будь ласка, перепишіть у зошит робочу формулу для наближеного обчислення за допомогою диференціала:
Починаємо розбиратися, тут все просто!
На першому етапі необхідно скласти функцію . За умовою запропоновано обчислити кубічний корінь з числа: , Тому відповідна функція має вигляд: . Нам потрібно за допомогою формули знайти наближене значення .
дивимося на ліву частину формули , І в голову приходить думка, що число 67 необхідно представити у вигляді . Як найпростіше це зробити? Рекомендую наступний алгоритм: обчислимо дане значення на калькуляторі:
- Вийшло 4 з хвостиком, це важливий орієнтир для вирішення.
В якості підбираємо «хороше» значення, щоб корінь витягувався остачі. Природно, це значення повинно бути якомога ближче до 67. У даному випадку: . дійсно: .
Примітка: Коли з підбором все одно виникає складне становище, просто подивіться на скалькуліровать значення (в даному випадку ), Візьміть найближчу цілу частину (в даному випадку 4) і зведіть її потрібну в ступінь (в даному випадку ). В результаті і буде виконаний потрібний підбір: .
якщо , То приріст аргументу: .
Отже, число 67 представлено у вигляді суми
Далі працюємо з правою частиною формули .
Спочатку обчислимо значення функції в точці . Власне, це вже зроблено раніше:
Диференціал в точці знаходиться за формулою:
- Теж можете переписати до себе в зошит.
З формули випливає, що потрібно взяти першу похідну:
І знайти її значення в точці :
Таким чином:
Все готово! Відповідно до формули :
Знайдене наближене значення досить близько до значення , Обчисленому за допомогою мікрокалькулятора.
відповідь:
приклад 2
обчислити наближено , Замінюючи приросту функції її диференціалом.
Це приклад для самостійного рішення. Зразок чистового оформлення і відповідь в кінці уроку. Початківцям спочатку рекомендую обчислити точне значення на микрокалькуляторе, щоб з'ясувати, яка кількість прийняти за , А яке - за . Варто зазначити, що в даному прикладі буде негативним.
У деяких, можливо, виникло питання, навіщо потрібна ця задача, якщо можна все спокійно і більш точно підрахувати на калькуляторі? Згоден, завдання дурна і наївна. Але спробую трохи її виправдати. По-перше, завдання ілюструє сенс диференціала функції. По-друге, в стародавні часи, калькулятор був чимось на зразок особистого вертольота в наш час. Сам бачив, як з місцевого політехнічного інституту році десь в 1985-86 викинули комп'ютер розміром з кімнату (з усього міста збіглися радіоаматори з викрутками, і через пару годин від агрегату залишився тільки корпус). Антикваріат водився і у нас на фізматі, правда, розміром трохи менше - десь з парту. Ось так от і мучилися наші предки з методами наближених обчислень. Кінна візок - теж транспорт.
Так чи інакше, завдання залишилася в стандартному курсі вищої математики, і вирішувати її доведеться. Це основний відповідь на ваше запитання =)
приклад 3
Обчислити наближено за допомогою диференціала значення функції в точці . Обчислити більш точне значення функції в точці за допомогою мікрокалькулятора, оцінити абсолютну і відносну похибку обчислень.
Фактично те ж саме завдання, його запросто можна переформулювати так: «Обчислити наближене значення за допомогою диференціала »
Рішення: Використовуємо знайому формулу:
В даному випадку вже дана готова функція: . Ще раз звертаю увагу, що для позначення функції замість «Ігрека» зручніше використовувати .
значення необхідно представити у вигляді . Ну, тут легше, ми бачимо, що число 1,97 дуже близько до «двійці», тому напрошується . І, отже: .
Обчислимо значення функції в точці :
використовуючи формулу , Обчислимо диференціал в цій же точці.
Знаходимо першу похідну:
І її значення в точці :
Таким чином, диференціал в точці:
В результаті, за формулою :
Друга частина завдання полягає в тому, щоб знайти абсолютну і відносну похибку обчислень.
Наближені обчислення за допомогою диференціала | Абсолютна і відносна похибка обчислень
Способи завдання послідовностей. | Доказ для натуральних значень x | докази наслідків | Визначення точок розриву | Доведення | Похідна функції, заданої неявно | Похідна параметрично заданої функції | Правила Лопіталя. приклади рішень | Перше правило Лопіталя | Друге правило Лопіталя |