На головну

Th (критерій Рімана).

 f - обмежена на [a, b] і

3Рассмотрім

-

Перейдемо до границі при l (p) ®0 -

якщо  , То по теоремі Дарбу:

U = =  тобто - = -  = 04

4. Теорема про інтегрованості монотонної і безперервної на відрізку функції.

Th2 (інтегрованість монотонної функції).Якщо функція монотонна на відрізку [a, b], то вона інтегровна на відрізку [a, b].

Док-во: 3Рассмотрім w (f, Dk), AC [a, b]. Розглянемо w (f, Dk) = | F (xk-1) -f (Xk) |, "K. Запишемо критерій Рімана:

 (L (p) ®0)

?  U fIA [a, b] 4

5. Основні властивості визначеного інтеграла.

I. Величина визначеного інтеграла не залежить від позначення змінної інтегрування, тобто  , Де х, t - будь-які літери.

II. Визначений інтеграл з однаковими межами інтегрування дорівнює нулю.

III. При перестановці меж інтегрування певний інтеграл змінює свій знак на зворотний.

IV. Якщо проміжок інтегрування [a, b] розбитий на кінцеве число часткових проміжків, то визначений інтеграл, взятий по проміжку [a, b], дорівнює сумі визначених інтегралів, взятих за всіма його частковим проміжків.

V. Постійний множник можна виносити за знак визначеного інтеграла.

VI. Певною інтеграл від алгебраїчної суми кінцевого числа безперервних функцій дорівнює такій же сумі алгебри певних інтегралів від цих функцій.

6. Формула середнього значення для певного інтеграла.

Теорема про повну загальну середню. якщо f(x) Неперервна на відрізку [a,b], То існує точка  , Така що .
 Док-во. Функція, безперервна на відрізку, приймає на цьому відрізку своє найменше m і найбільше M значення.  тоді  . число  укладено між мінімальним і максимальним значеннями функції на відрізку. Одне з властивостей функції, неперервної на відрізку, полягає в тому, що ця функція приймає будь-яке значення, розташоване між m и M. Таким чином, існує точка  , Така що .
 Це властивість має просту геометричну інтерпретацію: якщо  неперервна на відрізку [a,b], То існує точка  така, що площа криволінійної трапеції ABCD дорівнює площі прямокутника з основою [a,b] І висотою f(c) (На малюнку виділено кольором).

7. Інтеграл із змінною верхньою межею. Його безперервність і дифференцируемость.

Розглянемо функцію  , Задану на відрізку  , І припустимо, що вона інтегрована на відрізку  . Тоді при будь-якому  ця функція буде інтегрована на відрізку  і, отже, функція

визначена при всіх  . при  ми за визначенням покладемо її рівною 0, тобто будемо вважати, що  для будь-якої функції  і точки  з її області визначення. Отже, функція  дорівнює значенню певного інтеграла із змінною верхньою межею, обчисленого від інтегрованої функції  , Не обов'язково безперервної.

Th1. функція  , Певна вище, неперервна при всіх  для будь-якої інтегрованої функції .

Th2. нехай функція  неперервна на відрізку  і функція  визначена все тією ж формулою. тоді  має похідну в будь-якій точці інтервалу  , Похідну справа в точці  і похідну зліва в точці  , Причому ці похідні збігаються зі значенням функції  у відповідній точці:

 при и

8. Формула Ньютона - Лейбніца для певного інтеграла.

Якщо f - безперервна, неотрицательная функція на відрізку [a, b], і F - її первісна на цьому відрізку, то площа відповідної криволінійної трапеції дорівнює приросту первісної на відрізку [a, b], т.e.

Розглянемо функцію S ( x ), Задану на відрізку [ a, b ]. якщо a b, то S ( x ) - площа частини криволінійної трапеції, що лежить зліва від вертикальної прямої, що проходить через точку ( x, 0). Відзначимо, що якщо x = a , то S ( a ) = 0, а S ( b ) = S ( S -площа всієї криволінійної трапеції). Можна довести, що

т.e. S ( x ) - Первісна для f ( x ). Звідси, згідно основному властивості первісних, для всіх x [ a, b ] Маємо:

S ( x ) = F ( x ) + C ,

де C - Деяка постійна, F - Одна з первісних функції f .

Щоб знайти C , підставимо x = a :

F ( a ) + C = S ( a ) = 0,

звідси, C = -F ( a ) і S ( x ) = F ( x ) - F ( a ). Так як площа криволінійної трапеції дорівнює S ( b ), То підставляючи x = b , Отримаємо:

S = S ( b ) = F ( b ) -F ( a ).

9. Обчислення визначеного інтеграла по частинах і заміною змінної.

Заміна змінних в певному інтегралі. нехай  - Деяка функція, певна на відрізку  . Введемо нову змінну t за формулою  . нехай  безупинні на відрізку  . тоді

Інтегрування по частинах. Для будь-яких безперервно диференційовних на відрізку  функцій и  має місце рівність

або, в позначеннях

10. Застосування визначеного інтеграла (площа плоскої фігури, довжина дуги кривої, обсяг тіла обертання).

Обчислення довжини дуги плоскої кривої.

Нехай крива Г задана на площині OXY рівнянням y = y (x), и

Тоді довжина цієї кривої може бути обчислена за формулою:

Обчислення площі криволінійної трапеції.

Обчислення площі поверхонь обертання плоскої кривої навколо нерухомої осі.

Нехай крива Г, задана як і вище рівнянням y = y (x), ,  обертається навколо осі OX. Тоді площа поверхні обертання цієї кривої може бути обчислена за формулою:

11. Поняття числового ряду і його сума. Критерій Коші збіжності ряду. Необхідна умова збіжності.

Нескінченним числовим рядом називається вираз

u1+ u2+ ... + Un+ ...,  (1)

містить необмежену кількість членів, де

u1 , u2 , u3 , ..., Un , ...

- Нескінченна числова послідовність; un називається загальним членом ряду.

Критерій збіжності позитивних рядів (критерій Коші): Позитивний ряд сходиться тоді і тільки тоді, коли послідовність його часткових сум обмежена зверху.



 Умови інтегрованості за Ріманом. |  достатня умова

 Розбиття відрізків. |  ознака Лейбніца |  Теорема. (Достатні умови екстремуму). |  Властивості криволінійного інтеграла другого роду |  Скалярний поле, векторне поле |  Градієнт скалярного поля. Дивергенція і ротор векторного поля |  Метод введення параметра. |  Система рівнянь виду |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати