На головну

Відповідь: 7/16 1 сторінка

  1.  1 сторінка
  2.  1 сторінка
  3.  1 сторінка
  4.  1 сторінка
  5.  1 сторінка
  6.  1 сторінка
  7.  1 сторінка

# 1.

Кинуті дві гральні кістки. Знайти ймовірність того, чтосумма очок на випавших гранях - парна, причому на гранях хоча б однієї з кісток з'явиться шістка.

Рішення:

На випала межі «першої» гральної кістки може з'явитися одне очко, два очка, ..., шість очок. Аналогічні шість елементарних фіналів можливі і при киданні інший кістки. Кожний з результатів кидання «першої» може поєднуватися з кожним з результатів кидання «другий». Таким чином загальна кількість можливих елементарних фіналів випробування одно  . Ці результати утворюють повну групу і в силу симетрії кісток рівноможливими.

Придатними цікавить нас події (хоча б на одній грані з'явиться шістка, сума випали очок парна) є наступні п'ять випадків

1) 6, 2 2) 6, 4 3) 6, 6 4) 2, 6 5) 4, 6

Шукана ймовірність дорівнює відношенню числа випадків, що сприяють події, до числа всіх можливих елементарних фіналів випробування:

# 2.

При перевезенні ящика, в якому містилися 21 стандартна

і 10 нестандартних деталей, загублена одна деталь, причому невідомо

яка. Навмання витягнута (після перевезення) з ящика деталь

виявилася стандартною. Знайти вероятіссть того, що було втрачено:

а) стандартна деталь; б) нестандартна деталь.

Рішення:

а) Витягнута стандартна деталь, очевидно, не

могла бути втрачена; могла бути втрачена будь-яка з інших 30 деталей (21 + 10-1 = 30), причому серед них було 20 стандартних (21-1 = 20). Імовірність того, що було втрачено стандартна деталь, Р = 20/30 = 2/3.

б) Серед 30 деталей, кожна з яких могла бути втрачена, було 10 нестандартних. Імовірність того, що втрачена нестандартна деталь,

Р = 10/30 = 1/3.

Відповідь: 1/3

# 3

Задумано двозначне число. Знайти ймовірність того, що задуманим числом виявиться: а) випадково назване двозначне число; б) випадково назване двозначне число, цифри якого різні.

Рішення

а) Ми розглядаємо подія:

А - задуманим двозначним числом виявилося випадково назване двозначне число.

Для цієї події загальне число можливих елементарних фіналів n = 90, т. Е. Кількість всіх двозначних чисел. А число можливих результатів, що сприяють події m = 1, т. Е. Тільки одне двозначне число дорівнюватиме задуманому.

Отже, за класичним визначенням ймовірності отримуємо:

P (A) = m / n = 1/90

б) Ми розглядаємо подія:

А - задуманим двозначним числом виявилося випадково назване двозначне число, цифри якого різні.

Для цієї події загальне число можливих елементарних фіналів n = 81, т. Е. Кількість всіх двозначних чисел, цифри якого різні. А число можливих результатів, що сприяють події m = 1, т. Е. Тільки одне двозначне число дорівнюватиме задуманому.

Отже, за класичним визначенням ймовірності отримуємо:

P (A) = m / n = 1/81

Відповідь: а) 1/90; б) 1/81

# 4

Завдання: Вказати помилку «рішення» завдання: кинуті дві гральні кістки, знайти ймовірність того, що сума очок на кістках буде дорівнює 3 (подія  ).

«Рішення»: Можливі два результати події: сума випали очок дорівнює 3, сума випали очок не дорівнює 3. Події  сприяє один результат; загальне число випадків дорівнює двом. Отже, шукана ймовірність

.

!!! Помилка цього рішення полягає в тому, що розглянуті результати не є рівно можливими.

Правильне рішення: Загальне число рівно можливих результатів випробування одно  (Кожне число очок, що випали на одній кістки, може поєднуватися з усіма числами очок, що випали на інший). Серед цих результатів події  може сприяти тільки два виходи:  Отже, шукана ймовірність .

# 5

Кинуті дві гральні кістки. Знайти ймовірності таких подій: а) сума випали очок дорівнює семи; б) Сума що випали очок дорівнює восьми, а різниця - чотирьом; в) Сума що випали очок дорівнює восьми, якщо відомо що їх різниця дорівнює чотирьом; г) сума випали очок дорівнює п'яти, а твір - чотирьох.

Рішення:

Загальна кількість дорівнює рівно можливих випадків дорівнює 6 * 6 = 36 (Кожне число на одній кістки може поєднуватися з усіма числами очок, що випали на інший кістки)

А) серед загальної кількості випадків події А сприяють тільки 6: (1.6), (6,1), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3) отже шукана ймовірність 6 / 36 = 1/6

Б) серед загальної кількості випадків події А сприяють тільки 6: (2.6), (6,2), (3,5), (5,3), (4,4), (4,4), але в слідстві того що різниця дорівнює 4 залишиться тільки дві події: (2,6) і (6,2). Отже шукана ймовірність 2/36 = 1/18

В) Загальне число результатів події А дорівнює 4: (6,2) (2,6) (5,1) (1,5) (т. К. Різниця повинна бути дорівнює 4). Серед загальної кількості результатів події А сприяють тільки 2: (6,2) і (2,6). Отже шукана ймовірність дорівнює 2/4 = ?

Г) серед загальної кількості випадків події А сприяють тільки 4: (1,4), (4,1), (3,2), (2,3), але в слідстві того що добуток дорівнює 4 залишиться тільки дві події: ( 1,4) і (4,1). Отже шукана ймовірність 2/36 = 1/18

# 6

Загальна кількість рівно можливих випадків дорівнює 1000 (всього стільки кубиків). Серед цих результатів сприяють події  тільки 384 результату (64 маленьких кубика мають одну пофарбовану грань на межі великого, граней у куба 6, тому  ) Отже шукана ймовірність  . сприяє події  тільки  результатів, т. е.  . А події  - 8 випадків (тільки на кутах великого куба у маленьких кубиків пофарбовані 3 грані), т. Е. .

# 7.

Монета кинута 2 рази. Знайти ймовірність того, що хоча б один раз з'явиться «герб».

Рішення: Всього різних випадків випадання монети - 4. Позначимо як 1 випала «решка», 0 - випав «герб». Тоді можемо скласти таблицю:

 1а спроба  2а спроба

Т. е. За все задовольняють нас випадінь - 3 з 4. Отже, ймовірність того, що випаде хоч один «герб» дорівнює PA = mn = 34;

# 8

Число всіляких результатів експерименту - 720

(Так як нам важливо, в якому порядку беруться кубики, то для підрахунку всіх можливих результатів необхідно знайти всі їх перестановки, тобто n =  = 6! = 720)

Число випадків, які відповідають поставленому умові - 1

(Тобто m = 1)

Значить шанс, що все кубики розпакуються в потрібному порядку - 1/720

(P (a) = m / n = 1/720)

Відповідь: 1/720

# 9

Знайти ймовірність того, що при киданні трьох гральних кісток шістка випаде на одній (байдуже який) кістки, якщо на гранях двох інших кісток випадуть числа очок, що не збігаються між собою (і не рівні 6).

Рішення: Загальна кількість елементарних фіналів випробування дорівнює числу сполучень з 6 елементів по 3 з повтореннями (  ).

Число випадків, що сприяють появі шістки на одній грані і різного числа очок (не дорівнює 6) на гранях двох інших кісток, дорівнює числу сполучень без повторень з 5 елементів по 2 (  ).

Шукана ймовірність дорівнює відношенню числа випадків, що сприяють цікавого для нас події, до загального числа можливих елементарних фіналів:

Відповідь: 10/56.

# 10

У пачці 20 перфокарт, позначених номерами 101, 102, ..., 120 і довільно розташованих. Перфораторщіца навмання витягує дві карти. Знайти ймовірність того, що витягнуті перфокарти з номерами 101 і 120.

Рішення: Загальна кількість елементарних фіналів випробування дорівнює числу сполучень з 20 елементів по 2 з повтореннями (  ).

Число випадків, що сприяють появі перфокарт з номерами 101 і 120, дорівнює числу сполучень без повторень з 2 елементів по 2 (  ) = 1.

Шукана ймовірність дорівнює відношенню числа випадків, що сприяють цікавого для нас події, до загального числа можливих елементарних фіналів:

Відповідь: 1/190.

# 11

У ящику 10 однакових деталей, помічених 1,2, ..., 10. Навмання витягнуті 6 деталей. Знайти ймовірність того, що серед витягнутих деталей виявляться:

А) деталь № 1;

Б) деталь № 1 і № 2.

Рішення.

А) Загальна кількість можливих елементарних фіналів дорівнює числу способів, якими можна витягти 6 деталей з 10, т. Е. .

Знайдемо число випадків, що сприяють цікавого для нас події: серед відібраних 6 деталей є деталь № 1 і, отже, інші п'ять деталей мають інші номери. Число таких випадків, очевидно, дорівнює числу способів, якими можна відібрати 5 деталей з решти 9, т. Е. .

Шукана ймовірність дорівнює відношенню числа випадків, що сприяють розглянутого події, до загального числа можливих елементарних фіналів: P =  = 0,6.

Б) Число випадків, що сприяють цікавого для нас події (серед відібраних деталей є деталі № 1 і № 2, отже, чотири деталі мають інші номери), дорівнює числу способів, якими можна витягти чотири деталі з решти восьми, т. Е. C48.

Шукана ймовірність P =  = 1/3.

# 12

У ящику є 15 деталей, серед яких 10

забарвлених. Складальник навмання витягує три деталі.

Знайти ймовірність того, що витягнуті деталі виявляться

пофарбованими.

Рішення:

Загальна кількість можливих елементарних фіналів випробування дорівнює числу способів, якими можна витягти 3 деталі з 15. . Число випадків, що сприяють дорівнює числу можливих варіантів вилучення 3 деталей з 10.

Шукана ймовірність дорівнює відношенню С з 15 по 3 поділене на С з 10 по 3.

# 13

У конверті серед 100 фотокарток знаходиться одна розшукувана. З конверта навмання витягнуті 10 карток. Знайти ймовірність того, що серед них виявиться потрібна.

Рішення: Загальна кількість можливих елементарних фіналів випробування дорівнює числу способів, якими можна витягти 10 карток з 100. = .

Число випадків, що сприяють дорівнює числу можливих варіантів вилучення 9 карток. 10ая картка - це картка цікавить нас. Це число дорівнює .

Шукана ймовірність дорівнює відношенню P = /  = 0,1.

# 14

У ящику 100 деталей, з них 10 бракованих. Навмання витягнуті 4 деталі. Знайти ймовірність того, що серед витягнутих деталей: а) немає бракованих; б) немає придатних.

РІШЕННЯ.

а) Загальна кількість можливих елементарних фіналів випробування дорівнює кількості способів витягти 4 деталі із100, т. е.  , Число сприятливих розглянутого події результатів дорівнює кількості способів витягти 4 НЕ браковані деталі, т. Е.  . Шукана ймовірність дорівнює відношенню числа випадків, що сприяють розглянутого події, до загального числа можливих елементарних фіналів:

.

б) Число сприятливих розглянутого події результатів дорівнює кількості способів витягти 4 браковані деталі, т. е. .

.

# 15

Умова:

Пристрій складається з п'яти елементів, з яких два зношені. При включенні пристрою включаються випадковим чином два елементи. Знайти ймовірність того, що включеними виявляться два незношених елемента

Рішення:

Загальна кількість можливих елементарних фіналів випробування дорівнює числу варіантів включення двох елементів з п'яти, що становить

Знайдемо число випадків, що сприяють цікавого для нас події: обидва включених елемента незношених, отже, все решта зношені. Чисто таких випадків дорівнює числу способів, якими можна витягти два незношених елемента з трьох:

Шукана ймовірність дорівнює відношенню числа випадків, що сприяють розглянутого події, до загального числа можливих елементарних фіналів:

- = - = - = - = - = - Завдання 16 - = - = - = - = - = -

# 17

У партії з N деталей є п стандартних. Навмання відібрано m деталей. Знайти ймовірність того, що серед відібраних деталей рівно k стандартних.

Рішення:

Загальна кількість можливих елементарних фіналів випробування дорівнює числу способів, якими можна витягти m деталей

з N деталей, т. е.  число поєднань з N елементів по m.

Підрахуємо число фіналів, що сприяють цікавить

нас події (серед m деталей рівно k стандартних): k стандартних деталей можна взяти з п стандартних, деталей  способами;

число сприятливих результатів одно

Шукана ймовірність дорівнює відношенню числа випадків, що сприяють події, до числа всіх елементарних фіналів:

# 18

Умова задачі:

У цеху працюють шість чоловіків і чотири жінки. За табельною номерами навмання відібрано сім чоловік. Знайти ймовірність того, що серед відібраних виявляться три жінки.

Рішення завдання:

Загальна кількість рівно можливих елементарних фіналів випробування дорівнює числу способів відбирання по табельною номерами  людина з  , Т. Е числа сполучень .

Знайдемо число випадків, що сприяють цікавого для нас події: трьох з чотирьох можна відібрати  способами. Решта чотири людини будуть чоловіками. Вибір чотирьох з шести чоловіків можна здійснити  способами. Отже число сприятливих результатів одно .

Шукана ймовірність дорівнює відношенню числа випадків, що сприяють події, до числа всіх рівно можливих елементарних фіналів, т. Е:

відповідь:

## 19-20 ##

# 21

У коробці 5 однакових виробів, причому 3 з них пофарбовані. Навмання витягнуті 2 вироби. Знайти ймовірність того, що серед двох витягнутих виробів виявляться: а) одне забарвлене виріб; б) два пофарбованих вироби; в) хоча б одне забарвлене виріб.

Рішення:

а) Загальна кількість можливих елементарних фіналів випробування дорівнює числу способів, якими можна витягти дві деталі з п'яти, і дорівнює числу сполучень з п'яти по два.

Одне забарвлене виріб можна взяти з трьох забарвлених виробів С31 способами.

А число способів взяти одне незабарвлене виріб з двох нефарбованих одно С21.

Число сприятливих умов одно С31 С21.

Шукана ймовірність дорівнює відношенню числа випадків, що сприяють події, до числа всіх елементарних фіналів:

Р = С31 * С21 / С52 = 0,6

б) Р = С32 * С20 / С52 = 0,3

в) Р = С31 * С21 / С52 + С32 * С20 / С52 = 0,9

## 22-23 ##

# 24

За мети вироблено 20 пострілів, причому зареєстровано 18 влучень. Знайти відносну частоту попадань в ціль.

Рішення.

Відносна частота події А (попадання в ціль) дорівнює відношенню числа влучень до числа вироблених пострілів:

## 25-27 ##


# 26

Умова:

на відрізку L довжини 20 см поміщений менший відрізок l довжини 10 см. Знайти ймовірність того, що точка, навмання поставлена ??на більший відрізок, потрапляє так само і на менший відрізок. Передбачається, що ймовірність попадання точки на відрізок пропорційна довжині відрізка, і не залежить від його розташування.

Рішення:

Т. к. Ймовірність

попадання точки на відрізок

пропорційна довжині відрізка,

і не залежить від його розташування,

то шукану ймовірність можна

знайти за формулою

Підставляючи наші значення (L = 20; l =10) в дану формулу отримуємо шукану ймовірність

# 27

Умова:

На відрізок ОА довжини L числової осі Ох навмання поставлена ??крапка В (х). Знайти ймовірність того, що менший з відрізків ОВ і ВА має довжину, більшу ніж L / 3. Передбачається, що ймовірність попадання точки на відрізок пропорційна довжині відрізка, і не залежить від його розташування на числовій осі.

Рішення:

 Розіб'ємо відрізок ОА на 3

відрізка довжини L / 3. тоді

для того щоб менший з

відрізків ОВ і ВА має довжину, більшу ніж L / 3, Необхідно щоб навмання поставлена ??крапка B (x) потрапила в відрізок b, Довжина якого l = L / 3. А т. К. Ймовірність

попадання точки на відрізок пропорційна довжині відрізка, і не залежить від його розташування на числовій осі, то шукану ймовірність можна знайти за формулою

Підставляючи наші значення (L = L; l = L / 3) В дану формулу отримуємо шукану ймовірність

# 28

Умова:

У коло радіуса R поміщений менший коло радіуса r. Знайти ймовірність того, що точка навмання кинута у велике коло потрапить також і в мале коло. Передбачається, що ймовірність попадання точки в коло пропорційна площі кола, і не залежить від його розташування.

Рішення:

Т. к. Ймовірність попадання точки в коло пропорційна площі кола, і не залежить від його розташування, то ми можемо обчислити вірогідність того, що точка навмання кинута у велике коло потрапить також і в мале коло за формулою:

 (*)

де g-площа малого кола, а G-площа великого кола. Обчислимо площі.

Підставивши їх у формулу (*) отримаємо шукану ймовірність

# 29

Умова:

Площина розграфлена паралельними прямими, які перебувають один від одного на відстані 2a. На площину навмання кинута монета радіуса r  Знайти ймовірність того, що монета не перетне жодної з прямих.

Рішення:

 Для того щоб монета не перетнула паралельні прямі, необхідно, щоб при кидку відстань від монети до прямих дорівнювало

l = (2a-2r)

А загальна відстань, між двома прямими -

L = 2a

Т. к. Нам не важливо куди приземлиться монета, а головне щоб вона не перетнула прямі, то ми можемо скористатися формулою  для знаходження ймовірності того, що монета не перетне жодної з прямих.

Тоді шукана ймовірність дорівнює

# 30

Умова:

На площину з нанесеною сіткою квадратів зі стороною а навмання кинута монета радіуса r . Знайти ймовірність того, що монета не перетне жодної зі сторін квадрата. Передбачається, що ймовірність попадання точки в плоску фігуру пропорційна площі фігури, і не залежить від її розташування.

Рішення:

Подія А - монета не перетне жодної зі сторін квадрата можна представити у вигляді двох подій: В - монета не перетне вертикальних ліній і С - монета не перетне горизонтальних ліній. Тоді ймовірність настання події А можна представити у вигляді множення ймовірностей подій В і С.

Аналогічно попередній задачі обчислюємо ймовірності подій В і С. Отримуємо що

;

Тоді шукана ймовірність дорівнює

# 31

Умова:

На площину, розграфлену паралельними прямими, відстають один від одного на відстані 6 см навмання кинуто коло радіуса 1 см. Знайти ймовірність того, що кола не перетне жодної з прямих. Передбачається, що ймовірність попадання точки на відрізок пропорційна довжині відрізка, і не залежить від його розташування.

Рішення:

 Дане завдання є окремим випадком завдання №29. Скористаємося виведеної в ході вирішення тієї завдання формулою, підставивши в неї значення a = 3; r = 1:

Відповідь: ймовірність того, що кола не перетне жодної з прямих дорівнює 2/3.

# 32

Умова:

На площині накреслені два концентричних кола, радіуси яких 5 і 10 см відповідно. Знайти ймовірність того, що точка, кинута навмання у велике коло, потрапить також і в кільце, утворене побудованими колами. Передбачається, що ймовірність попадання точки в плоску фігуру пропорційна площі цієї фігури і не залежить від її розташування.

Рішення:

Т. к. Ймовірність попадання точки в плоску фігуру пропорційна площі цієї фігури, і не залежить від її розташування, то ми можемо обчислити вірогідність того, що точка навмання кинута у велике коло потрапить також і в кільце, утворене побудованими колами по формулі:

де g-площа кільця, а G-площа великого кола. Обчислимо площі. нехай R - Радіус великому колу, а r - Радіус малого кола.

Тоді шукана ймовірність дорівнює

# 33

Умова:

Всередину кола радіуса R навмання кинута точка. Знайти ймовірність того, що точка виявиться всередині вписаного в коло: а) квадрата; б) правильного трикутника. Передбачається, що ймовірність попадання точки в частину круга пропорційна площі цієї частини і не залежить від її розташування щодо кола.

Рішення:

 А)

 B Розглянемо трикутник АВС. Він є рівнобедреним, так як АС = АВ = R. За формулою

А площі будь-якого трикутника, знайдемо його площа:

C  За властивостями квадрата кут

ВАС = 90. Отже, ми отримаємо:

 Але так як квадрат складають 4 таких трикутника, то площа квадрата



 Умовний екстремум. |  Відповідь: 7/16 2 сторінка

 Відповідь: 7/16 3 сторінка |  Відповідь: 7/16 4 сторінка |  Відповідь: 7/16 5 сторінка |  Відповідь: 7/16 6 сторінка |  Відповідь: 7/16 7 сторінка |  Відповідь: 7/16 8 сторінка |  Відповідь: 7/16 9 сторінка |  Відповідь: 7/16 10 сторінка |  Відповідь: 7/16 11 сторінка |  Відповідь: 7/16 12 сторінка |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати