На головну

Тангенціальна складова прискорення 2 сторінка

  1.  1 сторінка
  2.  1 сторінка
  3.  1 сторінка
  4.  1 сторінка
  5.  1 сторінка
  6.  1 сторінка
  7.  1 сторінка

Закон збереження імпульсу справедливий не тільки в класичній фізиці, хоча він і отриманий як наслідок законів Ньютона. Експерименти доводять, що він виконується і для замкнутих систем мікрочастинок (вони підпадають під дію законів квантової механіки). Цей закон носить універсальний характер, т. Е. Закон збереження імпульсу - фундаментальний закон природи.

Закон збереження імпульсу є наслідком певної якості симетрії простору - його однорідності. однорідність простору полягає в тому, що при паралельному перенесенні в просторі замкнутої системи тіл як цілого її фізичні властивості і закони руху не змінюються, іншими словами, не залежать від вибору положення початку координат системи відліку.

Відзначимо, що, згідно з (9.1), імпульс зберігається і для незамкненою системи, якщо геометрична сума всіх зовнішніх сил дорівнює нулю.

У механіці Галілея-Ньютона через незалежності маси від швидкості імпульс системи може бути виражений через швидкість її центру мас. центром мас (або центром інерції) Системи матеріальних точок називається уявна точка С, Положення якої характеризує розподіл маси цієї системи. Її радіус-вектор дорівнює

де mi и ri - Відповідно маса і радіус-вектор i-й матеріальної точки; n - Число матеріальних точок в системі;  - Маса системи. Швидкість центру мас

Враховуючи що pi = mivi , a  є імпульс р системи, можна написати

 (9.2)

т. е. імпульс системи дорівнює добутку маси системи на швидкість її центру мас.

Підставивши вираз (9.2) в рівняння (9.1), отримаємо

 (9.3)

т. е. центр мас системи рухається як матеріальна точка, в якій зосереджена маса всієї системи і на яку діє сила, рівна геометричній сумі всіх зовнішніх сил, прикладених до системи. Вираз (9.3) являє собоюзакон руху центру мас.

Відповідно до (9.2) із закону збереження імпульсу випливає, що центр мас замкнутої системи або рухається прямолінійно і рівномірно, або залишається нерухомим.

§ 10. Рівняння руху тіла змінної маси

Рух деяких тіл супроводжується зміною їх маси, наприклад маса ракети зменшується внаслідок витікання газів, що утворюються при згорянні палива, і т. П.

Виведемо рівняння руху тіла змінної маси на прикладі руху ракети. Якщо в момент часу t маса ракети m, А її швидкість v, то після закінчення часу dt її маса зменшиться на dm і стане рівною т - dm, а швидкість стане рівною v + dv. Зміна імпульсу системи за відрізок часу dt

де u - швидкість вильоту газів щодо ракети. тоді

(Врахували, що dmdv - малий вищого порядку малості в порівнянні з іншими). Якщо на систему діють зовнішні сили, то dp = Fdt, тому

або

 (10.1)

Другий доданок в правій частині (10.1) називаютьреактивної силою Fp. Якщо u протилежний v у напрямку, то ракета прискорюється, а якщо збігається з v, то гальмується.

Таким чином, ми отрималирівняння руху тіла змінної маси

 (10.2)

яке вперше було виведено І. В. Мещерських (1859-1935).

Ідея застосування реактивної сили для створення літальних апаратів висловлювалася в 1881 р Н. І. Кібальчичем (1854-1881). К. Е. Ціолковський (1857-1935) в 1903 р опублікував статтю, де запропонував теорію руху ракети і основи теорії рідинного реактивного двигуна. Тому його вважають засновником вітчизняної космонавтики.

Застосуємо рівняння (10.1) до руху ракети, на яку не діють ніякі зовнішні сили. Вважаючи F = 0 і вважаючи, що швидкість викидаються газів щодо ракети постійна (ракета рухається прямолінійно), отримаємо

звідки

Значення постійної інтегрування С визначимо з початкових умов. Якщо в початковий момент часу швидкість ракети дорівнює нулю, а її стартова маса m0, то С = u ln (m0). отже,

v = U ln (m0/m). (10.3)

Це співвідношення називаєтьсяформулою Ціолковського. Вона показує, що: 1) чим більше кінцева маса ракети т, тим більше повинна бути стартова маса ракети m0; 2) чим більша швидкість витоку и газів, тим більше може бути кінцева маса при даній стартовій масі ракети.

Вирази (10.2) і (10.3) отримані для нерелятівістскіх рухів, т. Е. Для випадків, коли швидкості v і u малі в порівнянні зі швидкістю з поширення світла у вакуумі.

завдання

2.1. По похилій площині з кутом нахилу а до горизонту, рівним 30 °, ковзає тіло. Визначити швидкість тіла в кінці третьої секунди від початку ковзання, якщо коефіцієнт тертя 0,15. [10,9 м / с]

2.2. Літак описує петлю Нестерова радіусом 80 м. Яка повинна бути найменша швидкість літака, щоб льотчик не відірвався від сидіння у верхній частині петлі? [28 м / с]

2.3. Блок укріплений на вершині двох похилих площин, складових з горизонтом кути a = 30 ° і b = 45 °. Гирі рівної маси (m1= m2= 2 кг) з'єднані ниткою, перекинутою через блок. Вважаючи нитку і блок невагомими, приймаючи коефіцієнти тертя гир про похилі площини рівними f1=f2=f= 0,1 і нехтуючи тертям в блоці, визначити: 1) прискорення, з яким рухаються гирі; 2) силу натягу нитки. [1) 0,24 м / с2; 2) 12 Н]

2.4. На залізничній платформі встановлена ??безвідкатному гармата, з якої робиться постріл уздовж полотна під кутом a = 45 ° до горизонту. Маса платформи з гарматою М= 20 т, маса снаряда m= 10 кг, коефіцієнт тертя між колесами платформи і рейками f = 0,002. Визначити швидкість снаряда, якщо після пострілу платформа відкотилася на відстань s= 3 м. [v0= M  / (Mcosa) = 970м / с]

2.5. На катері масою m= 5 т знаходиться водомет,. викидає ?= 25 кг / с води зі швидкістю і = 7 м / с щодо катера назад. Нехтуючи опором руху катера, визначити: 1) швидкість катера через 3 хв після початку руху; 2) гранично можливу швидкість катера. [1) v = u (1-exp(-?t/m) = 4,15 м / с; 2) 7 м / с]

Глава 3 Робота і енергія

§11. Енергія, робота, потужність

Енергія - універсальна міра різних форм руху і взаємодії. З різними формами руху матерії пов'язують різні форми енергії: механічну, теплову, електромагнітну, ядерну та ін. В одних явищах форма руху матерії не змінюється (наприклад, гаряче тіло нагріває холодне), в інших - переходить в іншу форму (наприклад, в результаті тертя механічний рух перетворюється в теплове). Однак суттєво, що у всіх випадках енергія, віддана (у тому йди іншій формі) одним тілом іншого тіла, дорівнює енергії, отриманої останнім тілом.

Зміна механічного руху тіла викликається силами, що діють на нього з боку інших тіл. Щоб кількісно характеризувати процес обміну енергією між взаємодіючими тілами, в механіці вводиться поняття роботи сили.

Якщо тіло рухається прямолінійно і на нього діє постійна сила F, яка становить певний кут a з напрямком переміщення, то робота цієї сили дорівнює добутку проекції сили Fs на напрям переміщення (Fs= Fcosa), помноженої на переміщення точки прикладання сили:

 (11.1)

У загальному випадку сила може змінюватися як за модулем, так і по напрямку, тому формулою (11.1) користуватися не можна. Якщо, проте, розглянути елементарне переміщення dr, то силу F можна вважати постійної, а рух точки її застосування - прямолінійним. елементарної роботою сили F на переміщенні dr називається скалярная величина

де a - кут між векторами F і dr; ds = | dr | - Елементарний шлях; Fs - проекція вектора F на вектор dr (рис. 13).

Робота сили на ділянці траєкторії від точки 1 до точки 2 дорівнює сумі алгебри елементарних робіт на окремих нескінченно малих ділянках шляху. Ця сума наводиться до інтеграла

 (11.2)

Для обчислення цього інтеграла треба знати залежність сили Fs, від шляху s вздовж траєкторії 1-2. Нехай ця залежність представлена ??графічно (рис. 14), тоді шукана робота А визначається на графіку площею заштрихованої фігури. Якщо, наприклад, тіло рухається прямолінійно, сила F = const і a = const, то отримаємо

де s - Пройдений тілом шлях (див. Також формулу (11.1)).

З формули (11.1) випливає, що при a

s збігається за напрямком з вектором швидкості руху v (див. рис. 13). Якщо a> p / 2, то робота сили негативна. При a = p / 2 (сила спрямована перпендикулярно переміщенню) робота сили дорівнює нулю.

Одиниця роботи -джоуль (Дж): 1 Дж - робота, що здійснюються силою 1 Н на шляху 1 м (1 Дж = 1 Н ? м).

Щоб охарактеризувати швидкість здійснення роботи, вводять поняття потужності:

 (11.3)

За час dt сілаF здійснює роботу Fdr, і потужність, що розвивається цією силою, в даний момент часу

т. е. дорівнює скалярному добутку вектора сили на вектор швидкості, з якою рухається точка докладання цієї сили; N - величина скалярная.

Одиниця потужності -ват (Вт): 1 Вт - потужність, при якій за час 1 с відбувається робота 1 Дж (1 Вт = 1 Дж / с).

§ 12. Кінетична і потенційна енергії

Кінетична енергія механічної системи - це енергія механічного руху цієї системи.

Сила F, діючи на покоїться тіло і викликаючи його рух, здійснює роботу, а енергія рухомого тіла зростає на величину витраченої роботи. Таким чином, робота dA сили F на шляху, який тіло пройшло за час зростання швидкості від 0 до v, йде на збільшення кінетичної енергії dT тіла, т. е.

Використовуючи другий закон Ньютона  і примножуючи на переміщення dr отримуємо

Так як  то dA = mv dv= Mvdv =dT, звідки

Таким чином, тіло масою т, що рухається зі швидкістю v, має кінетичної енергією

 (12.1)

З формули (12.1) видно, що кінетична енергія залежить тільки від маси і швидкості тіла, т. Е. Кінетична енергія системи є функція стану її руху.

При виведенні формули (12.1) передбачалося, що рух розглядається в інерціальній системі відліку, так як інакше можна було б використовувати закони Ньютона. У різних інерційних системах відліку, що рухаються один щодо одного, швидкість тіла, а отже, і його кінетична енергія будуть неоднакові. Таким чином, кінетична енергія залежить від вибору системи відліку.

Потенціальна енергія - Механічна енергія системи тіл, що визначається їх взаємним розташуванням і характером сил взаємодії між ними.

Нехай взаємодія тіл здійснюється за допомогою силових полів (наприклад, поля пружних сил, поля гравітаційних сил), що характеризуються тим, що робота, що здійснюються діючими силами при переміщенні тіла з одного положення в інше, не залежить від того, по якій траєкторії це переміщення відбулося, а залежить тільки від початкового і кінцевого положень. Такі поля називаються потенційними, А сили, що діють в них, - консервативними. Якщо ж робота, що здійснюються силою, залежить від траєкторії переміщення тіла з однієї точки в іншу, то така сила називається діссіпатнвной; її прикладом є сила тертя.

Тіло, перебуваючи в потенційному полі сил, має потенційну енергією П. Робота консервативних сил при елементарному (нескінченно малому) зміні конфігурації системи дорівнює приросту потенційної енергії, взятому зі знаком мінус, так як робота виконується за рахунок зменшення потенційної енергії:

 (12.2)

Робота dA виражається як скалярний твір сили F на переміщення dr і вираз (12.2) можна записати у вигляді

 (12.3)

Отже, якщо відома функція П (r), то з формули (12.3) можна знайти силу F по модулю і напрямку.

Потенційна енергія може бути визначена виходячи з (12.3) як

де С - Постійна інтегрування, т. Е. Потенційна енергія визначається з точністю до деякої довільної сталої. Це, однак, не позначається на фізичних законах, так як в них входить або різниця потенційних енергій в двох положеннях тіла, або похідна П за координатами. Тому потенційну енергію тіла в якомусь певному положенні вважають рівною нулю (вибирають нульовий рівень відліку), а енергію тіла в інших положеннях відраховують щодо нульового рівня. Для консервативних сил

або у векторному вигляді

 (12.4)

де

 (12.5)

(I, j, k - одиничні вектори координатних осей). Вектор, який визначається виразом (12.5), називається градієнтом скаляра П.

Для нього поряд з позначенням grad П застосовується також позначення NП. N ??( «Набла») означає символічний вектор, званийоператором Гамільтона *абоНабла-оператором:

 (12.6)

* У. Гамільтон (1805-1865) - ірландський математик і фізик.

Конкретний вид функції П залежить від характеру силового поля. Наприклад, потенційна енергія тіла масою т, піднятого на висоту h над поверхнею Землі, дорівнює

 (12.7)

де висота h відраховується від нульового рівня, для якого П0= 0. Вираз (12.7) випливає безпосередньо з того, що потенційна енергія дорівнює роботі сили тяжіння при падінні тіла з висоти h на поверхню Землі.

Так як початок відліку вибирається довільно, то потенційна енергія може мати від'ємне значення (Кінетична енергія завжди позитивна!). Якщо прийняти за нуль потенційну енергію тіла, що лежить на поверхні Землі, то потенційна енергія тіла, що знаходиться на дні шахти (глибина h ' ), П = -mgh '.

Знайдемо потенційну енергію упругодеформірованному тіла (пружини). Сила пружності пропорційна деформації:

де Fx упp - проекція сили пружності на вісь х; k - коефіцієнт пружності (Для пружини - жорсткість), А знак мінус вказує, що Fx упpнаправлена ??в сторону, протилежну деформації x.

За третім законом Ньютона, деформує сила дорівнює по модулю силі пружності і протилежно їй спрямована, т. Е.

Елементарна робота dA, здійснюються силою Fx при нескінченно малій деформації dx, дорівнює

а повна робота

йде на збільшення потенційної енергії пружини. Таким чином, потенційна енергія упругодеформірованному тіла

Потенційна енергія системи є функцією стану системи. Вона залежить тільки від конфігурації системи та її положення по відношенню до зовнішніх тіл.

Повна механічна енергія системи - Енергія механічного руху і взаємодії:

т. е. дорівнює сумі кінетичної і потенційної енергій.

§ 13. Закон збереження енергії

Закон збереження енергії - результат узагальнення багатьох експериментальних даних. Ідея цього закону належить М. В. Ломоносову (1711-1765), викласти закон збереження матерії і руху, а кількісна формулювання закону збереження енергії дана німецьким лікарем Ю. Маєром (1814-1878) і німецьким натуралістом Г. Гельмгольцем (1821-1894) .

Розглянемо систему матеріальних точок масами m1, m2, ..., mn, Що рухаються зі швидкостями v1, v2, ..., Vn. нехай ,  , ...,  - Рівнодіюча внутрішніх консервативних сил, що діють на кожну з цих точок, a F1, F2, ..., Fn - Рівнодіюча зовнішніх сил, які також будемо вважати консервативними. Крім того, будемо вважати, що на матеріальні точки діють ще й зовнішні неконсерватівние сили; равнодействующие цих сил, що діють на кожну з матеріальних точок, обозначімf1, f2, ..., Fn. при v << c маси матеріальних точок постійні і рівняння другого закону Ньютона для цих точок наступні:

Рухаючись під дією сил, точки системи за інтервал часу dt здійснюють переміщення, відповідно рівні dr1, dr2, ..., Drn. Помножимо кожне з рівнянь скалярно на відповідне переміщення і, з огляду на, що dri== vi dt, отримаємо

Склавши ці рівняння, отримаємо

 (13.1)

Перший член лівої частини рівності (13.1)

де dT - приріст кінетичної енергії системи. другий член  дорівнює елементарної роботі внутрішніх і зовнішніх консервативних сил, взятої зі знаком мінус, т. е. дорівнює елементарного приросту потенційної енергії dП системи (див. (12.2)).

Права частина рівності (13.1) задає роботу зовнішніх неконсервативних сил, що діють на систему. Таким чином, маємо

 (13.2)

При переході системи зі стану 1 в будь-який стан 2

т. е. зміна повної механічної енергії системи при переході з одного стану в інший дорівнює роботі, досконалої при цьому зовнішніми Неконсервативні силами. Якщо зовнішні неконсерватівние сили відсутні, то з (13.2) слід, що

d (T+ П) = 0,

звідки

 (13.3)

т. е. повна механічна енергія системи зберігається постійною. Вираз (13.3) являє собою закон збереження механічної енергії: В системі тіл, між якими діють лише консервативні сили, повна механічна енергія зберігається, т. Е. Не змінюється з часом.

Механічні системи, на тіла яких діють тільки консервативні сили (внутрішні та зовнішні), називаються консервативними системами. Закон збереження механічної енергії можна сформулювати так: в консервативних системах повна механічна енергія зберігається.

Закон збереження механічної енергії пов'язаний з однорідністю часу. Однорідність часу проявляється в тому, що фізичні закони інваріантні щодо вибору початку відліку часу. Наприклад, при вільному падінні тіла в полі сил тяжіння його швидкість і пройдений шлях залежать лише від початкової швидкості і тривалості вільного падіння тіла і не залежать від того, коли тіло почало падати.

Існує ще один вид систем - дисипативні системи, В яких механічна енергія поступово зменшується за рахунок перетворення в інші (немеханічних) форми енергії. Цей процес отримав назву диссипации (або розсіювання) енергії. Строго кажучи, всі системи в природі є диссипативними.

У консервативних системах повна механічна енергія залишається постійною. Можуть відбуватися лише перетворення кінетичної енергії в потенційну і назад в еквівалентних кількостях так, що повна енергія залишається незмінною. Цей закон не є просто закон кількісного збереження енергії, а закон збереження і перетворення енергії, що виражає і якісну сторону взаємного перетворення різних форм руху один в одного. Закон збереження і перетворення енергії - фундаментальний закон природи, він справедливий як для систем макроскопічних тіл, так і для систем мікротел.

В системі, в якій діють також неконсерватівние сили, наприклад сили тертя, повна механічна енергія системи не зберігається. Отже, в цих випадках закон збереження механічної енергії несправедливий. Однак при «зникнення» механічної енергії завжди виникає еквівалентна кількість енергії іншого виду. Таким чином, енергія ніколи не зникає і не з'являється знову, вона лише перетворюється з одного виду в інший. В цьому і полягає фізична сутність закону збереження і перетворення енергії - сутність незнищенності матерії і її руху.

§ 14. Графічне представлення енергії

У багатьох задачах розглядається одномірний рух тіла, потенційна енергія якого є функцією лише однієї змінної (наприклад, координати х), Т. Е. П = П (х). Графік залежності потенційної енергії від деякого аргументу називається потенційної кривої. Аналіз потенційних кривих дозволяє визначити характер руху тіла.

Будемо розглядати тільки консервативні системи, т. Е. Системи, в яких взаємні перетворення механічної енергії в інші види відсутні. Тоді справедливий закон збереження енергії в формі (13.3). Розглянемо графічне представлення потенційної енергії для тіла в однорідному полі тяжіння і для упругодеформірованному тіла.

Потенційна енергія тіла масою т, піднятого на висоту h над поверхнею Землі, згідно (12.7), П (H) = mgh. Графік цієї залежності П = П (h) - Пряма лінія, що проходить через початок координат (рис. 15), кут нахилу якої до осі h тим більше, чим більше маса тіла (так як tga= mg).

Нехай повна енергія тіла дорівнює Е (Її графік - пряма, паралельна осі h). На висоті h тіло володіє потенційною енергією П, яка визначається відрізком вертикалі, укладеним між точкою h на осі абсцис і графіком П (h). Природно, що кінетична енергія Т задається ординатою між графіком П (h) І горизонтальної прямої ЇЇ. З рис. 15 випливає, що якщо h = hmax, то Т= 0 і П= E = mghmax, Т. Е. Потенційна енергія стає максимальною і дорівнює повній енергії.

З наведеного графіка можна знайти швидкість тіла на висоті h:

звідки

Залежність потенційної енергії пружної деформації П= кх2/2от деформації х має вигляд параболи (рис. 16), де графік заданої повної енергії тіла Е - пряма, паралельна осі абсцис х, а значення Т і П визначаються так само, як на рис. 15. З рис. 16 випливає, що зі зростанням деформації х потенційна енергія тіла зростає, а кінетична - зменшується. абсциса xmax визначає максимально можливу деформацію розтягування тіла, a -хmax - Максимально можливу деформацію стиску тіла. якщо х = ±хmax, то T =0 і П= E = k /2, т. Е. Потенційна енергія стає максимальною і дорівнює повній енергії.

З аналізу графіка на рис. 16 випливає, що при повній енергії тіла, що дорівнює Е, тіло не може зміститися правіше хmax і лівіше -хmax, Так як кінетична енергія не може бути негативною і, отже, потенційна енергія не може бути більше повної енергії. У такому випадку говорять, що тіло перебуває впотенційній ямі з координатами - хmax ? x ? хmax.

У загальному випадку потенційна крива може мати досить складний вид, наприклад з декількома чергуються максимумами і мінімумами (рис. 17). Проаналізуємо цю потенційну криву. якщо Е - задана повна енергія частинки, то частка може перебувати тільки там, де П (х) ? Е, т. е. в областях I и III. Переходити з області I в III і назад частка не може, так як їй перешкоджає потенційний бар'єр CDG, Ширина якого дорівнює інтервалу значень х, При яких E <П, а його висота визначається різницею Пmах-E. Для того щоб частка змогла подолати потенційний бар'єр, їй необхідно повідомити додаткову енергію, рівну висоті бар'єру або перевищує її. В області I частка з повною енергією Е виявляється «замкненою» в потенційній ямі AВС і робить коливання між точками з координатами хA и хC.



 Тангенціальна складова прискорення 1 сторінка |  Тангенціальна складова прискорення 3 сторінка

 Тангенціальна складова прискорення 4 сторінка |  Тангенціальна складова прискорення 5 сторінка |  Тангенціальна складова прискорення 6 сторінка |  Тангенціальна складова прискорення 7 сторінка |  Тангенціальна складова прискорення 8 сторінка |  Тангенціальна складова прискорення 9 сторінка |  Тангенціальна складова прискорення 10 сторінка |  Тангенціальна складова прискорення 11 сторінка |  Тангенціальна складова прискорення 12 сторінка |  Тангенціальна складова прискорення 13 сторінка |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати