На головну

Вибір функції аналітичного вирівнювання рядів динаміки грунтується на теоретичному аналізі сутності досліджуваних явищ і процесів у сфері соціальної чи економічної діяльності.

  1. Адаптація трудових процесів до можливостей працівника з урахуванням його здоров'я та психологічного стану.
  2. Аналіз динаміки продуктивності праці
  3. Аналіз динаміки структури пасивів у відносному вираженні
  4. Аналіз пожежної безпеки технологічних процесів
  5. Аналіз потоків витрат, доходів та продуктів. Вплив зовнішньоекономічної діяльності на макроекономічний кругообіг.
  6. АНАЛІЗ РЯДІВ РОЗПОДІЛУ
  7. Аналітичні показники динаміки.

У разі більш-менш постійних абсолютних приростів, коли рівні динамічного ряду змінюються в арифметичній прогресії, вирівнювання виконують за допомогою прямої

Yt=a+bt

де Y - вирівняне значення динамічного ряду; а, b - параметри прямої (початковий і щорічний прирости); t - порядковий номер періоду (умовне позначення часу).

Параметри а, b визначають за допомогою методу найменших квадратів, розв'язуючи систему нормальних рівнянь

де Y - фактичний рівень ряду динаміки; п - кількість членів ряду динаміки.

Для зручності розрахунків відлік часу доцільно робити із середини ряду так, щоб сума часу дорівнювала нулю: Σt = 0. Якщо кількість рівнів непарна, серединний момент позначають нулем, попередні періоди - від'ємними числами, наступні - додатними:

Рік
T -2 -1

Якщо кількість рівнів динамічного ряду парна, то два серединні моменти часу позначають числами -1 і 1, а інші- через два інтервали: попередні - від'ємними, наступні - додатними числами:

Рік
T -5 -3 -1

Якщо Σt = 0, система рівнянь для обчислення значень а й b має такий вигляд:

Розв'язавши її, одержимо:

Ще раз розглянемо методику вирівнювання динаміки доходу банку за рівнянням прямої на умовному прикладі (табл. 20). Для розрахункових даних таблиці обчислимо параметри а й b:

Таблиця 20

Схема аналітичного вирівнювання ряду динаміки доходу банку рівнянням прямої

Рік Дохід банку У, млн грн. Час, t t2 Ytі Yt=a+bt
-7 -1869 228,02
-6 -1626 241,56
-5 -1450 255,10
-4 -1072 268,64
-3 -903 282,18
-2 -414 295,72
-1 -209 309,26
322,80
336,34
349,88
363,42
376,96
390,50
404,04
417,58
n = 15 ΣY = 4842 Σt=0 Σt2=280 ΣYt = 3791 ΣYt=4842

Тоді рівняння тренду має вигляд

Yt=322,8+13,54t

Із нього випливає, що в середньому дохід банку зростав щороку приблизно на 14 млн грн.

Послідовно підставляючи в це рівняння значення t, отримаємо вирівняний ряд динаміки доходу банку, абстрагований від випадкових коливань, який зростає (остання графа табл. 20).

Можна перевірити правильність розрахунку, порівнявши ΣY та ΣYt,. Для даних із табл.20 ΣY = 4842 = ΣYt, тобто рівні вирівняного ряду обчислено правильно.

Вирівнювання гіперболою. Його виконують тоді, коли з плином часу динаміка діяльності спадає чи зростає до певної межі.

Способом найменших квадратів обчислимо значення параметрів а та А для рівняння гіперболи

Для цього скористаємося системою нормальних рівнянь

Оскільки в разі згладжування гіперболою значення t неможливо вибрати симетрично щодо 0, то умова Σt = 0 не виконується. У зв'язку з цим система нормальних рівнянь не спрощується.

Виконаємо вирівнювання вздовж гіперболи на умовному прикладі, який відбиває динаміку обсягу витрат обігу супермаркету (табл. 21).

Таблиця 21

Схема аналітичного вирівнювання ряду динаміки витрат обігу рівнянням гіперболи

Вихідні дані Розрахункові дані
Рік Витрати, млн грн. t
Y
1,00 1,00 83,23
0,50 0,25 ЗО 54,17
0,33 0,11 44,29
0,25 0,06 39,63
0,20 0,04 36,73
0,17 0,03 34,95
п=6 - 2,45 1,49 293,0

Визначимо параметри а та b, підставивши в систему рівняння параметри, обчислені в табл. 21:

293=6a+2,45b

148=2,45a+1,49b

Розв'язавши систему, отримаємо а ≈ 25,10; b = 58,13. Тоді рівняння гіперболи має вигляд .

В останній графі табл. 21 наведено теоретичні значення Yt

Вирівнювання параболою другого порядку.У разі вирівнюванні параболою другого порядку Yt = a+b1t+b2t2 параметри а, b1, b2 також визначимо методом найменших квадратів. Для цього розв'яжемо систему нормальних рівнянь

Якщо Σt=0, то Σt3 =0. Тоді система рівнянь має вигляд

Вона має такий розв'язок:

Розглянемо на прикладі вирівнювання динамічного ряду кількості клієнтів банку рівнянням параболи другого порядку. Для цього побудуємо розрахункову табл. 22.

Таблиця 22

Схема аналітичного вирівнювання ряду динаміки кількості клієнтів банку рівнянням параболи другого порядку

Рік Кількість клієнтів банку Y t t2 t4 Yt Yt2 Вирівняний рівень Yt=119,471+ +4,112t - 0,587t2
-9 -7 -5 -3 -1 -216 -504 -460 -306 -114 34,916 61,924 84,236 101,852 114,772 122,996 126,524 125,356 119,492 108,932
n=1 ΣY= 1001 Σt = 0 Σt2 = 330 Σt4=19338 ΣYt=1357 ΣYt2=28073 1001,000

Для розрахункових даних таблиці обчислимо параметр b1

Параметри а та b2 визначимо, розв'язавши систему рівнянь

Підставивши в рівняння цієї системи дані таблиці, одержимо

100,1=a+33b2

85,07=a+58,6b2

Віднявши від другого рівняння перше, одержимо -15,03 = 25,6b2, ,звідки .

Із першого рівняння системи маємо a = 100,1-33b2 =100,1-33-(-0,587) ≈ ≈119,471.

Отже, рівняння параболи другого порядку має вигляд

Yt=119,471 + 4,112t-0,587t2.

Підставивши в нього рівняння значення t й t2, одержимо вирівняні рівні (остання графа табл. 22):

yt1994 =119,471 + 4,112(-9)-0,587·81 = 34,916,

yt1995=119,471 + 4,112(-7)-0,587·49 = 61,924,

уt1996 = 119,471 + 4,112(-5)-0,587·25=84,236 і т. д.

Оскільки вирівняні рівні динамічного ряду збігаються з даними емпіричного, парабола другого порядку точно відображає тренд на даному відрізку часу.

Параметри параболи другого порядку можна інтерпретувати так:

а - величина, що виражає середні умови утворення рівнів ряду;

b1 - швидкість розвитку рівнів динамічного ряду;

b2 - характеристика прискорення (сповільнення) цього розвитку.

Вирівнювання параболою третього порядку.У ході дослідження аналітичне вирівнювання виконують за допомогою багаточленів вищих степенів, до яких належить, наприклад, парабола третього порядку

Yt =а+b1t +b2t2+b3t3

Чим більший порядок параболи, тим вона точніше відтворює фактичні дані.

Вирівнювання показниковою функцією.Таке вирівнювання явищ економічної діяльності виконують тоді, коли показники динамічного ряду розвиваються в геометричній прогресії. У цьому разі ланцюгові темпи зростання більш-менш постійні.

Рівняння показникової функції має вигляд Yt=abt.

Параметри а та b визначають методом найменших квадратів. Щоб звести цю функцію до лінійного вигляду, потрібно попередньо прологарифмувати останнє рівняння:

lgYt=lga+tlgb

Тоді система нормальних рівнянь набуває такого вигляду:

Якщо Σt = 0, то останню систему можна записати так:

Звідси

Розглянемо вирівнювання за показниковою функцією на умовному прикладі динаміки середнього залишку товарів супермаркету (табл. 23).

Для розрахункових даних таблиці визначимо , звідки a≈168,4612; , звідки b≈1,0402. Тоді lgyt=2,2265 + 0,0171t, або уt=168,4612·1,0402t (остання графа табл. 23).

Параметр b в показниковій функції характеризує середній темп зростання середнього залишку товарів. У нашому прикладі, де b=1,0402, це означає, що обсяг середнього залишку супермаркету щорічно збільшується в 1,04 раза, або на 4 %.

Вирівнювання рядом Фур'є.Аналізуючи середньорічну динаміку явищ і процесів, використовують гармоніки ряду Фур'є, які можна описати рівнянням

де k: - номер гармоніки (ступінь її точності, зазвичай від 1 до 4); t - час у градусах або радіанній мірі.


Таблиця 23

Схема аналітичного вирівнювання ряду динаміки середнього залишку товарів рівнянням показникової функції

Рік Середній залишок товарів Y, млн. грн. lgY t t2 tlgY lgYt Вирівняний рівень Yt = аb1
150,0 155,7 162,3 168,1 175,0 182,3 190,0 2,1761 2,1912 2,2103 2,2256 2,2430 2,2608 2,2788 -3 -2 -1 -6,5283 -4,3824 -2,2103 0,0000 2,2430 4,5216 6,8364 2,1755 2,1925 2,2095 2,2265 2,2435 2,2605 2,2775 149,7 155,7 162,0 168,5 175,2 182,3 189,6
n = 7 ΣY=1183,4 ΣlgY=15,5858 Σt=0 Σt2=28 ΣtlgY=0,48 ΣlgYt= 15,5855 ΣYt=1183,0

Ряд Фур'є застосовують тоді, коли в емпіричному ряді спостерігається періодичність змін рівнів, що характеризують певну діяльність і мають вигляд синусоїдних коливань. Оскільки останні являють собою гармонічні коливання, та синусоїди, отримані в ході вирівнювання рядом Фур'є, називаються гармоніками відповідних порядків.

Параметри цього рівняння обчислюють методом найменших квадратів. Визначаючи для функції частинні похідні та прирівнюючи їх до нуля, можна одержати систему нормальних рівнянь, параметри яких обчислюють за допомогою таких формул:

Аналізуючи ряд середньорічної динаміки за місяцями, беруть k = 12. Якщо місячні періоди подати як частку кола, то ряд середньорічної динаміки явищ або процесів можна записати в такому вигляді.


Рівень Yt Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6 Y7 Y8 Y9 Y10 Y11 Y12
Період у радіаній мірі π
у градусах

Побудуємо модель середньорічної динаміки за першою гармонікою ряду Фур'є щодо умовних даних роздрібного товарообороту за місяцями року (табл. 24).

Використовуючи першу гармоніку ряду Фур'є, визначимо параметри рівняння:

За обчисленими параметрами синтезуємо модель:

Yt =32,9-0,5соst-1,58sint.

Підставивши в це рівняння значення соst та sint, отримаємо теоретичні значення обсягу роздрібного товарообороту за місяцями року:

Yt1 = 32,9-0,51·1,5·0=32,4,

Yt2 =32,9-0,5·0,866-1,5·0,5=31,7,

Yt3 =32,9-0,5·0,5-1,5·0,866=31,4,

Yt4 =32,9-0,5·0-1,5·1=31,4,

Yt5=32,9-0,5·(-0,5)-1,5·0,866 = 31,9,

Yt6 =32,9-0,5·(-0,866)-1,5·0,5≈32,6 і т. д.

Показники останньої графи табл. 24 досить точно характеризують розподіл вирівняних показників обсягу роздрібного товарообороту. Перша гармошка ряду Фур'є чітко апроксимує емпіричний ряд динаміки.

Аналогічно виконують вирівнювання рядом Фур'є із застосуванням другої, третьої та четвертої гармонік.

Для виконання економічного прогнозування потрібно досконало знати суть досліджуваного явища та методів перетворення рядів динаміки, які б у кожному окремому випадку допомогли виявити загальну закономірність змін (тренд), періодичність у підвищенні чи зниженні рівнів, випадкові коливання (відхилення), автокореляцію та кореляцію між окремими рядами.

Таблиця 24

Обсяг роздрібного товарообороту міста за місяцями року

Місяць ti Роздрібний товарооборот, млн. грн. costi sint Yicosti Yisinti Вирівняний рівень Yt=32,9-0,5cost- -1,5sint
Січень 1,000 0,000 32,4
Лютий 0,866 0,500 31,7
Березень 0,500 0,866 31,4
Квітень 0,000 1,000 31,4
Травень -0,500 0,866 -16 31,9
Червень -0,866 0,500 -28 32,6
Липень π -1,000 0,000 -33 33,4
Серпень -0,866 -0,500 -30 -18 34,1
Вересень -0,500 -0,866 -17 -29 34,4
Жовтень 0,000 -1,000 -35 34,4
Листопад 0,500 -0,866 -29 33,9
Грудень 0,866 0,500 -18 33,2
Усього - ΣY = 395 - - -3 -9 ΣYt=394,8

 



Основні способи перетворення рядів динаміки | Поняття індексів та їх роль у статистико-економічному аналізі

Показники для характеристики ряду динаміки, техніка їх обчислення й економічний зміст | Методологія побудови та використання індексів в статистико-економічному аналізі називається індексним методом. | Класифікація індексів | Для загальних (зведених) індексів за видом ваги (сумірника) розрізняють індекси з постійними вагами та індекси зі змінними вагами. | Індивідуальні індекси | Агрегатна форма загальних індексів кількісних показників | Агрегатні індекси кількісних показників можуть розраховуватись у вигляді індексного ряду за декілька періодів. При цьому використовуються ланцюгові та базисні способи розрахунку. | Агрегатна форма загальних індексів якісних і змішаних показників | Індекс Ласпейреса показує вплив зміни цін на вартість кількості товарів, які реалізовано в базисному періоді. | В економічному аналізі явищ і процесів використовуються і інші агрегатні індекси якісних показників: собівартості продукції Iz, продуктивність праці It, та ін. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати