На головну

Способи завдання послідовностей.

  1.  Amp; && 450. Які способи створення таблиць існують в Access?
  2.  II. Способи знаходження присудка
  3.  II. Вивчіть наведені нижче репродукції і виконайте завдання.
  4.  III. Способи очищення.
  5.  IX. тестові завдання
  6.  N-мірні випадкові величини. Способи їх завдання
  7.  Workload management (Запуск грід-завдання)

Послідовності можна задавати різними способами, серед яких особливо важливі три: аналітичний, описовий та рекурентний.

1. Послідовність задана аналітично, якщо задана формула її n-го члена:

yn = f(n).

Приклад. yn = 2n - 1 - послідовність непарних чисел: 1, 3, 5, 7, 9, ...

2. Опісательнийспособ завдання числової послідовності полягає в тому, що пояснюється, з яких елементів будується послідовність.

Приклад 1. «Усі члени послідовності рівні 1». Це означає, мова йде про стаціонарної послідовності 1, 1, 1, ..., 1, ....

Приклад 2. «Послідовність складається з усіх простих чисел в порядку зростання». Таким чином, задана послідовність 2, 3, 5, 7, 11, .... При такому способі завдання послідовності в даному прикладі важко відповісти, чому дорівнює, скажімо, 1000-й елемент послідовності.

3. рекурентності спосіб завдання послідовності полягає в тому, що вказується правило, що дозволяє обчислити n-й член послідовності, якщо відомі її попередні члени. Назва рекурентний спосіб походить від латинського слова recurrere - Повертатися. Найчастіше в таких випадках вказують формулу, що дозволяє висловити n-й член послідовності через попередні, і задають 1-2 початкових члена послідовності.

Приклад 1. y1 = 3; yn = yn-1 + 4, якщо n = 2, 3, 4, ....

тут y1 = 3; y2 = 3 + 4 = 7; y3 = 7 + 4 = 11; ....

Можна бачити, що отриману в цьому прикладі послідовність може бути задана і аналітично: yn = 4n - 1.

Приклад 2. y1 = 1; y2 = 1; yn = yn-2 + yn-1, Якщо n = 3, 4, ....

тут: y1 = 1; y2 = 1; y3 = 1 + 1 = 2; y4 = 1 + 2 = 3; y5 = 2 + 3 = 5; y6 = 3 + 5 = 8;

Послідовність, складену в цьому прикладі, спеціально вивчають в математиці, оскільки вона має ряд цікавих властивостей і додатків. Її називають послідовністю Фібоначчі - по імені італійського математика 13 ст. Задати послідовність Фібоначчі рекуррентно дуже легко, а аналітично - дуже важко. nе число Фібоначчі виражається через його порядковий номер наступною формулою .

На перший погляд, формула для n-го числа Фібоначчі здається неправдоподібною, так як у формулі, яка задає послідовність одних тільки натуральних чисел, містяться квадратні коріння, але можна перевірити «вручну» справедливість цієї формули для кількох перших n.

Властивості числових послідовностей.

Числова послідовність - окремий випадок числової функції, тому ряд властивостей функцій розглядаються і для послідовностей.

визначення.послідовність {yn} Називають зростаючою, якщо кожен її член (крім першого) більше попереднього:

y1 < y2 < y3 <... < yn < yn+1 <....

Визначення. послідовність {yn} Називають спадною, якщо кожен її член (крім першого) менше попереднього:

y1> y2> y3> ...> yn > yn+1> ....

Зростаючі і спадні послідовності об'єднують загальним терміном - монотонні послідовності.

Приклад 1. y1 = 1; yn = n2 \ shad \ shad0- зростаюча послідовність.

Приклад 2. y1 = 1;  - Спадна послідовність.

Приклад 3. y1 = 1;  - Ця послідовність перестав є не зростаючою не убуває.

Визначення. Послідовність називається періодичної, якщо існує таке натуральне число T, Що починаючи з деякого n, Виконується рівність yn = yn + T . число T називається довжиною періоду.

Приклад. послідовність  періодична з довжиною періоду T= 2.

Арифметична прогресія.

Числову послідовність, кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює сумі попереднього члена і одного і того ж числа d, Називають аріфметіческойпрогрессіей, а число d - Різницею арифметичної прогресії.

Таким чином, арифметична прогресія - це числова послідовність {an}, Задана рекуррентно співвідношеннями

a1 = a, an = an-1 + d (n = 2, 3, 4, ...)

(a и d - Задані числа).

Приклад. 1, 3, 5, 7, 9, 11, ... - зростаюча арифметична прогресія, у якої a1 = 1, d = 2.

Приклад. 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, -1, -4, ... - спадна арифметична прогресія, у якої a1 = 20, d = -3.

Неважко знайти явне (формульне) вираз an через n. Величина чергового елемента зростає на d в порівнянні з попереднім, таким чином, величина n елемента зросте навелічіну (n - 1)d в порівнянні з першим членом арифметичної прогресії, т. е.

an = a1 + d(n - 1).

це формула n-го члена арифметичної прогресії.

Використовуючи явне вираз an через n, Можна довести наступне властивість арифметичної прогресії: якщо натуральні числа i, j, k, lтакі, що i + j = k + l, то ai + aj= ak + al. Щоб в цьому переконатися, досить підставити i, j, k и l замість n в формулу n-го члена арифметичної прогресії і скласти. Звідси випливає, що якщо розглядати перші n членів арифметичної прогресії, то суми членів, рівно віддалених від кінців, будуть однакові:

a1 + an = a2 + an-1 = a3 + an-2 = ... = 2a1 + (n - 1)d.

Остання рівність дозволяє обчислити суму перших n членів арифметичної прогресії:

Sn = a1 + a2 + ... + an-1 + an.

З цією метою береться ще одна така ж сума, але складові записується в зворотному порядку:

Sn = an + an-1 + ... + a2 + a1.

Далі вона складається почленно з вихідної сумою, причому складові відразу попарно групуються. В результаті

2Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + ... + (an + a1) = n(2a1 + (n - 1)d),

звідки  . Це формула суми n членів арифметичної прогресії.

Арифметичної прогресії названа тому, що в ній кожен член, крім першого, дорівнює середньому арифметичному двох сусідніх з ним - попереднього і наступного. Дійсно, так як

an = an-1 + d;

an = an+1 - d.

Додавання двох останніх рівностей дає .

Таким чином, правильна наступна теорема (характеристичне властивість арифметичної прогресії). Числова послідовність є арифметичною тоді і тільки тоді, коли кожен її член, крім першого (і останнього в разі кінцевої послідовності), дорівнює середньому арифметичному попереднього і наступного членів.

Приклад. При якому значенні x числа 3x + 2, 5x - 4 і 11x + 12 утворюють кінцеву арифметичну прогресію?

Згідно характеристическому властивості, задані вирази повинні задовольняти співвідношенню

5x - 4 = ((3x + 2) + (11x + 12)) / 2.

Рішення цього рівняння дає x = -5,5. При цьому значенні x задані вирази 3x + 2, 5x - 4 і 11x + 12 приймають, відповідно, значення -14,5, -31,5, -48,5. Це - арифметична прогресія, її різниця дорівнює -17.

Геометрична прогресія.

Числову послідовність, всі члени якої відмінні від нуля і кожен член якої, починаючи з другого, виходить з попереднього члена множенням на одне і те ж число q, Називають геометричною прогресією, а число q - Знаменником геометричної прогресії.

Таким чином, геометрична прогресія - це числова послідовність {bn}, Задана рекуррентно співвідношеннями

b1 = b, bn = bn-1 q (n = 2, 3, 4 ...).

(b и q - задані числа, b № 0, q № 0).

Приклад 1. 2, 6, 18, 54, ... - зростаюча геометрична прогресія b = 2,q = 3.

Приклад 2. 2, -2, 2, -2, ... - геометрична прогресія b = 2, q = -1.

Приклад 3. 8, 8, 8, 8, ... - геометрична прогресія b = 8, q = 1.

Геометрична прогресія є зростаючою послідовністю, якщо b1> 0, q > 1, і спадною, якщо b1> 0, 0 < q <1.

Одне з очевидних властивостей геометричній прогресії полягає в тому, що якщо послідовність є геометричною прогресією, то і послідовність квадратів, т. Е.

b12, b22, b32, ..., bn2, ... є геометричною прогресією, перший член якої дорівнює b12, А знаменник - q2.

Формула n-го члена геометричної прогресії має вигляд

bn = b1qn-1.

Можна отримати формулу суми членів кінцевої геометричній прогресії.

Нехай дана кінцева геометрична прогресія

b1, b2, b3, ..., bn

нехай Sn - сума її членів, т. е.

Sn= b1 + b2+ b3 + ... + bn.

Приймається, що q № 1. Для визначення Sn застосовується штучний прийом: виконуються деякі геометричні перетворення виразу Snq.

тоді

Snq = (b1 + b2 + b3+ ... + bn-1 + bn)q = b2 + b3 + b4 + ... + bn + bnq = Sn+ bnq- b1.

Таким чином, Snq = Sn + bnq - b1 і, отже,

.

Це формула зумми n членів геометричної прогресії для випадку, коли q № 1.

при q = 1 формулу можна не виводити окремо, очевидно, що в цьому випадку Sn = a1n.

Геометричній прогресії названа тому, що в ній кожен член крім першого, дорівнює середньому геометричному попередніх і наступних членів. Дійсно, так як

bn= bn-1q;

bn= bn +1/ Q,

отже, bn2= bn-1 bn +1 і вірна следующаятеорема (характеристичне властивість геометричної прогресії):

числова послідовність є геометричною прогресією тоді й тільки тоді, коли квадрат кожного її члена, крім першого (і останнього в разі кінцевої послідовності), дорівнює добутку попереднього і подальшого членів.

Межа послідовності.

Нехай є послідовність {cn} = {1 /n}. Цю послідовність називають гармонійної, оскільки кожен її член, починаючи з другого, є середнє гармонійне між попереднім і наступним членами. Середнє геометричне чисел a и b є число  , або  . З ростом n всі члени геометричної прогресії зменшуються і їх значення наближається до нуля. У цьому випадку прийнято говорити, що при n, Що прагне до нескінченності, дана послідовність сходітсяі нуль є її межа. Записується це так:

.

Суворе визначення меж формулюється в такий спосіб:

Якщо існує таке число A, Що для будь-якого (як завгодно малого) позитивного числа e знайдеться таке натуральне N (Взагалі кажучи, залежить від e), що для всіх n і N буде виконано нерівність |an - A| an} Сходиться і A - Її межа.

Позначається це так: .

В іншому випадку послідовність називається розходиться.

Спираючись на це визначення, можна, наприклад, довести наявність межі A = 0 у гармонійної послідовності {cn} = {1 /n}. Нехай e - як завгодно мале позитивне число. розглядається різниця

.

Чи існує таке N, Що для всіх n і N виконується нерівність 1/ N <e? Якщо взяти в якості N будь-яке натуральне число, превишающее1/e, то для всіх n і N виконується нерівність 1/ n Ј1/ N < e, що й треба було довести.

Довести наявність межі у тій чи іншій послідовності іноді буває дуже складно. Найбільш часто зустрічаються послідовності добре вивчені і наводяться в довідниках. Є важливі теореми, що дозволяють зробити висновок про наявність межі у даній послідовності (і навіть обчислити його), спираючись на вже вивчені послідовності.

Теорема 1. Якщо послідовність має границю, то вона обмежена.

Теорема 2. Якщо послідовність монотонна і обмежена, то вона має межу.

Теорема 3. Якщо послідовність {an} Має межу A, То послідовності {can}, {an + З} і {| an|} Мають межі cA, A + c, |A| відповідно (тут c - Довільне число).

Теорема 4. Якщо послідовності {an} І {bn} Мають межі, рівні Aи B відповідно, то послідовність {pan + qbn} Має межу pA +qB.

Теорема 5. Якщо послідовності {an} І {bn} Мають межі, рівні A иB відповідно, то послідовність {anbn} Має межу AB.

Теорема 6. Якщо послідовності {an} І {bn} Мають межі, рівні Aи B відповідно, і, крім того, bn0 і B № 0, то послідовність {an / bn} Має межу A / B.

чудові межі - Термін, що використовується в радянських і російських підручниках з математичного аналізу для позначення деяких широко відомих математичних тотожностей зі взяттям межі. Особливо відомі:

Перший чудовий межа



 Визначення 1.12. |  Доказ для натуральних значень x

 докази наслідків |  Визначення точок розриву |  Наближені обчислення за допомогою диференціала |  Наближені обчислення за допомогою диференціала функції однієї змінної |  Абсолютна і відносна похибка обчислень |  Доведення |  Похідна функції, заданої неявно |  Похідна параметрично заданої функції |  Правила Лопіталя. приклади рішень |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати