На головну

 1 сторінка

  1.  1 сторінка
  2.  1 сторінка
  3.  1 сторінка
  4.  1 сторінка
  5.  1 сторінка
  6.  1 сторінка

Імовірність випадкової події є позитивне число, укладену між нулем і одиницею. Дійсно, випадковій події сприяє лише частина із загального числа елементарних подій. Тому в цьому випадку 0

Зауваження. З визначення ймовірності випливає, що елементарні події є рівноімовірними, т. Е. Володіють однією і тією ж імовірністю.

Події, ймовірності яких дуже малі (близькі до нуля) або дуже великі (близькі до одиниці), називаються відповідно практично неможливими або практично достовірними подіями.

2. Статистичне визначення ймовірності події та умови його застосовності. Приклад.

статистичною ймовірністю події А називається відносна частота (частость) появи цієї події в n вироблених випробуваннях, т. е.

,

де  - Статистична вер-ть події А; w (A) - відносна частота (частость) події А; m - число випробувань, в яких з'явилося подія А; n - загальне число випробувань.

На відміну від «математичної» ймовірності Р (А), що розглядається в класичному визначенні, статистична вер-ть  є характеристикою дослідної, експериментальної. Якщо Р (А) є частка випадків, Що сприяють події А, яка визначається безпосередньо, без будь-яких випробувань, то  є частка тих Фактично вироблених випробувань, В яких подія А з'явилося.

Статистичне визначення вер-ти, як і поняття і методи теорії веро-тей в цілому, застосовні не до будь-яких подій з невизначеним результатом, які в життєвій практиці вважаються випадковими, а тільки до тих з них, які мають певні властивості.

1) Розглянуті події д. Б. наслідками тільки тих випробувань, які м. б. відтворені необмежену кількість разів при одному і тому ж комплексі умов.

2) Події повинні мати так званої статистичної стійкістю, або стійкістю відносних частот. Це означає, що в різних серіях випробувань відносна частота (частость) події змінюється незначно (тим менше, чим більше число випробувань), коливаючись близько постійного числа. Виявилося, що цим постійним числом є ймовірність події. Факт наближення відносної частоти, або частості, події до його вер-ти при  числа випробувань, що зводяться до схеми випадків, підтверджується численними масовими експериментами, проведеними різними особами з часів виникнення теорії вер-тей.

3) Число випробувань, В результаті яких з'являється подія А, має бути досить велике, Бо тільки в цьому випадку можна вважати вер-ть події Р (А) наближено дорівнює її відносної частоті. Резюмуючи, можна сказати, що теорія вер-тей вивчає лише такі події, щодо яких має сенс не тільки твердження про їх випадковості, але і можлива об'єктивна оцінка відносної частоти їх появи. Так, твердження, що при виконанні певного комплексу умов S ймовірність події = р, означає не тільки випадковість події А, а й певну, досить близьку до р, частку появ події А при великій кількості випробувань; а значить, висловлює певну об'єктивну (Хоча і своєрідну) зв'язок між комплексом умов S і подією А (Що не залежить від суб'єктивних суджень про наявність зв'язку з цим тієї чи іншої особи). І навіть просто існування ймовірності р (Коли саме значення р невідомо) зберігає якісно суть цього твердження, виділену курсивом.

Легко перевірити, що властивості вер-ти, що випливають з класичного визначення, зберігаються і при статистичному визначенні ймовірності.

зауваження: 1) Статистична вер-ь може бути знайдена тільки після проведення дослідів, а для класичної ймовірності досліди не потрібні. 2) Статистична вер-ть виходить різною для різних серій дослідів, однак при досить великій кількості дослідів практично достовірно, що статистична вер-ть буде як завгодно мало відрізняться від класичної вер-ти (стійкість статистичної вер-ти).

3. Несумісні і спільні події. Сума подій. Теорема додавання ймовірностей (з доказом).

Дві події називаються сумісними, Якщо поява однієї з них не виключає появу іншої в одному і тому ж випробуванні.

2 події називаються несумісними, Якщо поява однієї з них виключає появу іншої в одному і тому ж випробуванні.

Сумою подій А і В називається подія С = А + В, Що складається в настанні принаймні одного з подій А або В. Аналогічно сумою кінцевого числа подій А1, А2, ..., Аk називається подія А = А1+ А2 + ... + Аk, Що складається в настанні хоча б однієї з подій Аi, (i = 1, ..., k). З визначення випливає, що А + В = В + А. Справедливо також і сочетательное властивість. Однак А + А = А (А не 2А).

Теорема додавання ймовірностей:

теорема. Імовірність суми кінцевого числа несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій: Р (А + В + ... + К) = Р (А) + Р (В) + ... + Р (К).

? Доведемо теорему для схеми випадків, розглядаючи суму двох подій.

Нехай в результаті випробування із загального числа n равновозможних і несумісних (елементарних) результатів випробування (випадків) події А сприяє ml випадків, а події В m2 випадків (рис. 1.4).

Згідно з класичним визначенням .

Т. к. Події А і В несумісні, то жоден з випадків, що сприяють одному з цих подій, не сприяє іншому (рис. 1.4). Тому події А + В сприятиме ml+ m2 випадків. отже, ¦

слідство 1. Сума ймовірностей подій, що утворюють повну групу, дорівнює 1:

P (A) + P (B) + ... + P (K) = 1.

? Якщо події А, В, ..., К утворюють повну групу, то вони єдино можливі і несумісні.

Т. к. Події А, В, ..., К - єдино можливі, то подія А + В + ... + К, що складається в появі в результаті випробування хоча б одного з цих подій, є достовірним, то його ймовірність = 1:

Р (А + В + ... + К) = 1.

Т. к. Події А, В, ..., К - несумісні, до них може бути застосована теорема додавання:

Р (А + В + ... + К) = Р (А) + Р (В) + ... + Р (К) = 1. ¦

слідство 2. Сума ймовірностей протилежних подій = 1:

? Затвердження випливає з того, що протилежні події утворюють повну групу. ¦

4. Повна група подій. Протилежні події. Співвідношення між вірогідністю протилежних подій (з висновком).

Кілька подій утворюють повну групу подій якщо в результаті досвіду обов'язково з'явиться хоча б одне з них. Це означає, що в результаті випробування повинно відбутися 1 і тільки 1 з цих подій.

Окремим випадком подій, що утворюють повну групу, є протилежні події. 2 несумісних події з яких 1 має обов'язково відбутися називаютьсяпротилежними.Подія протилежне події А позначають .

Доказ теореми про повну групі подій

1) Т. к. Поява однієї з подій повної групи достовірно, а ймовірність достовірного події = 1, то Р (A1 + A2 + ... + An) = 1.

2) Будь-які 2 події повної групи несумісні, тому можна застосувати теорему додавання: Р (А1 + А2 + ... + Аn) = Р (A1) + Р (A2) + ... + Р (Аn).

3) Порівнюючи (1) і (2), отримаємо Р (А1) + Р (А2) + ... + Р (Аn) = 1.

5. Залежні і незалежні події. Твір подій. Означення умовної ймовірності. Теорема множення ймовірностей (з доказом).

Події А, Б, В ... називають залежними один від одного, якщо ймовірність появи хоча б одного з них змінюється в залежності від появи або непоявленія інших подій.

Події називаються незалежними, Якщо ймовірності появи кожного з них не залежать від появи або непоявленія інших з них.

Подія В називається незалежним від події А, якщо його ймовірність не змінюється від того, відбулася подія А чи ні, т. Е.

РА(В) = Р (В) (або РА(В) = Р (В)).

В іншому випадку, якщо РА(В) ? Р (В) (або РА(В) ? Р (В)). подія В називається залежним від А.

Твором двох подій А і В називають подія АВ, яке у спільному появу (суміщення) цих подій. наприклад, Якщо А - деталь придатна, У - деталь забарвлена, то АВ - деталь придатна і пофарбована.

Твором кількох подій називають подія, яке у спільному появу всіх цих подій. наприклад, Якщо А, В, С - поява «герба» відповідно в першому, другому і третьому киданнях монети, то АВС - випадання «герба» у всіх трьох випробуваннях.

умовною ймовірністю (РA(В) - умовна ймовірність події В відносно А) називають ймовірність події В, обчислену в припущенні, що подія А вже настав. Виходячи з класичного визначення ймовірності, формулу РA(В) = Р (АВ) / Р (А) де (Р (А)> 0) можна довести. Ця обставина і служить підставою для наступних загальних (застосовного не тільки для класичної ймовірності) визначення. Умовна вер-ть події В за умови, що подія А вже настав, за визначенням, дорівнює РA(В) = Р (АВ) / Р (А) де (Р (A)> 0).

Теорема множення ймовірностей залежних подій.Можливість спільного появи двох подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірність іншого, обчислену в припущенні, що перша подія вже наступило: Р (АВ) = Р (А) - РА(В) = Р (В) - РВ(А).

Доведення

З а м е ч ан і е. Застосувавши формулу (*) до події ВА, отримаємо Р (ВА) = Р (В) РВ(А), або, оскільки подія ВА не відрізняється від події АВ, -> Р (АВ) = Р (В) -Рв (А).

Порівнюючи формули Р ??(АВ) = Р (А) РA(В) і Р (АВ) = Р (В) -Рв (А), робимо висновок про справедливість рівності Р (А) РА(В) = Р (В) -Рв (А).

Теорема (правило) множення ймовірностей легко узагальнюється на випадок довільного числа подій:

P (ABC ... KL) = Р (А) · РА(В) · РАВ(С) ... РАВС ... До(L),

Т. е. Ймовірність твори кількох подій дорівнює добутку ймовірності однієї з цих подій на умовні ймовірності інших; при цьому умовна ймовірність кожного наступного події обчислюється в припущенні, що всі попередні події відбулися.

приклад 1. У збирача є 3 конусних і 7 еліптичних валиків. Складальник взяв один валик, а потім другий. Знайти ймовірність того, що перший з узятих валиків - конусний, а другий - еліптичний.

Рішення. Імовірність того, що перший валик виявиться конусним (подія A), Р (А) = 3 / 10. Імовірність того, що другий валик виявиться еліптичних (подія В), обчислена в припущенні, що перший валик - конусний, т. Е. Умовна ймовірність РA(В) = 7/9.

За теоремою множення, шукана ймовірність Р (АВ) = Р (А) РA(В) = (3/10) - (7/9) = 7/30. Зауважимо, що, зберігши позначення, легко знайдемо: Р (В) = 7/10, РB(А) = 3/9, Р (В) РB(А) = 7/30, що наочно ілюструє справедливість рівності.

6. Формули повної ймовірності та Байєса (з доказом). Приклади.

Формула повної ймовірності. Теорема.

 Теорема. Якщо подія F може статися лише за умови появи однієї з подій (гіпотез) A1, А2, ..., Аn утворюють повну групу, то ймовірність події F дорівнює сумі творів ймовірностей кожного з цих подій (гіпотез) на відповідні умовні ймовірності події F:

? За умовою гіпотези А1, А2, ..., Аn утворюють повну групу, отже, вони єдино можливі і несумісні. Т. до гіпотези А1, А2, ..., Аn - Єдино можливі, а подія F може статися тільки разом з 1 з гіпотез, то

.

В силу того що гіпотези А1, А2, ..., Аn несумісні, можна застосувати теорему додавання ймовірностей:

За теоремою множення ймовірностей . ¦

Наслідком теореми множення і формули повної ймовірності є формула Байеса.

Вона застосовується, коли подія F, яке може з'явитися тільки з однією з гіпотез А1, А2, ..., Аn утворюють повну групу подій, відбулося і необхідно зробити кількісну переоцінку апріорнихймовірностей цих гіпотез P (A1), Р (А2), ..., Р (Аn), Відомих про випробування, Т. е. Треба знайти апостеріорні (Одержувані після проведення випробування) умовні ймовірності гіпотез PF(A1), PF2), ..., РFn).

? Для отримання шуканої формули запишемо теорему множення ймовірностей подій F і А i в двох формах:

,звідки

або з урахуванням формули повної ймовірності:  . ¦

Значення формули Байеса полягає в тому, що при настанні події Р, т. Е. У міру отримання нової інформації, ми можемо перевіряти і коригувати висунуті до випробування гіпотези. Такий підхід, званий Байєсова, дає можливість коригувати управлінські рішення в ек-ці, оцінки невідомих параметрів розподілу досліджуваних ознак в статистичному аналізі і т. П.

приклад: Два стрільці незалежно один від одного стріляють по мішені, роблячи кожен по одному пострілу. Ймовірність влучення в мішень для першого стрільця дорівнює 0,8; для другого - 0,4. Після стрілянини в мішені виявлена ??одна пробоїна. Яка ймовірність того, що вона належить: а) l-му стрілку; б) 2-му стрілку?

Рішення. Позначимо події:

А1 - Обидва стрілка не потрапили в мішень; А2- Обидва стрілка потрапили в мішень; А3- 1-й стрілок влучив у мішень, 2-й немає; А4 - 1-й стрілець не влучив у мішень, 2-й потрапив; F- В мішені одна пробоїна (одне влучення).

Знайдемо ймовірності гіпотез і умовні ймовірності події F для цих гіпотез:

Р (A1) = 0,2 · 0,6 = 0,12, РА1(F) = 0;

Р (А2) = 0,8 · 0,4 = 0,32, РА2(F) = 0;

Р (А3) = 0,8 · 0,6 = 0,48, РА3(F) = l;

Р (А4) = 0,2 · 0,4 = 0,08, РА4(F) = l.

Тепер за формулою Байеса:

, ,

Т. е. Ймовірність того, що потрапив в ціль l-й стрілок при наявності однієї пробоїни, в 6 разів вище, ніж для другого стрілка.

7. Повторні незалежні випробування. Формула Бернуллі (з висновком). Приклади.

Якщо ймовірність настання події А в кожному випробуванні не змінюється в залежності від результатів інших, то такі випробування називаються незалежними щодо події А. Якщо незалежні повторні випробування проводяться при одному і тому ж комплексі умов, то ймовірність настання події А в кожному випробуванні одна і та ж. Ця послідовність незалежних випробувань отримала назву схеми Бернуллі.

Формула Бернуллі

теорема. якщо ймовірність р настання події А в кожному випробуванні постійна, то ймовірність Рm,n того, що подія А настане m раз в n незалежних випробуваннях, дорівнює

де .

? Нехай и  - Відповідно поява і не появу події А в i-ом випробуванні (i = 1,2, ..., n), а  - Подія, яка полягає в тому, що в n незалежних випробуваннях подія А з'явилося m раз.

Уявімо подія  через елементарні події .

наприклад, При n = 3, m = 2 подія ,

т. е. подія А відбудеться 2 рази в 3 випробуваннях, якщо воно відбудеться в l-му і 2-му випробуваннях (і не відбудеться в 3-м), або в l-му і 3-му (і не відбудеться у 2 -м), або станеться у 2-му і 3-му (і не відбудеться в l-му).

У загальному вигляді

,

Т. е. Кожен варіант появи події Вm (кожен член суми) складається з m появ події А і n-m непоявленія, т. Е. З m подій А і з n-m подій  з різними індексами.

Число всіх комбінацій (доданків суми) дорівнює числу способів вибору з n випробувань m, в яких подія А сталося, т. Е. Числу сполучень  . Імовірність кожної такої комбінації (кожного варіанта появи події Вm) по теоремі множення для незалежних подій дорівнює  , Т. К.  , а  , I = 1,2, ..., n. У зв'язку з тим, що комбінації між собою несумісні, по теоремі додавання ймовірностей отримаємо

 . ¦

8. Локальна теорема Муавра-Лапласа, умови її застосування. Властивості функції Дх). Приклад.

Локальна теорема Муавра-Лапласа. якщо ймовірність р настання події А в кожному випробуванні постійна і відмінна від О і 1, то ймовірність Рm, n того, що подія А відбудеться m раз в n незалежних випробуваннях при досить великому числі n, приблизно дорівнює:

де Р- Ймовірність здійснення події в окремому випробуванні, q- Ймовірність нездійснення події в окремому випробуванні, n- К-ть випробувань.

де  - Функція Гаусса. І

Чим більше n, тим точніше наближена формула. Наближені значення ймовірності Рm,n на практиці використовуються як точні при npq близько двох і більше десятків, Т. е. за умови npq ? 20.

Для спрощення розрахунків, пов'язаних із застосуванням формули, складена таблиця значень функції f (x). Користуючись цією таблицею, необхідно мати на увазі властивості функції f (х).

1. Функція є парною, т. Е. F (-x) = f (x).

2. Функція f (x) - монотонно спадна при позитивних значеннях х, причому при х > ? f (x) > 0.

(Практично можна вважати, що вже при х> 4 f (x) ? 0.

Приклад. В деякій місцевості з кожних 100 сімей 80 мають холодильники. Знайти ймовірність того, що з 400 сімей 300 мають холодильники.

Рішення. Імовірність того, що сім'я має холодильник, дорівнює р = 80/100 = 0,8. Т. к. N = 100 досить велике (умова npq = 100 · 0,8 (1-0,8) = 64 ? 20 виконано), то застосовуємо локальну формулу Муавра-Лапласа.

Спочатку визначимо за формулою : .

Тоді за формулою : .

(Значення f (2,50) знайдено по табл.). Дуже мале значення ймовірності Р300,400 не повинно викликати сумніву, т. к. крім події «рівно 300 сімей з 400 мають холодильники» можливо ще 400 подій: «0 з 400», «1 з 400», ..., «400 з 400» зі своїми можливостями. Всі разом ці події утворюють повну групу, а значить, сума їх ймовірностей дорівнює 1.

Нехай в умовах прикладу необхідно знайти імовірність того, що від 300 до 360 сімей (включно) мають холодильники. У цьому випадку по теоремі складання вірогідність шуканого події

.

9. Асимптотична формула Пуассона і умови її застосування. Приклад.

Припустимо, що ми хочемо обчислити вірогідність Рm, n появи події А при великому числі випробувань n, наприклад, Р300,500. За формулою Бернуллі:

Ясно, що в цьому випадку безпосереднє обчислення за формулою Бернуллі технічно складно, тим більше якщо врахувати, що самі р і q - числа дробові. Тому виникає природне бажання мати більш прості наближені формули для обчислення при великих n. Такі формули, звані, асимптотическими, Існують і визначаються теоремою Пуассона, локальної та інтегральної теоремами Муавра-Лапласа. Найбільш простий з них є теорема Пуассона.

Теорема. Якщо ймовірність р настання події А в кожному випробуванні прагне до нуля (р > 0) при необмеженому збільшенні числа n випробувань (n > 0), причому твір nр прагне до постійного числа ? (nр > ?), то ймовірність Рm, n того, що подія А з'явиться m раз в n незалежних випробуваннях, задовольняє граничного рівності:

? За формулою Бернуллі  або, враховуючи, що  , Т. Е. При досить великих n и .

Т. к. , и  , то  . ¦

Строго кажучи, умова теореми Пуассона р > 0 при n > ?, так що nр > ?, суперечить вихідної передумові схеми випробувань Бернуллі, згідно з якою ймовірність настання події в кожному випробуванні р = const. Однак, якщо ймовірність р - постійна і мала, число випробувань n - велике і число ? = nр - незначно (будемо вважати, що ? = np ? 10), то з граничного рівності випливає наближена формула Пуассона:

.

приклад. На факультеті налічується 1825 студентів. Яка ймовірність того, що 1 вересня є днем ??народження одночасно чотирьох студентів факультету?

Рішення. Імовірність того, що день народження студента 1 вересня, дорівнює р = 1/365. Т. к. Р = 1/365 - мала, n = 1825 - велике і ? = nр = 1825 · (1/365) = 5 ? 10, то застосовуємо формулу Пуассона:

:  (По табл.)

10. Інтегральна теорема Муавра-Лапласа і умови її застосування. функція Лапласа Ф (х) і її властивості. Приклад.

Інтегральна теорема Муавра-Лапласа. Якщо ймовірність р настання події А в кожному випробуванні постійна і відмінна від 0 і 1, то ймовірність того, що число m настання події А в n незалежних випробуваннях укладено в межах від а до b (включно), при досить великому числі n приблизно дорівнює

,

де  - Функція (або інтеграл ймовірностей) Лапласа;

, .

Формула називається інтегральної формулою МуавраЛапласа. Чим більше n, тим точніше ця формула. При виконанні умови npq ? 20 інтегральна формула  , Так само як і локальна, дає, як правило, задовільну для практики похибка обчислення ймовірностей.

Функція Ф (х) табульованого (див. Табл.). Для застосування цієї таблиці потрібно знати властивості функції:

1. Функція Ф (х) непарна, Т. е. Ф (х) =-Ф (х).

2. Функція Ф (х) монотонно зростаюча, причому при х > + ? Ф (х) > 1 (практично можна вважати, що вже при х> 4 Ф (х) ? 1).

приклад. В деякій місцевості з кожних 100 сімей 80 мають холодильники. Обчислити ймовірність того, що від 300 до 360 (включно) сімей з 400 мають холодильники.

Рішення. Застосовуємо інтегральну теорему МуавраЛапласа (npq = 64 ? 20). Спочатку визначимо:

,

.

Тепер за формулою  , Враховуючи властивості Ф (х), отримаємо

.

(По табл. Ф (2,50) = 0,9876, Ф (5,0) ? 1)

11. Наслідки з інтегральної теореми Муавра-Лапласа (з висновком). Приклади.

Розглянемо наслідок інтегральної теореми МуавраЛапласа.

слідство. Якщо ймовірність р настання події А в кожному випробуванні постійна і відмінна від 0 і 1, то при досить великому числі n незалежних випробувань ймовірність того, що:

а) число m наступів події А відрізняється від твору nр не більше, ніж на величину ?> 0 (по абсолютній величині), т. е. ;



 Векторні поля і їх основні характеристики |  2 сторінка

 3 сторінка |  4 сторінка |  5 сторінка |  6 сторінка |  7 сторінка |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати